第十四章动能定理 141已知半径R=100mm,弹簧原长l=100mm,刚性 系数k=4.9kN/m,一端固定; 求弹簧的另一端由点B拉至点A和由 点A拉至点D时,弹簧力所作的功 解由W1 k (a-8),有 4900 w2x【(0.12-0.1)2-0.12]题14图 203J W=490×[012-(0.12-0.121203J 14.2已知物块A、B的质量分别为 =3kg,mB=2kg,在半径r=0.5m的圆盘上 作用一力偶,其矩为M=4q; 求g由0至2π时,力偶M与物块重力所 作功的总和 解W=4d+(mA-m)g·2m题142图 109 14.3已知滑块质量为2kg,绳子 的拉力Fr=20N; 求滑块由位置A至B时,重力与拉 力所作的总功。 解重力和拉力所作的功分别为 题14.3图
W重=-2×9.8×(6cot45°-6cot60°)sin30°=-24.85J 3-20(6-)-ds=314 62+(6-s) 则重力与拉力所作的总功为 14.4已知两个车轮的质量均 为m1,半径为R,可视为均质圆盘, 坦克履带的质量为m2,两车轮轴间的 距离为xR,坦克前进的速度为v; 题14.4图 求此质点系的动能。 解车轮作平面运动角速度为0=;两车轮的动能为 T1=2·(m1v2+ 221R2a32、2 坦克履带AB部分动能为零,CD部分为平动,其速度为2v;圆弧 AD与BC部分合起来可视为一平面运动圆环,环心速度为v,角 速度为a=R。履带的动能为 T (2v)2+ r202= m2u2 则此质点系的动能为 T=T1+T2=(3m1+2m2)2 14.5已知曲柄长OA a,转动惯量为Jo,以匀角速度a转 7阴 动,滑道连杆质量为m,不计滑块 A的质量 题14.5图 求此机构的动能及动能为最
大值与最小值时的g角值。 解由图,滑道速度为 Ue Ua sinp= aa sinp 则该机构的动能为 T三T曲柄+T滑道=3Jo2+ma 1a2Uo+ma2?'pl 当中=2L1),;=1,2,…时有Tm=1a2(10+m2) 当三(二1)132时,有工曲= 14.6已知长为l,质量为m的均质杆OA 以球铰链O固定,并以等角速度a绕铅直线转 动,杆与铅直线的交角为0; 求杆的动能。 解此杆绕铅直轴作定轴转动,取微元如图 杆的转动惯量为 J.=2邮=2h0 题14.6图 杆的动能为T=1J2=1m12l2sn26 14.7已知铅垂面内,弹射器弹簧原长200mm,。欲使弹 簧改变10mm需力2N若弹簧被压缩到100mm,然后弹出质量 为30g的小球; 求小球离开弹射器筒口时的速度。 解此弹簧的刚度系数为k=n1=200N/m,小球的初动
能Tt=0:设小球离开筒囗时的速度为 v,动能T2=m2;弹力和重力的功为 W=告(0.12-0)-mgx0,1sm30 由T2-T1=W,可解得 8.1m/s 14.8已知弹簧刚度系数k 题14.7图 01N/mm,原长l0=60mm,当阀升高s= 6mm时,弹簧长度l=40mm,阀体的质量 为0.4kg 求阀门落下到达全闭位置时的速度 解阀门初动能T1=0,到达全闭位置 时的速度为v,动能为T2 由 T2-TI=W 有 0=5(8-B) 题14.8图 式中,弹簧变形量分别为 δ1=l0-l=0.02m 82=lo-(l+s)=0.014 代人各数据可解得v三041ms B 14.9已知质量为2kg的 物块A在刚性系数k=400N/m s 的弹簧上静止,现将质量为4kg的 物块B无初速地放在物块A上; 求(1)弹簧对两物块的最大 作用力;(2)两物块的最大速度。 题14.9图
解(1)该系统初动能T1=0,弹簧压缩量达到最大值时弹 簧力最大,两物块速度为零,动能T2=0,;设这时两物块的位移 为xmx;由T2-T1=W,得 0-0=5[83-(xm+2)]+(mA+m)kgm 式中 从而求出弹簧的最大压缩量是。m=xm+6=4 弹簧的最大作用力为F=kmax=10g=98N (2)设两物块速度为v时,位移为x,动能为T2,得 =[83-(x+1]+(mA+m)gx (1) 对时间求导数,注意土=v,得 (mA+mB)如=-kx+mBg (2) 在速度最大时,=0,解出此时的位移x=m 和δs一起代入式(1)即可求出最大速度τmx=0.8m/s 14.10已知冲头受的平均阻力FR =52kN,行程s=10mm,飞轮的转动惯 量J=40kg·m2,转速n=415 r/min。-‖ 全部能量都由飞轮提供; 求冲压结束后飞轮的转速。 解研究整体,冲压前飞轮角速度为 ,设冲压后飞轮角速度为a2,由 动能定理,有 题14.10图
22-2Ji=-FR5 解得 2=43.16rad/s 冲压后飞轮转速为n2= =412r/r 14.11已知轴I和轴 Ⅱ的转动惯量分别为J1=5 kg·m2和2=4kg·m2,且当 ,作用于轴I上的力偶矩 f1=50N·m,系统由静止 开始运动; 求轴Ⅱ转速达到n2= 题14.11图 120rmin时,轴Ⅱ转过的圈数。 解整体,由动能定理,有 (J1a+J2o2)-0=M1g1 式中 解得 g1=9.826rad 轴Ⅱ的转角 轴Ⅱ的转数 2=39=2.346 2T 14.12已知均质杆AB=BO=l,质量均为m;力偶矩 M为常量。不计轮A质量及摩擦; 求系统由静止从θ角位置至铅垂位置时,点A的速度。 解OB杆作定轴转动,AB杆作平面运动,P为AB杆的速 292·
度瞬心,可得PB=BO=l aAB=ao;滚子A碰到铰支 座O时,PBA成一直线,AP=R 2,如图(b)所示,故AB杆质、, 心C及点A的速度为 ab =5la vA lAb 在图(b)位置,两杆的动能为 OB =cml 14.12图 v 由动能定理,有 (ToH I TAH)-0-M0 2mg (1cos0 解得 D=√3[M0-m(1-a9) 14.13已知链条的质量为 m,长为L,初始下垂长度为a,不 C OD o D oA 计摩擦,开始时静止; 求链条离开桌面时的速度 解链条初动能T1=0,链条 离开桌面时的动能为T2=2m2; 动过程中,只有重力作功,取微 题14.13图 元如图,其微重量为dx,此微元由桌面至x处作功为dW=
dx·x,故重力的总功 mgx·d m(12-a2) T2-TI=W 解得 也可利用W=mg(xC-xc)计算重力的总功;式中质心坐 标分别为 [a2+o 2,x2= 1414已知链条全长l=1m,其密度p 2kg/m,悬挂在半径R=0.1m,质量m=1 kg的均质圆轮上,自图示位置由静止开始下落 链条与轮子间无相对滑动 求链条离开轮子时的速度。 解系统的初动能为T1=0,设链条离开滑 轮时的速度为v,则系统末动能为 2mR2R)+ 14.14图 初始位置时链条质心在铅垂方向的坐标为 末位置时链条质心坐标为xc2 =0.5m 所以链条重力作的功W=alg(xc-xc1)=2g(xc2-xc1) 由 T2-T1= w 可解得 v=2.512m/s
14.15已知U形管的截面积A mm2,液体的密度为p。初始液体两表面高度 差为h,速度为零,不计摩擦 求液面的运动方程。 解液体机械能守恒。取液面静平衡位置 O-O为零势能位置和坐标轴x的原点又设可 液体总的质量为m,则当液面运动到位置x处 时,液体的势能等于液柱AO回填到位置OB的 过程中,其重力所作的功,故在位置x处,液体 的机械能为 r+v=1mt2+(xA)lgx=常量题145 上式对时间求一阶导数,得x+2Ax=0 此微分方程的解为x=Hsin(ot+) 式中 aPg 由初始条件1=0时,0=,o=0 可求得H=皇,日= 所以,液面的运动为以O-O为中心的 简谐振动:x= coSct 为n质量为m2动滑轮O2的半径为 14.16已知重物M1、M2的质 量分别为m1与m20定滑轮O1的半径 r2,质量为m4。两轮均可视为均质圆 盘。且m2>(2m1-m4) 题14.16图 295
求重物M2由静止下降距离h时的速度。 解该系统初动能T1=0,重物M2下降h时动能为 T,= v +号m+3m吗+号m好 式中转动惯量-2"37,Jon=5m4n 运动学关系 重力作功为 w=(m2 m4)gh-mig 2h=(m2+ m4-2mi)gh T2-TI 解出 4sh(m2-2m1+7 14.17已知三个带孔圆板的质量 均为m1,两个重物的质量均为m2,系统 由静止开始运动,当右方重物和圆板落下 距离x1时,两块圆板被搁住,该重物又下 降距离x2后停止。滑轮的质量不计; 求x2与x1的比 解重物和圆板落下距离x1,速度由 零增至v时,由T2-T1=W,得 1(2m2+3m)2-0 =(m2+2m1)gx1-(m2+m1)gx1 题14.17图 两圆板被搁住后,重物再落下距离x2,速度由v降为零,有 0-(2m2+m1)v2=m2gx2 t mi)gr2