理论力 计一章动定理
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概述动力学普遍定理 对质点动力学问题:可由前一章内容建立运动微分方程求解。 对质点系动力学问题:可以逐个质点列出其动力学微分方程 联立求解,但求解过程很复杂。 实际上的问题是:1、联立求解微分方程尤其是积分问养常困雅 2、大星的问题中,不需要了解每一个质点的运动仅需 要研究质点系整体的运动情况 从本章起,将要讲述解答动力学问题的其它方法,即动力学普遍 定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它 些定理,它们从不同的侧面揭示了质点和质点系总体的运动变 化与其受力之间的关系,可以求解质点系动力学问题
2 实际上的问题是：1、联立求解微分方程(尤其是积分问题)非常困难。 2、大量的问题中，不需要了解每一个质点的运动,仅需 要研究质点系整体的运动情况。 概述-动力学普遍定理 对质点动力学问题： 可由前一章内容建立运动微分方程求解。 对质点系动力学问题：可以逐个质点列出其动力学微分方程 联立求解，但求解过程很复杂。 从本章起, 将要讲述解答动力学问题的其它方法, 即动力学普遍 定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它 一些定理)，它们从不同的侧面揭示了质点和质点系总体的运动变 化与其受力之间的关系，可以求解质点系动力学问题
动力学 它们以简明的数学形式,表明两种量: 1、一种是同运动特征相关的量(动量、动量矩、动能等); 2、另一种是同力相关的量(冲量、力矩、功等)——之间的关 系,从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。 在一定条件下,上述特征量用这些定理来解答动力学问题非常 方便简捷。 本章中研究质点和质点系的动量定理,建立了动量的改变 与力的冲量之间的关系,并研究质点系动量定理的另一重要形 式质心运动定理
3 它们以简明的数学形式， 表明两种量 ： 1、一种是同运动特征相关的量(动量、动量矩、动能等)； 2、另一种是同力相关的量(冲量、力 矩、功等) —— 之间的关 系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。 在一定条件下，上述特征量用这些定理来解答动力学问题非常 方便简捷 。 本章中研究质点和质点系的动量定理，建立了动量的改变 与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另一重要形 式——质心运动定理
第十一章动量定理 §11-2动量与冲量 §11-3动量定理 s11-4质心运动定理
4 §11–2 动量与冲量 §11–3 动量定理 §11–4 质心运动定理 第十一章 动量定理
§11-1动量与冲量 动量 在日常生活和工程实践中可看出,质点的速度和质量的乘积 表征了质点机械运动的强弱,例:枪弹:速度大,质量小;船: 速度小,质量大。 1.质点的动量:质点的质量与速度的乘积mv称为质点的动量。 是瞬时矢量,方向与ν相同。单位是kgm/s 2.质点系的动量:质点系中所有各质点的动量的矢量和 P (11-1) 式中n为质点数,m为质点的质量,v为质点速度矢量
5 §11-1 动量与冲量 一、动量 在日常生活和工程实践中可看出，质点的速度和质量的乘积 表征了质点机械运动的强弱，例：枪弹：速度大，质量小； 船： 速度小，质量大。 1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动量。 是瞬时矢量，方向与v 相同。单位是kgm/s。 2.质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和。 = = n i mi i 1 p v （11-1） 式中n为质点数，mi为I质点的质量，vi为质点速度矢量
dr 如质点的矢径为i,其速度为v;=dt 代入式(11-1),因m不变,则有: ∑m=∑ d d 标类似,定义质点系质量中心(质心) dt dt 令m=>m为质点系总质量,与重心坐 (11-2) 图11-1 d 代入上式,得 P dt ∑mn=(m)=mn(113) dt 上式表明,质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积。 刚体是由无限多个质点组成的不变质点系,质心是刚体内某 确定的点。对于质量均匀的规如刚体,质心就是几何中心,由 式(l13)可以方便的计算刚体或者刚体系统的动量
6 刚体是由无限多个质点组成的不变质点系，质心是刚体内某 一确定的点。对于质量均匀的规则刚体，质心就是几何中心，由 式（11-3）可以方便的计算刚体或者刚体系统的动量。 图11-1 如I质点的矢径为ri，其速度为 ， 代入式（11-1），因mi不变，则有： t i i d dr v = = = = i i i i i i m t t m m r r p v d d d d 令 为质点系总质量，与重心坐 标类似，定义质点系质量中心（质心） m =mi 代入上式，得 = i i = m c = m c t m t p r ( r ) v d d d d （11-3） m mi i c = r r （11-2） 上式表明，质点系的动量等于质心速度与其全部质量的乘积
动力学 〔例1〕曲柄连杆机构的曲柄O4以匀 O转动,设OA=AB=1,曲柄OA及连杆 AB都是匀质杆,质量各为m,滑块B的质 量也为m。求当=45时系统的动量。 解:曲柄OA:m,,=1o 滑块B:m,e3=√2lo 77 5o=5o(P为速度瞬心,PC 连杆AB:mv2=2o0-2 D1 0AB =0) P=m1+mc2+mvc3=√2mlo-2i+门 m[(vci Sin -vc2 cos8-vc3)i +(vCI cOS P+vc2 sin 0)j m(-losn452-3los6-√2l)i+( lo cos45°+Y1osm) 2 c+、c 0-v2)+(
7 解: 曲柄OA： 滑块B： 连杆AB： （ P为速度瞬心， PC = l; AB = ） 2 5 2 〔例１〕曲柄连杆机构的曲柄OA以匀 转动，设OA=AB=l ,曲柄OA及连杆 AB都是匀质杆, 质量各为m , 滑块B的质 量也为m。求当 = 45º时系统的动量。 ) ] 10 1 2 5 2 2 2 1 2) ( 10 3 2 5 2 2 2 1 [( sin ) ] 2 5 cos45 2 1 cos 2 ) ( 2 5 sin 45 2 1 [( i j i j = − − − + + = − − − + + ml m l l l l l i p v v v [( sin cos ) 1 2 3 1 2 3 C C C C C C m v v v m m m = − − − = + + ( cos sin ) ] 1 2 j C C + v + v ] 2 1 = 2ml[−2i + j m vC l 2 1 , 1 = m vC l AB l 2 5 2 5 , 2 = = m, vC3 = 2l
冲量 力与其作用时间的乘积称为力的冲量,冲量表示力在其作 用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如,推动车子时, 较大的力作用较短的时间,与较小的力作用较长的时间,可得 到同样的总效应 如力F是常矢量: I= Ft (11-4) 如力F是变矢量(包括大小和方向的变化):在微小时间间隔内 力F的冲量称为元冲量。 元冲量为:dI=Fdt 而力F在时间内的冲量为矢量积分:I=|Fdt (11-5) 冲量的单位:N=kgm2=kgms与动量单位同.8
8 如力F 是变矢量（包括大小和方向的变化）：在微小时间间隔内， 力F的冲量称为元冲量。 如力F是常矢量： I = Ft （11-4） 而力F在时间t内的冲量为矢量积分： = （11-5） t t 0 I Fd 二．冲量 力与其作用时间的乘积称为力的冲量，冲量表示力在其作 用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时， 较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，可得 到同样的总效应。 元冲量为： dI = Fdt 冲量的单位： N s kg m/s s kg m/s 2 = = 与动量单位同．
§11-2动量定理 1.质点的动量定理 由(10-1)有:(m)=F或 d(mv)= Fat 式(116)是质点动量定理的微分形式,即质点的动量对时间 的导数等于作用于质点的力,或质点动量的增量等于作用在质 点上的元冲量。 对上式积分,时间由0到t,速度由v变为v,得 mv-mvo=Fdt=I (11-7) 式(11-7)是质点动量定理的积分形式,即在某一时间间隔内 质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量
9 §11-2 动量定理 1．质点的动量定理 式（11-6）是质点动量定理的微分形式，即质点的动量对时间 的导数等于作用于质点的力，或质点动量的增量等于作用在质 点上的元冲量。 式（11-7）是质点动量定理的积分形式，即在某一时间间隔内， 质点动量的变化等于作用于质点的力在此段时间内的冲量。 由（10-1）有： ( v) = F 或 （11-6） d d m t d(mv) = Fdt 对上式积分，时间由0到t，速度由v0变为v，得 − = = t m m t 0 v v0 Fd I （11-7）
动力学 2.质点系的动量定理 质点系的内力与外力 外力:所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。内力:所考 蔡的质点系内各质点之间相互作用的力。对整个质点系来计,内力系的主矢恒 等于零,内力系对在一点(或轴)的主矩恒等于零。印 ∑F0=0.∑m(F()=0或∑m2(F)=0 设质点系有n个质点,由质点动量定理,对质点系内任一质点t, nivi (F( dt+Fidt 对整个质点系,有n个方程,相加得 ∑4(mn)=∑F+∑Fd(其中∑F=0) 因质点系动量增量为:∑dm)=d∑(m)=上式可变为 4=∑Fd=∑M(11-8)或p=∑F 11-9) 10
10 2．质点系的动量定理 m t t t i i e i e i i d( i i ) ( i )d d d ( ) ( ) ( ) ( ) v = F + F = F + F d( ) d d （其中 0） 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 = + = = = = = n i i i n i i i n i e i n i i i m v F t F t F 对整个质点系，有n个方程，相加得 设质点系有n个质点，由质点动量定理，对质点系内任一质点 i， *质点系的内力与外力 外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的力。内力：所考 察的质点系内各质点之间相互作用的力。对整个质点系来讲，内力系的主矢恒 等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即： Fi (i) = 0; mo (Fi (i) ) = 0 或 mx (Fi (i) ) = 0。 因质点系动量增量为： d(mi vi ) = d(mi vi ) = dp 上式可变为 d d d 1 ( ) 1 ( ) = = = = n i e i n i e i p F t I （11-8） 或 d （11-9） d 1 ( ) = = n i e i t p F