第十一章质点动力学的基本方程 11.1已知活塞与滑杆质量共为m=50kg,OA=0.3 m n= 120 r/min 求当p=0与g=90时作用在BD上的水平力。 题11.1图 解取滑块A为动点,BDC(平动)为动系,加速度分析如图 (a),图中 =OA·()2 由 求得 ae BDC受力分析如图(b),由 ar ma。=-FA 解出当g=90时,FA=0 兄=0时,m=28N向左 11.2已知物块质量为m,摩擦系 数为fs,与转轴间的距离为r; 求物块不滑出时,转台的最大转速。 解视物块为质点,受力与加速度分 题11.2图
析如图,由 man=Fs和an=r2 以及物块不滑的条件 Fs≤fsFN=fsmg即mro2≤fsmg 解出“5V,nm=s3w如,/座 sg r/min MwwwAAAA 11.3已知A、B的质量分别为 m1、m2,且m1>m2,不计质量的滑轮半 径为r,连接如图(a) 求系统在高度差为c的位置无初速 释放后,两物达到相同的高度所需的时间。 解视物体A、B为质点,受力与加 速度分析如图,分别有 F T2- 2g 式中,Fn2=F1,解出 n Hm28为常数 (b) 再由 +vot+at2 题11.3图 2 解得 现Um 11.4已知飞机水平飞行时空气阻力FR与速度平方成正 比,当速度为1m/s时,这阻力等于0.5N;推进力F恒为308 kN,且与飞行方向往上成10角;
求飞机的最大速度。 解空气阻力为FR=0.5v 飞机水平飞行,视为质点,有 na,= F- FR 飞机速度最大时,a=0,所以 题11.4图 Fcos10-Fr= F cos10-0 5vnux =0 解出 燃、246.3m/s 11.5已知砂粒随筛筐沿铅 直方向作简谐运动,振幅A=25 求使砂粒与筛面分离的最小 频率f 解砂粒受力如图,其运动方 程为 题11.5图 A sin(ax +0), w=2f 有 f= FN-mg 解得最小压力为 ENmin= mg-mAw2= mg -mA(2xf) 砂粒与筛面分离的条件是FNmn≤0 由此解得 故,使砂粒与筛面分离的最小频率为 fm=2A=315H 11.6已知偏心轮半径为R,偏心距OC=e,角速度 常量,导板B的顶部放一质量为m的物块A; 求(1)物块对导板的最大压力;(2)使物块不离开导板的a
的最大值。 解物块受力如图,其运动方程为 r=htr+e sinat 由 lx= FN-mg 解得最大压力为F5m(g+cm2) 最小压力为 FN=m(g-e2) 物块不离开导板的条件是 FN≥0 由此解得 所以,使物块不离开导板的a的最大值为 A 题11.6图 11.7已知离心浇铸机绕中心 轴转动,管模内径D=400mm; 求能使铁水紧贴管模内壁的最 低转速n。 解取一滴铁水为研究对象,受 力与加速度分析如图,有 man=FN+mgs8和an=m2 在θ=0处,得最小压力为 题11.7图 铁水不离开管壁的条件是 FN≥0 由此解得 故能使铁水紧贴管壁的最低转速为 30/2g 232
1长均,求的为数,重重 求两杆的内力。 解M球受力与加速度分析如图,在图示 n、b轴方向上分别有 ma,=FMA COSB+ FMB oose 0= FMA sing- FMB sing-mg 式中an=√12-a2a2,解得 FMA=24(w2a+ g),FMB 题11.8图 11.9已知轨道的曲率半径 p=300m,列车的速度v=12 m/s,轨道间距b=1.6m; 求为使列车对铁轨的压力 垂直于路基,外轨应高于内轨的高 度h 解以列车重心代表列车,在 图示n、b轴方向上分别有 题11.9图 man= FN sing 0= FN coSA 式中an=,si0≈b,可解得h=h2 在小角度情况下∞s0≈1,h184mm 11.10已知套筒A的质量为m,绳子被卷扬机向下拉动 的速度v=常数; 求绳子拉力与距离x之间的关系。 解套筒A受力如图,对绳上一点D,设DB=v0t,则 33
DB+BA=vot+√x2+p2=常数 对时间求导数,得 套筒A的运动微分方程为 可解得Fr=m(g-x) =m(g+ 题11.10图 11.11已知物块M的质量为m 与斜面间的摩擦系数为fs,且fs< tan0,三棱柱的加速度a为常量 求使物体M相对三棱柱静止a 的最大值及此时M对三棱柱的压力。 解设物块M即将沿斜面向上滑 动,受力如图,在图示x、y方向上分别 题11.11图 Fs-mg sine ma sine FN- ng cosB 式中FS=∫sFN,解得 =50/p F=-o g cos8-fs sine 同理,设物体M即将沿斜面下滑,可求出使物体M相对三棱 柱静止的a的最小值及此时物体M对三棱柱的压力
11.12已知滑块质量m=2kg,与杆AB间的动摩擦系数 f=0.1,s=0.4t,9=0.5t,系统在铅垂面内; 题11.12 求t=2s时,推动滑块的力F的大小 解由s=0.4,得v=5=0.4,a=t=0 由乎=0.5t,得a=g=0.5,a=a=0 当t=2s时,s=0.8m,g=1rad 取滑块为动点,AB杆为动系,其加速度分析如图(b), 有 au=a+a:+a,+ac 式中 an=2=0.2m/s2,a=0 an=0,ac=2a=0.4m/32 滑块受力如图(a),由max=F-F4- mg sinp maay= FN-mg cos 式中F=FN,解得F=172N 11.13已知销钉M的质量m=0.2kg,水平槽杆以匀速 U=400m/s向上运动,使M在半径r=200mm的固定半圆槽 内运动。不计摩擦; 求图示位置时圆槽对销钉M的作用力。 解以销钉M为动点,水平槽为动系,其运动分析如图(a), 有 aa aa+ an 式中 U=400m/s 235
题I1.13图 可解得a=1.067m/s2,a=0.616m/s2 销钉M受力与加速度分析如图(b),有 ma=mgo×30-Fycs30 ma= Fr+ FN sin30-nmig cos60 解得 FR=0.284N 或者向水平轴上投影,有 man cos30 mai cos60 FR cos30 也解得 FR=0.284N 1.14已知物体质量为m=10kg,受力F=100(1-t) N作用,初速度v0=0.2m/,与力的方向相同; 求经过多长时间后物体速度为零;又,此前走了多少路程 解由ma=F,在vo方向上投影,有 10 积分得v=0.2+10t-52,s=0.2t+512-3t3 把v=0代人,求得 t=2.02s,s=7.07m 236
11.15已知质点O质量为 m,带有电荷e,置于一均匀电场中, 电场强度E= A sinkt。质点受力为F =EE,初速为v,与x轴的夹角为 不计重力的影响; 求质点的运动方程。 解质点受力如图,有 题11.15图 max=0和may= eA sinkt 积分得v=06,vy=-vsin0+m(1- cost) (t-i sinkt )-vot sine 11.16已知质点的质量为m,受 向心力F一kr作用,初瞬时质点的坐标为 x=x0,y=0,速度分量为vx=0,vy= 05 求质点的轨迹。 解质点受力如图,坐标为x、y有 mar=- F aoso = kr cos0 =-kx 题11.16图 may=-Fsine = kr sing =-ky 整理得 0 y+wfy=0 式中a2=k,解这两个微分方程得 x=AI sin(ont+01), y= A2 sin(wnt +02) 且初始条件为t=0时,x=x0,vz=0,y=0,vy=v0 求得积分常数A1=x0,01=芬,A2 02=0
A I=ro sin(a,+2)=o cos,t, y=w.sina,t 消去参数t,有+ky2 1,即轨迹为一椭圆 11.17已知潜水艇的质量为m,重 力与浮力合起来的下沉力为P,水的阻力FR kAv式中k、A为常数,v为下潜速度,t≡= 0时,v=0; 求潜水艇铅直下潜的速度和在时间 T内的下潜路程s。 解视潜水艇为一质点,受力如图,有 题11.17图 P-FR= P-kA d 分离变量后,积分求出v=(1-e) 再积分一次得x=5=[T-m(1-cr)] 11.18已知物体的质量为 ,自高度h处以速度v0水平抛 出,空气阻力为FR=-km,式中测 k为比例常数,v为物体的速度; 求物体的运动方程和轨迹。 解视该物体为质点,其受力 如图,其中 FR=-kmv=-km(ti+ yj) 题11.18图