第六章点的运动学 A OA= AB= 200 mm, CD= DE AC = AE =50mm,杆OA的角速度a= 0.2xad/,t=0时,g=0;十 求点D的运动方程和轨迹。 解由图,g=0.2πt,故点 的运动方程为 200 cos 0. 2It mm 消去时间t得点D的轨迹方程:分 1(椭圆 题6.1图 62已知点M自A至B作直线运动,速度v(t)如图(a); 求点M的位移AB、运动图和加速度图。 810ts 46810 题6.2图 解各段为匀变速运动故各段加速度(见图(b))为 a1=20-5-20)=20m份,(0≤t≤2) (2≤t≤6) 126
a3=-7.5m/2, (6≤t≤10) 积分得位移,(见图c) x1=-20t+10t2, (0≤t≤2) x2=20(t-2)+1.25(t-2)2, (2≤t≤6) x3=100+30(t-6)-3.75(t-6)2,(6≤t≤10) t=10(s)时,由x3得总位移AB=x3=160m 6.3已知图(a)凸轮运动 速度v0≡10mm/s,半径R=80 mm,t=0时,角=0 求活塞B相对于凸轮和 相对于地面的运动方程和速度, 并作运动图和速度图。 解设固结于地面的坐标系历 xOy和固结于凸轮的坐标系 Oxy"如图示,设AB=c,则活 塞B相对于凸轮的运动方程和R 度为 xB=xA三Uot yB=ya+c 10√64-t Vay (e B= 10 mm/s B 相对于地面的运动方程和速度为 题6.3图 =%+c=10√64-t2+c;
UBr 0, 10t √64-t2 mm/s 活塞的运动图和速度图如图(b)、(c)、(d)、(e)所示。 6.4已知飞机沿半径为R的圆弧以匀速v0飞行;点M在 A处与飞机分离g为重力加速度,若原点与飞机铰接的坐标系 xOy与固定坐标系x1O1y1平行; 求在坐标系xOy中,点M的加速度a 与角φ的关系。 解在图示两个坐标系中,点M的坐标x 分别为 x =I-R sing, y y1-R cospp t I1=vot, y1=R+2gt,p-R 题6.4图 所以 L2 2 v011 2gR cos 6.5已知火箭在B点处铅直发 射,θ=kt; 求火箭的运动方程,以及在 和时,火箭的速度和加速度。 解火箭运动方程为 4,y元! tankt 速度和加速度为 题6.5图 U=y= Lk sect, a =y=2lk sec kt tankt 128
当kt=时,=号质,a=8432 k=3时,飞元4 √3Dk2 66已知电机以匀速vo向下拖动 绳子,v和l为常量 求套管A的速度和加速度与距离 的关系。 解设t=0时,绳上C点位于B处, 在瞬时t,到达图示位置;则 AB+BC=√x2++v0:=常量mm 将上式对时间求导,得套管A的速度 和加速度为 dz=-v√x2+l2 dt du 负号表示v、a的实际方向与x轴方向相反。 6.7已知圆轮偏心距OC=e, 求顶杆AB的运动方程和速度。 解点A可代表AB的运动;运动方程和 速度为 yA= e sing+√R2 △中C A=5=m+2√R2-gs 题6.7图
6.8已知电子的轨迹为 y=0.7r mm,2 =V22+2500 mm; 又 x=1.5×105t4mm; 求当x=150mm时,电子的速度和加速度。 解当x=150时,t=10-1s,电子速度和加速度的各分量 为 t=6×103mm/s, x=18×104mm/2 y=126×104mm/s2 t=5.692×103mm/,2=19.35×104mm/s2 69已知AB=BC=l,g =t 求1)点A的轨迹、速度矢端 曲线和加速度矢端曲线; 2)当t=0和t=2o 时,点 A轨迹的曲率半径是多大? 解点A的运动方程、速度 加速度为 题69图 r= 2/ cost, i=-2lw sinat, x=-2lw-cosat, y=l sin y= la y=-lw sint 分别消去时间t可得点A的轨迹方程、速度矢端曲线方程和加速 度矢端曲线方程为 y2=P2 当t=0时 x=2l,y=0;x=0,y lo", y 当t=时 x=0,y=l;t=-2la,y=0;x=0,y=-l2
根据公式 i ty -xy I 得=0和t=20时点A轨迹的曲率半径分别为 和 4L 6.10已知点M沿轨迹的运动方程为s=30t+5t2m; 求t=0、1和2s时的加速度。 解速度、加速度为 U==30+10t;ar=3=10,an= 当t=0时 0,P=c,v=301 n=0,ar=10m/s2 当 s=35,p=15,v=40m/s, a1067m的2,a=10m0 当t=2时 题6.10图 s=80,0=30,v=50m/s, an=83.33m/s2,ar=10m/s2 611已知小环由静止从A开始沿轨迹运动。CD=DE。 在AB段加速度为a=g;在BCE段,切向加速度ar= g cosp; 求小环在C、D两处的速度和加速度。 解在AB段,由a=4=vn=g 作积分
得 在BCE段,由 dv vdv 作积分vdv= gR cospas 得 +2gR sine 在C点处,=5,v=2√gR 题6.11图 在D点处,=3x,vm B=(2+√2)g,aD=√(ab)2+(ab)2=3.487g 612A处抛一刚能过仓库,取重力加速度g=10m/s; 求l为多大可使初速度vo最小?不计空气阻力。 解石块的运动方程为 y=tvo sing -gt2 消去t得轨迹方程 g 2 (1+tan20∴ 题6.12图 将P、C两点坐标代入,分别得 20=ltan0-52(1+tan20) 0=(+40)tn0-1(t+40)(1+t)(2) 132·
由式(1).(2)消去(1+m2)得tmn=(40+2) 由式(1)-式(2),得v02=g(+20)(tan0+) 将式(3)代入上式,令 dvo=0,得2+40l-800=0 解得 =14.64m时vo最小 6.13已知g=ot;M沿OA和半径为R的大圆弧滑动; 求分别用直角坐标法和自然法给出M的运动方程,并求出 和 解1.设直角坐标系xOy如 图,则M的运动方程为 R+RoOs 速度和加速度分别为 U=上=-2 aR sin2at ( 2R sin2 题6.13图 2设弧坐标正方向如图,则运动方程、速度加速度为 552R,s2, =0 ER 4Ro 当M在图示位置时,速度加速度各分量的方向如图所示。 614已知杆OA与杆O1B相垂直,OO1=a,g=kt; 求滑块D的速度v及其相对于杆OA的速度vDo 解点D的轨迹是圆弧,运动方程和速度为
s=RO=at,w=§=ak 点D在Ox’轴向的坐标和速度为 xd= a cost, vd=td=-ak sinkt UD和vD的方向如图所示。 题6.14图 题6.15图 6.15已知g=aot,OM=vot 求以极坐标表示滑块M的轨迹。 解以点O为极点,Ox为极轴,点M的运动方程为 P=Uot, p=w 消去时间t得到用极坐标表示的轨迹方程为p=0 6.16已知如题6.15图所示,g=aot,小环沿杆运动的 速度v=如,k为常数;当q=0时,P=po; 求以极坐标表示滑块M的轨迹。 解由v==an9 积分得点M在极坐标下的轨迹方程三Qea 6.17已知OA=OB=a,AM=b,g=kt;点B为极 点,BO为极轴; 134
求在极坐标下点M的运动 方程、轨迹方程、速度和加速度的大 小 解M的运动方程为 0, 由上面两式消去t得轨迹方程Q 2=6+ 2a coso 题6.17图 点M的速度为 Up =P=- 2ak sinkt t 2ka cost 、h√2+4a2+4 ab cost 点M的加速度为 ap=p-ep2=-bk2-4ak2coskt ae -1 d(e2,)-4uk 2 sinkt a=√a2+a2=k2√16a2+b2+8 ab cost 6.18已知点的运动方程 x=50t,y=500-5t2; 求t=0时,点的切向加速度、法向 加速度和轨迹的曲率半径。 解由运动方程可作出点的轨迹为抛 物线,如图所示;点的速度与加速度为 土=50,y=-10t;x=0,y=-10 题6.18图 y 即t=0时,v=50m/s,a=10m/2,v,a的方向如图所示。 135
