第八章点的合成运动 81已知光点M沿y轴作谐振动运动方程为 x=0, y=a cos(kt +p) 感光纸带以等速v向左运动 求点M在纸带上投影的轨4y 解如图示,静系为xOy,动 M 系xOy固结在纸带上,动系作平 动,可用点O的运动表示,即 Io=-vot, yo =0 题8.1图 光点M的相对运动方程为 as(kt p) 消去时间t,即得点M在纸带上投影的轨迹方程 82已知点M在xOy中的运 动方程为x′=40(1-cost)mm y= 40 sint mm 动系xOy的转动方程为p=trad,图 中xOy为静系; 求点M的相对轨迹和绝对轨 迹 题8.2图 解由已知的相对运动方程消去t 便得相对轨迹方程 (40-x)2+2402(圆
点M的绝对运动方程为 天天y=409st-40 ya. sinc+ y cose=40 sint 消去t即得绝对轨迹方程(x+40)y元4(圆 8.3已知AB⊥BC,BC= 120m,水速v不变,船相对于河水 速度v的大小也不变;当v⊥BC 开向B时,船由A至C的时间为t1 =10min;当v与AB成某一角度 向上游斜开时,船由A至B的时间 为t2=12.5min; 题8.3图 求河宽L、水速v和船相对 水的速度v 解取船为动点,动系与河水相联,则 va=v十v=ν十Wr 速度平行四边形分别如图所示,有 L 由此解出L=200m,三1思m天 即 10 Ur= 20 m/min 84已知水轮半径R=2m,转速 n=30r/min,水滴M的绝对速度vn=15 m/s,它与过点M的半径夹角为60°; 求水滴M相对于水轮的速度。 解取水滴M为动点,水轮为动系 则 题8.4图
大小15 方向如图如图 将此式向点M处的切向和法向投影,得 15sin60°=2π+ Ur sinθ,15s60°=rcos 解出 vr=10 8.5已知调速器的角速度a=10 rad/s,球柄张开的角速度a1=1.2rad/s, l=0.5m,e=0.05m; 求=30时球的绝对速度。 解取重球为动点转轴AB为动系, 则 大小 (e+l sinB) o1! 方向?⊥图面向内⊥BD 由此解出v=√+二3059m 题8.5图 8.6已知矿砂绝对 速度v1=4m/s,传送带速 度v2=2m/s; 求1)矿砂相对传送 带的速度v;2)传送带的速 度v2为多大时,v才与它垂 直? 解取砂粒为动点,传 题8.6图 送带为动系
1)由图(b),得v 2)设v⊥v2,如图(c),得v= va cosB=1.035m/s 8.7已知OA=,曲杆 BCD的速度为v,BC=a; 求A点的速度与x的关 解取曲杆上的点B为动 点,OA杆为动系,则 速度平行四边形如图,得 Ue- UasIn= U 8.7图 wo= te=ux2+n,v= od=v r2+a OB 8.8已知砂轮直径d=60 mm,转速n1=10000r/min;工件直径 D=80mm,转速n2=500r/min 求砂轮与工件接触点间的相对速 解取砂轮上与工件接触的点M 为动点,工件为动系,则 题8.8图 各速度方向如图将此式向y轴投影 #c vr= va+ ve 20(dn, + Dn2)=33.51 m/s
8.9已知工件 直径d=40mm,转速 n r/min,车刀速 度v=10mm/s; 求车刀对工件的 相对速度。 题8.9图 解取刀尖为动点,工件为动系,则 大小 兀n 方向←↓ 速度平行四边形如图(b)所示,解得 =√v2+v2=63.62mm/2,∠(v,v)=8057 8.10已知图示两 种机构中O1O 0.2m,杆O1A的角速度 a1=3rad/s,6=30° 求图示位置时杆 O2A的角速度a2。 解对图(a),取杆 O1A上的A点为动点,杆 O2A为动系;对图(b) 题8,10图 取杆O2A上的A点为动点,杆O1A为动系,由 分别作速度平行四边形如图所示。由图(a)解出 =1.5 rad/s 158
由图(b)解出 如p=01a,m2=O2A-3 va- cos 30 Va==1=2rad/ 8.11已知OA=r,a为常量 求p=0°、30°、60°时,杆BC的速度。 题8.11图 解取杆OA的点A为动点动系固结在杆BC,则 在g=0°、30°、60°时,各速度矢量如图(b)、(c)、(d)所示。 当g=0°时,由图(b)解出杆BC的速度为 U, tan30° 当q=30°时,由图(c)解出杆BC的速度为v=0 当φ=60°时,由图(d)解出杆BC的速度为v 8.12已知v0B=v=常量当t=0时,g=0; 求p=4时点C速度的大小。 解取AB杆的A点为动点杆OC为动系,则
速度平行四边形如图所示;得 vc OC a cos 解出 a cos e UC 当φ=4时, 8.13已知轮C半径为R,偏心 距OC=e,角速度a=常量; 题8.12图 0°时,平顶杆AB的速 解取轮心C为动点,平顶杆AB 为动系,则 va vetVr 速度平行四边形如图示;图中v平行于 杆AB的底平面,所以 ve- Ua Cosp 当φ=0°时,顶杆的速度v三c 8.14已知圆盘和OA杆的角速 度分别为1=9rad/s,o2=3rad/s,b =0.1m;销子M可在它们的导槽中滑 题8.13图 动 求图示瞬时,销子M的速度。 解取销子M为动点,分别将动系12固结在盘和杆上,则 va v22 + vr 故
各速度矢量如图所示。将此式向 x轴投影,得 v10os60+0 由此可解出v2,所以销子速度 30 =05292m 815已知叶片泵转子的 角速度为a,叶片AB与转子径 向OB的夹角为B,OB=p;定子 题8.14图 曲线的法线EB与OB的夹角为0; 求叶片AB在转子槽内滑动的 速度。 解取叶片的B点为动点,转子 为动系,则 大小 ? 方向⊥EB⊥OB沿AB 速度平行四边形如图所示,将此式向 法线EB上投影,得 题8.15图 0=-ve sine+ Ur cos(0-B) 解出 ur=-oo sine 8.16已知直线AB的速度为v1;CD的速度为v2;两直线 交角为; 求两直线交点M的速度 解取交点M为动点(可视为套在两杆上的小环),分别取杆 161
AB和CD为动系1、2,则 va =ve2+ V,2, Ve2=12 各速度矢量如图所示,由此两式得 将此式向y轴投影,得 题8.16图 由此可解出v,2,所以交点M的速度为 + v2-2v1U2 cos0 8.17已知两盘半径均为R=50mm,距离L=250mm, 求两盘位于同一平面内时,盘2的点A相对于盘1的速度 和加速度。 T (b 题8.17图 解取点A为动点,盘1为动系,由 大小R2(L+R)1
方向与x反向与z同向 得出 316.2mm/s 大小aRa(L+R)?12o1x可|=600mm/s 方向指向O2指向O2 沿y轴 由于a、an、ac都在y轴上,因此a,必在y轴上,设其方向如图将 此式向y轴投影得 解出 a= a=500 mm/s2 818已知图(a)两车速度vA=vB=72km/h 求图示瞬时,在B车中观察,A车的速度、加速度各是多 30 x 题8.18图 解该问题和我们在地球上看一颗卫星的运动相似,故选A 车为动点,B车为动系(绕点O作定轴转动),对A车作运动分析 如图(a),图中 式中,各矢量在动系中的表达式为 163