理论力学
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第十二章动量矩定理 §12-1质点和质点系的动量矩 §12-2动量矩定理 §12-3刚体绕定轴的转动微分方程 §12-4刚体对轴的转动惯量 d§12-5质点系相对于质心的动量矩定理 §126刚体的平面运动微分方程 习题课
2 §12–1 质点和质点系的动量矩 §12–2 动量矩定理 §12–3 刚体绕定轴的转动微分方程 §12–4 刚体对轴的转动惯量 §12–5 质点系相对于质心的动量矩定理 §12–6 刚体的平面运动微分方程 *习题课 第十二章 动量矩定理
动力学 前一章知,当质心为固定物上一点时,v=0,其动量恒为零, 质心无运动,但质点系确受外力的作用。动量定理揭示了质点和 质点系动量变化与外力主矢的关系;质心运动定理揭示了质心运 动与外力主矢的关系。但不是质点系机械运动的全貌 本章要介绍的动量矩定理,动量矩定理建立了质点和质点系相 对于某固定点(国定物)的动量矩的改变与外力称同一点(轴) 之矩两者之间的关系,从另一个侧面揭示出质点系对于某一点的 运动规律 §12-1质点和质点系的动量矩 1.质点的动量矩 设质点Q某瞬时动量为mν,其对O点的位置为矢径r,如图12-1 所示,定义质点Q的动量对于O点的矩为质点对点O的动量矩; 定义指点动量m在Ox平面的投影(m)3对于点O的矩,为质 点动量对于z轴的矩,简称对于z轴的动量矩。分别表示如下
3 由前一章知，当质心为固定轴上一点时，vC=0，其动量恒为零， 质心无运动，但质点系确受外力的作用。动量定理揭示了质点和 质点系动量变化与外力主矢的关系；质心运动定理揭示了质心运 动与外力主矢的关系。但不是质点系机械运动的全貌。 本章要介绍的动量矩定理，动量矩定理建立了质点和质点系相 对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴） 之矩两者之间的关系，从另一个侧面揭示出质点系对于某一点的 运动规律 §12-1 质点和质点系的动量矩 1．质点的动量矩 设质点Q某瞬时动量为 mv，其对O点的位置为矢径r，如图12-1 所示，定义质点Q的动量对于O点的矩为质点对点O的动量矩； 定义指点动量mv在Oxy平面的投影（mv)xy对于点O的矩，为质 点动量对于z轴的矩，简称对于z轴的动量矩。分别表示如下
Mo(mv)=r×m (12-1) 2(m1 [M。(m)]=M(m)(122) mo(mv) 从图可以看出,质点对于O点的 动量矩矢在轴上的投影,等于对 z轴的动量矩。即上面的式(12-2) 正负号规定与力对轴矩的规定相同 对着轴看:顺时针为负,逆时针为正 动量矩)量物体在在一瞬时绕固定点(轴转动的强弱。单位:kgm2s 2.质点系的动量矩 质点系对点O动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和, 或者称为质点系对点O的主矩,即 ∑Ma 12-3)
4 质点系对点O动量矩等于各质点对同一点O的动量矩的矢量和， 或者称为质点系对点O的主矩，即 MO (mv) = r mv M (mv) M (mv) o z = z 正负号规定与力对轴矩的规定相同 对着轴看：顺时针为负，逆时针为正 ( ) 1 i i n i LO Mo m v = = 动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。单位：kg·ｍ2 /s。 （12-1） （12-2） 从图可以看出，质点对于O点的 动量矩矢在z轴上的投影，等于对 z轴的动量矩。即上面的式（12-2） 2．质点系的动量矩 （12-3）
动力学 质点系对某轴z的动量矩等于各质点对同一轴z动量矩的代数 和,即 ∑M!(mn") (124) 利用式(12-2),得[Lol=L (12-5) 上式表明:质点系对某点0O的动量矩矢在通过该点的轴上的投影等于质点系对于该 轴的动量矩。 刚体平动时,可把质量集中于质点,作为一个质点计算其动量 矩;刚体作定轴转动则如图12-2所示: ∑M!mn)=∑m=∑ 1,01=m2 令∑mn2=小称为刚体对轴的转动惯量,于是有 即绕定轴转动刚体对其转轴的动量 (12-6)矩等于刚体对转轴的转动惯量与转 动角速度的乘积 图12-25
5 刚体平动时，可把质量集中于质点，作为一个质点计算其动量 矩；刚体作定轴转动则如图12-2所示： 质点系对某轴z的动量矩等于各质点对同一轴z动量矩的代数 和，即 ( ) 1 i i n i Lz M z m v = = （12-4） 利用式（12-2），得 LO z = Lz （12-5） 上式表明：质点系对某点O的动量矩矢在通过该点的z轴上的投影等于质点系对于该 轴的动量矩。 = = = = = = = = n i i i n i i i i i n i i i i i i n i z z L M m m v r m rr m r 1 2 1 1 1 ( v ) 令 z 称为刚体对z轴的转动惯量，于是有 n i i i m r = J =1 2 Lz = J z （12-6） 即绕定轴转动刚体对其转轴的动量 矩等于刚体对转轴的转动惯量与转 动角速度的乘积 图12-2
「例1滑轮A:m1,R1,R1=2R2, 滑轮B:m2,R2,l2;物体C:m3 M YO A 求系统对O轴的动量矩 解:L Loath 24 O OB 十 B 11+(2O2+m2v2R2)+m3v3R2 13 Ro =(2+2+m2+m3)R2 R 2 R 6
6 3 2 2 2 1 1 2 1 v = v = R = R 2 2 3 2 3 2 2 2 2 1 ( m m )R v R I R I LO = + + + LO =LOA +LOB +LOC 1 1 2 2 2 2 2 3 3 2 = I + (I + m v R ) + m v R 解： [例1] 滑轮A：m1，R1，R1=2R2，I1 滑轮B：m2，R2，I2 ；物体C：m3 求系统对O轴的动量矩
§122动量矩定理 1.质点的动量矩定理 对质点动量矩求一次导数,得 M0(mv)=(r×m) m1十r× my dt dt d mo(mv) dt 12-7) M。(mv)=v×m+r×F dt y ho(e 因为 v×nv 0,r×F=M(F)得 图12-3 M。(m)=M0(F) dt 式(12-7)表示质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数,等于 作用力对同一点的矩,称为质点动量矩定理。其投影式分别为 QM(m)=M(F)1M1(m)=M,(F,Mm)=M(F)(128)
7 ( ) d d d d ( ) d d ( ) d d v r v r M v r v m t m t m t m t o = = + §12-2 动量矩定理 1．质点的动量矩定理 式（12-7）表示质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数，等于 作用力对同一点的矩，称为质点动量矩定理。其投影式分别为 因为 得 图12-3 对质点动量矩求一次导数，得 M v v v r F v r v F = + = = m m t t m t o ( ) d d d d ( ) , d d v v 0, r F M (F) m = = o ( ) ( ) d d Mo mv Mo F t = d ( ) ( ) （12-8） d ( ) ( ), d d ( ) ( ), d d Mx v Mx F M y v M y F Mz mv Mz F t m t m t = = = （12-7）
动力学 2.质点系的动量矩定理 n个质点,由质点动量矩定理有山Mm)=M(F0)+M(FP) n个方程相加,有∑dM(m)=2M(F)+MF 由于 ∑M(mn)=0L,∑M(F)=0 于是 (129) dt 式(12-9)表明质点系对于某定点O的动量矩对时间的导数,等 于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和,(外力对点 O的主矩)称为质点系动量矩定理,其投影式为: dt ∑M(F(°)=∑ 1(()d M(F()(12-10)
8 式（12-9）表明质点系对于某定点O的动量矩对时间的导数，等 于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和，（外力对点 O的主矩）称为质点系动量矩定理，其投影式为： 2．质点系的动量矩定理 n个方程相加，有 n个质点，由质点动量矩定理有 ( ) ( ) ( ) d d ( ) (e) o i i o mi i o i t M v = M F + M F = = = = + n i e o i n i i o i n i o mi i t 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) d d M v M F M F 由于 , ( ) 0 d d ( ) d d ( ) d d ( ) 1 1 = = = = = i o o i n i o i i n i o i i M t m t m t M v M v L F 于是 = = n i e o o i t 1 ( ) ( ) d d L M F （12-9） = = = = = = n i e z z i n i e y y i n i e x x i L M t L M t L M t 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) d d ( ), d d ( ), d d F F F （12-10）
动力学 3.动量矩守恒定理 作用于质点的力对某定点O的矩恒为零,则质点对该点的动量 矩保持不变,即 Mn(mv)=恒矢量 作用于质点的力对某定轴的矩恒为零,则质点对该轴的动量矩 保持不变,即 M-(mv)=恒量 以上结论称为质点动量矩守恒定律 同理,当外力对某定点(或某定轴)的主矩等于零时,质点 系对于该点(或该轴)的动量矩保持不变,这就是质点系动 量矩守恒定律 另外,质点系的内力不能改变质点系的动量矩
9 3．动量矩守恒定理 作用于质点的力对某定点O的矩恒为零，则质点对该点的动量 矩保持不变，即 Mo (mv) = 恒矢量 作用于质点的力对某定轴的矩恒为零，则质点对该轴的动量矩 保持不变，即 M z (mv) = 恒量 以上结论称为质点动量矩守恒定律 同理，当外力对某定点（或某定轴）的主矩等于零时，质点 系对于该点（或该轴）的动量矩保持不变，这就是质点系动 量矩守恒定律。 另外，质点系的内力不能改变质点系的动量矩
例2]单摆已知m,l,t=0时g=,从静止 开始释放。求单摆的运动规律。 解:将小球视为质点。 受力分析;受力图如图示。 mo(f)=m()+mo(mg)=-mglsin P 运动分析:v=l,⊥OM。mo(m)=ml=m12 g 由动量矩定理m0(m)=m(F) (m)=- mohsin,分+5sn=0 微幅摆动时,Sig≈,并令O,2=号,则+2q=0 解微分方程,并代入初始条件(t=0,φ=υ,￠。=0)则运动方程 0=9Vy7,摆动周期7=2x号
10 运动分析： v = l , ⊥OM 。 mO (mv)=ml l=ml 2 由动量矩定理 即 m (mv ) m (F ) dt d O = O ( ) sin , sin 0 2 = − + = l g ml mgl dt d 微幅摆动时， sin , 并令 l ，则 g n = 2 0 2 +n = 解微分方程,并代入初始条件 (t = 0, =0 , 0 = 0) 则运动方程 t l g cos =0 ，摆动周期 l g T = 2 mO (F )=mO (T )+mO (mg)=−mglsin 解：将小球视为质点。 受力分析；受力图如图示。 [例2] 单摆 已知m，l，t =0时= 0，从静止 开始释放。 求单摆的运动规律