理论力学
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引言 研究对象:研究物体的机械运动与作用力之间的关系 二力学模型: 1质点:具有一定质量而不考虑其形状大小的物体 例如:研究卫星的轨道时,卫星质点; 刚体作平动时刚体一质点。 2质点系:由有限或无限个有着一定联系 的质点组成的系统。 自由质点系:质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系:质点系中的质点的运动受到约束的限制 质点系是力学中最普遍的抽象化模型;包括刚体弹性体,流体
2 引 言 一.研究对象： 二.力学模型： 研究物体的机械运动与作用力之间的关系 2.质点系：由有限或无限个有着一定联系 的质点组成的系统。 1.质点：具有一定质量而不考虑其形状大小的物体。 例如： 研究卫星的轨道时，卫星 质点； 刚体作平动时,刚体 质点。 自由质点系：质点系中各质点的运动不受约束的限制。 非自由质点系：质点系中的质点的运动受到约束的限制。 质点系是力学中最普遍的抽象化模型；包括刚体,弹性体,流体
刚体是一个特殊的质点系,由无数个相互间保持距离 不变的质点组成。又称为不变质点系。 三动力学分类:质点动力学 质点动力学是质点 质点系动力学 系动力学的基础。 四动力学的基本问题:大体上可分为两类: 第一类:已知物体的运动情况,求作用力; 第二类:已知物体的受力情况,求物体的运动。 综合性问题:已知部分力,部分运动求另一部分力、部分运动 已知主动力,求运动,再由运动求约束反力
3 三.动力学分类: 质点动力学 质点系动力学 质点动力学是质点 系动力学的基础。 四.动力学的基本问题：大体上可分为两类： 第一类：已知物体的运动情况，求作用力； 第二类：已知物体的受力情况，求物体的运动。 综合性问题：已知部分力，部分运动求另一部分力、部分运动。 已知主动力，求运动，再由运动求约束反力。 刚体是一个特殊的质点系，由无数个相互间保持距离 不变的质点组成。又称为不变质点系
理论力学 点2学均本龙
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第十章质点动力学的基本方程 §10-1动力学的基本定律 §10-2质点的运动微分方程
5 §10–1 动力学的基本定律 §10–2 质点的运动微分方程 第十章 质点动力学的基本方程
§101动力学的基本方程 质点是物体最简单、最基本的模型,是构成复杂物体系统 的基础,质点动力学基本方程给出了质点受力与其运动变化的 关系,质点动力学的基础是三个基本定律,这些定律是牛顿在 总结前人研究成果基础上提出的,称为牛顿三定律 第一定律(惯性定律) 不受力作用的质点,将保持静止或作匀速直线运动。 不受力作用的质点(包括受平衡力系作用的质点),不是处于 静止状态,就是保持其原有的速度(包括大小和方向)不变, 这种性质称为惯性
6 §10-1 动力学的基本方程 质点是物体最简单、最基本的模型，是构成复杂物体系统 的基础，质点动力学基本方程给出了质点受力与其运动变化的 关系，质点动力学的基础是三个基本定律，这些定律是牛顿在 总结前人研究成果基础上提出的，称为牛顿三定律 第一定律（惯性定律） 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。 不受力作用的质点（包括受平衡力系作用的质点），不是处于 静止状态，就是保持其原有的速度（包括大小和方向）不变， 这种性质称为惯性
第二定律(力与加速度之间的关系的定律) 定律表示 经典表示 (10-1)m=F(10-2) 式(10-2)是该定律的数学表达式,为质点动力学的基本方程, 建立了质点的加速度、质量与作用力之间的定量关系。当质点 受到多个力作用时,该式中的力F应为汇交力学的合力; 从该式还可以看出,质点质量越大,起运动状态越不容易改变, 也就是质点的惯性越大,因此,质量是质点惯性的度量; 另外应注意公式中国际单位制(SI)的表示以及国际单位制和 工程单位制的换算关系
7 式（10-2）是该定律的数学表达式，为质点动力学的基本方程， 建立了质点的加速度、质量与作用力之间的定量关系。当质点 受到多个力作用时，该式中的力F应为汇交力学的合力； 从该式还可以看出，质点质量越大，起运动状态越不容易改变， 也就是质点的惯性越大，因此，质量是质点惯性的度量； 另外应注意公式中国际单位制（SI）的表示以及国际单位制和 工程单位制的换算关系。 第二定律（力与加速度之间的关系的定律） 定律表示： 经典表示： ( v) = F d d m t （10-1） ma = F （10-2）
第三定律(作用与反作用定律) 表述:两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向 相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。 这一定律就是静力学的公理四,它不仅适用于平衡的物体, 而且也适用于任何运动的物体。 上述三个定律适用的参考系称为惯性参考系。 今后,如无特别说明,我们取国定在地球表面的坐标系为惯性参考系;以 牛顿三定律为基础的力学,称为古典力学,在此范畴,质量、空间和时间 是“绝对”的,与运动没有关系,但近代物理已经证明,质量、的付间和空 间都与物体的运动速度有关,只是当物体的运动速度远小于光速时,物体 的运动对质量、时间和空间的影响是微不足道的
8 第三定律（作用与反作用定律） 表述：两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等，方向 相反，沿着同一直线，且同时分别作用在这两个物体上。 这一定律就是静力学的公理四，它不仅适用于平衡的物体， 而且也适用于任何运动的物体。 上述三个定律适用的参考系称为惯性参考系。 今后，如无特别说明，我们取固定在地球表面的坐标系为惯性参考系；以 牛顿三定律为基础的力学，称为古典力学，在此范畴，质量、空间和时间 是“绝对”的，与运动没有关系，但近代物理已经证明，质量、时间和空 间都与物体的运动速度有关，只是当物体的运动速度远小于光速时，物体 的运动对质量、时间和空间的影响是微不足道的
动力单 §10-2质点的运动微分方程 将动力学基本方程(m=F)表示为微分形式的方程,称为 质点的运动微分方程。 质点受到n个力F,F2,…,F时,由质点动力学第二定律,有 m=∑F(10-3)或m。2=∑F(103) i=1 式(10-3)'是矢量形式的微分方程,在计算实际问题时, 需应用它的投影形式 1.质点运动微分方程在直角坐标轴上投影 设矢径在直角坐标轴上的投影分别为x,y,,力F在轴上的投影 分别FFF则式(10-3)‘在直角坐标轴上的投影形式为 Q d ∑ ∑ ∑ F2(10-4)
9 将动力学基本方程 表示为微分形式的方程，称为 质点的运动微分方程。 (ma = F) §10-2 质点的运动微分方程 质点受到n个力F1，F2，Fn时，由质点动力学第二定律，有 d d 1 2 2 = = n i t m F r = = n i m i 1 a F （10-3） 或 （10-3） 式（10-3）是矢量形式的微分方程，在计算实际问题时， 需应用它的投影形式 1. 质点运动微分方程在直角坐标轴上投影 设矢径r在直角坐标轴上的投影分别为x,y,z,力Fi在轴上的投影 分别Fxi, Fxi, Fxi,则式（10-3）在直角坐标轴上的投影形式为 = = = = = = n i z i n i yi n i xi F t y F m t y F m t x m 1 2 2 1 2 2 1 2 2 d d , d d , d d （10-4）
2.质点运动微分方程在自然轴上投影 由运动学知,点的全加速度在自然轴系的的投影为 a=at+an 0 式中τ和n为沿轨迹切线和主法线的单位矢量,如图10-1所示, 式(10-3)在自然轴系上的投影为 d 2v (10-5) dt ∑ ∑ i=1 式(10-4)和(0是两种常用的质点运动(+) 微分方程。 b 式(10-3)为一矢量等式,可向任一轴投影 应用质点运动微分方程,可以求解下面 表述的质点动力学的两类问题 10
10 式(10-4) 和(10-5)是两种常用的质点运动 微分方程。 式(10-3)为一矢量等式,可向任一轴投影 应用质点运动微分方程，可以求解下面 表述的质点动力学的两类问题: 2. 质点运动微分方程在自然轴上投影 由运动学知,点的全加速度在自然轴系的的投影为 = = = = = = n i i n i i n i i F F v F m t v m 1 b 1 n 2 1 2 t 2 , , 0 d d （10-5） a = at + an n , ab = 0 式（ ）在自然轴系上的投影为 式中 和 为沿轨迹切线和主法线的单位矢量，如图 所示， 10 3 10 1 − n −