第十二章动量定理 12.1已知汽车以36km/h的速度在平直道上行驶,车轮 在制动后立即停止转动; 求车轮对地面的动滑动摩擦系数∫应为多大方能使汽车在 制动6s后停止。 解汽车的初速度为v0=36km/h=10m/s 由动量定理 向水平轴投影,有0-mv0=-mgt解得∫=20=0.,17 122已知跳伞者质量m=60kg,自停留在空中的直升 飞机中跳出,落下h=100m后,将降落伞打开。不计开伞前的阻 力,开伞后所受的阻力不变,经5s后跳伞者的速度减为4.3ms, 伞重不计; 求阻力的大小。 解开伞时的速度为v0=√2=44.27m/ 由动量定理向铅垂轴投影mv1-mvo=I=(mg-F)t 代入数值解得F=1068N 123已知重物质量m1= 2000kg,起重机质量m2=20000 kgOA=8m,开始时,该系统静止,/° 杆与铅垂位置成60角,水的阻力和 杆重均略去不计; 求当OA转至图示位置时,起 重机的位移。 解设起重机沿x轴正向运动 题12.3图 247·
了Δx,因该系统初始静止,且ΣX=0,故x方向该系统质心位 置守恒。在初始位置和图示位置,质心的坐标分别为 1C m1[x1+△x+OA(sin60-sin30)]+m2(x2+△x) CI -c2 ,解 得△x 124已知物块质量m1=20 kg,m2=15kg,m3=10kg,四棱柱 的质量m=100kg,不计滑轮与绳子 的质量及摩擦,系统初始静止; 求当物块m1下降1m时,四 棱柱体相对于地面的位移。 解设四棱柱沿x轴正向运动 了Δx,因该系统初始静止,且∑X= 题12.4图 0,故x方向该系统质心位置守恒。 由 mr mIxI+ m2x2+m m(x+△x)+m1(x1+△x)+m2( +m3(x3+△x+0.5)]/(m+m1+m2+m3) 以及 解得4x三-0.138m,(← 12.5已知A、B的质量分 别为mA、mB,且mA=3mB,各处 摩擦不计。初始时系统静止 求当B沿A滑下接触到水 题12.5图 248
平面时,A移动的距离。 解设A沿x轴正向移动了△x,因该系统初始静止,且ΣX 0,故x方向该系统质心位置守恒。由 IcI=A.+ Be2 mA mB mA(x1+△x)+mB(x2+△x+a-b) 以及 解得 1 (a-b),(+) 12.6已知平台车质量m1=500kg,人的质量m2=70 kg,车与人以共同速度v向右方运动。人相对平台车以速度v,= 2m/s向左方跳出,不计平台车水平方向的阻力及摩擦 求平台车增加的速度 解取人、车系统为研究对象,由ΣX=0,故该系统在x方 向动量守恒。跳前人、车同速,无相对速度;人、车分开时,设平台 车增加的速度为△v,则 (m1+m2)vo=m1(vo+△v)+m2(vo+△v-v,) 解得 △v=-“2v-=0.246m/s 12.7已知均质杆AB长 为l,直立于光滑的水平面上; 求杆无初速倒下时,端点 A相对图示坐标系的轨迹。 解杆初始静止,且ΣX= 0,x方向质心位置守恒。即,质 心C始终在y轴上,A点坐标为
消去参数a,得4x2+又2=2,即端点A的轨迹为椭圆。 12.8已知圆柱体质量为 m1,半径为R,不计尺寸的小球质量 为m2,初始时系统静止,小球从顶点 滑下,不计摩擦图(a); 求小球未脱离圆柱体时,相对 图示静坐标系xOy的运动轨迹。 解初始时系统静止,且ΣX= hammam0m 0故该系统质心位置始终在y轴上, 图(b),即 xc=21=0 t,): 将x1=x-R∞s0,代人上式,解出 L1 R COSt 又 R sina 题12.8图 由此两式消去参数θ,得 +5=1(椭圆 m1+ m2 129已知坦克履带的质 量为m1,每个均质车轮的质量 C 为m2,半径为R,坦克前进的速 度为v; 求此系统的动量。 题12.9图 250
解履带质心的速度为p,则其动量为p1=m1ν,两个车轮 的动量均为p2=m2v;故整个系统的动量为 P=∑mv1=(m1+2m2)v 或者考虑到整体质心速度是vc=v,则由公式p=mv立即可得 此结果。 12.10已知均质杆OA、AB与均质轮的质量均为m,OA =l1,AB=l2,轮的半径为R,轮作纯滚动,OA杆的角速度为a; 求图示瞬时此系统的动量。 解OA、AB杆与轮子 质心的速度方向如图所示,其 大小分别为 l1 则此系统的动量为 P= mv1 v2 mvB 故p=5, ml1a(←) 题12.10图 12.11已知均质曲柄 OC的质量为m1,均质尺AB的 质量为2m1,滑块A和B的质量 均为m2,OC=AC=CB=l OC的角速度a为常量,图(a); 求曲柄水平向右时,系统 的动量。 解图(b)中,OC的质心速 度为 a(↑) AB杆与滑块A、B质心为点C, 题12.I图 251
其速度为v2=l(↑) p=m1v1+(2m1+2m2)v2 得质点系动量=y(5m1+4m2(↑ 12.12已知均质鼓轮O的 质量为m1,重物B、C的质量分别 为m2与m3,斜面光滑,倾角为0, 重物B的加速度为a; 求轴承O处的约束反力 解整体受力与运动分析如图 所示,由P=x,中P=EY, 分别有 题12.12图 d dt m3 Uc Cos0)= For- FN sina dt (mave sine-m2vB)=Fov m1+ m2+m 式中 FN=m3g cosg 可解出 For=3a cos+ m3g sing cosB Fo=(m:+m2+m3)g-m3g c0620+m3 a sin@-2a 12.13已知平台AB的质量为m1,与地面间的动滑动摩 擦系数为f;小车D的质量为m2,相对运动规律为s=bt2;不 计绞车的质量 求平台的加速度。 解整体受力与运动分析如图所示,由=x,=
∑Y,分别有 m2(vr-v)]=Fv 0=Fy-(m1+m2)g 风 式中v=5,F=fFN,解得 dt 772 题12.13图 12.14已知mB、mA=3mB,角θ,不计各处的摩擦 求A的加速度及地面的支持力。 题12.14图 解系统受力与运动分析如图(a),由9P=EX,9= ΣY,分别有 d dt(-vA+ mB(-v u, cos0)]=0 dt(- mgu, sin)=FN-(mA+ mB)g 式中v=vA,得 (1)
nHa, sin= FN-(mA mB)g 再研究物B如图(b),由max=ΣX",得 mB(- aA COSB+ ar)=mgg sing 由此三式解得aA=snc 12m 26F 12.15已知滑块A的质量 为m,自重不计的弹簧刚度为k, AB=1,B球质量为m1,g=at,a 为常数,AB杆上的力偶矩为M; 求滑块A的运动微分方程。↓ 解以弹簧原长处和铅垂位置 为x和φ的起始位置,由≌2= 题12.15图 X,有2mx;=-F,即 (mmr+m, (a+I sing )=-kr 12.16已知均质曲柄 OA的质量为m1,滑块A的质量 为m2,滑杆CD的质量为m3,OA =1,BC=,a为常数,不计摩 擦 S D 求(1)机构质量中心的运 动方程;(2)作用在点O的最大 水平力 题12.16图
解在图示坐标系下,由质心坐标公式 得机构质心的运动方程为 m1+2m2+2m3 dC-2( L cost mI+ 2m2<L sinat yc-2(mi + m2+ m 该机构整体受力如图所示,由mac=∑X,有 (m1+ m2+ m3)= For 解得 For=-,(m1 2m2 +2m3)la2coswt, m=(m1+2m2+2m3)a2 12.17已知滑杆质量为 m1,圆盘质量为m2,半径为r, 偏心距为e,a为常数 求任一瞬时机座螺钉的附( 加动反力Fx动、F动。 解设机座质量为m0,质 心坐标为(x0、x),该机构整体烈不 受力如图,有 (m0x0+m1x1+m2x2)=F2 题12.17图 d 2(m0y0+m1y1+m2y2)=-(mao+m1+m2)g+F 式中 rI=e cost +r+c. y1=0 2=e cost, y2 =e sinat F F F、静+F
当机构静止时,有F静-(m0+m1+m2)g=0 由以上各式,解出附加动反力为 动= 12.18已知半圆板质量m 半径R,角速度a,角加速度a,质心 位置OC 求图示q角时,轴O的约束反 力 解半圆板受力与加速度如图 由质心运动定理 题12.18图 有 mac=-For mg cosp mac= Fom -mg sinop 式中a=CC·a=a,a=OC·2=1B2 解得FOor= mg Cosp- 4R 也可由质心运动定理,向x、y轴投影得 Fo= mg m 2(a2 -a coso 12.19已知 =2 m/s, v =4m/s,水流进口截面积为0.02 求水作用在水道壁上的附加压 力 解设附加压力F、F如图所 题12.19图