理论力 第十五章世原
第十五章虚位移原理 §15-1约束·虚位移·虚功 §15-2虚位移原理
2 §15–1 约束 • 虚位移 • 虚功 §15–2 虚位移原理 第十五章 虚位移原理
动力学 在这本章,将个绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理,它 应用功的概念分析系统的平衡问题。从位移和功的概念出发,得出在意质 点系的平衡条件。该原理川做虚位移原理 它是研究衡问葱的最一般的原理,是解决静力学平衡问题的另一途径; 不仅如此,将它与达朗伯原理相结合,组成了动力学普遍方程,为求解复 杂系统的动力学问题提供了另一种普遍方法,构成了分析力学的基础。 §15-1约束·虚位移·虚功 例如: A(A,YA) B(xB, YR) M(x,y) 曲柄连杆机构 平面单摆 t ya x+ B xA)2+ 12 B B
3 在这本章，将介绍普遍适用于研究任意质点系的平衡问题的一个原理，它 应用功的概念分析系统的平衡问题。从位移和功的概念出发，得出任意质 点系的平衡条件。该原理叫做虚位移原理。 它是研究平衡问题的最一般的原理，是解决静力学平衡问题的另一途径； 不仅如此，将它与达朗伯原理相结合，组成了动力学普遍方程，为求解复 杂系统的动力学问题提供了另一种普遍方法，构成了分析力学的基础。 §15-1 约束 • 虚位移 • 虚功 平面单摆 2 2 2 x + y = l 例如： 曲柄连杆机构 2 2 2 x y r A + A = ( ) ( ) , 0 2 2 2 xB − xA + yB − yA = l yB =
1.约束及其分类 为研究方便,对静力学中约束概念重新定义,即限制质点或质 点系运动的各种条件称为约束。表示这些限制条件的数学方程 称为约束方程。下面从不同角度对约束分类。 (xy”,z)=0 (1)几何约束和运动约束 限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称 为几何约束。如前述的平面单摆和曲柄连杆机 构中的限制条件都是几何约束 又如图3,质点M在固定曲面上运动,其曲面 图3 方程就是该质点的约束方程,即 f(x,y,=z)=0 当约束对质点或质点系的运动情况进行限制 时,这种约束条件称为运动约束。如图4,车 轮作纯滚动 几何约束y4=r 运动约束v4-r=0或1-rp=0 图4
4 （1）几何约束和运动约束 当约束对质点或质点系的运动情况进行限制 时，这种约束条件称为运动约束。如图4，车 轮作纯滚动。 1．约束及其分类 为研究方便，对静力学中约束概念重新定义，即限制质点或质 点系运动的各种条件称为约束。表示这些限制条件的数学方程 称为约束方程。下面从不同角度对约束分类。 又如图3，质点M在固定曲面上运动，其曲面 方程就是该质点的约束方程，即 f (x, y,z) = o 图3 图4 限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称 为几何约束。如前述的平面单摆和曲柄连杆机 构中的限制条件都是几何约束。 几何约束 运动约束 y r A = vA − r = 0或x A − r = 0
(2)定常约束和非定常约束 当约束条件与时间有关,并随时间变化时,这 类约束称为非定常约束 如图,重物M由一条穿过固定圆环的细绳系住。M 初始时摆长l,匀速y拉动绳子。约束方程为③ 该方程中显含时间t 约束条件不随时间改变的约束为定常约束。定常约束方程中不 显含时间,前面的例子中约束条件都是定常约束。 (3)其他约束 若约束方程中含有坐标对时间的导数(例如运动约束),而且方 程不可能积分为有限形式,即约束方程中含有的坐标导数项不是 某一函数全微分,这类约束称为非完整约束。一般非完整约束方 程只能以微分形式表达。反之,若约束方程中不包含坐标对时间 的导数,或者约束方程中的微分项可以积分为有限形式,这类约 束称为完整约束。例如上述做纯滚动的车轮的约束就是完整约束
5 当约束条件与时间有关，并随时间变化时，这 类约束称为非定常约束。 如图，重物M由一条穿过固定圆环的细绳系住。 初始时摆长 l0 , 匀速v拉动绳子。约束方程为 （2）定常约束和非定常约束 约束条件不随时间改变的约束为定常约束。定常约束方程中不 显含时间，前面的例子中约束条件都是定常约束。 2 0 2 2 x + y = (l −vt) 该方程中显含时间t （3）其他约束 若约束方程中含有坐标对时间的导数（例如运动约束），而且方 程不可能积分为有限形式，即约束方程中含有的坐标导数项不是 某一函数全微分，这类约束称为非完整约束。一般非完整约束方 程只能以微分形式表达。反之，若约束方程中不包含坐标对时间 的导数，或者约束方程中的微分项可以积分为有限形式，这类约 束称为完整约束。例如上述做纯滚动的车轮的约束就是完整约束
完整约束的一般形式为 f (1,y1,E1, .,xn, ym, En:t) 式中n为质点系的质点数,s为完整约束的方程数 几何约束必定是完整约束,但完整约束未必是几何约束。非完 整约束一定是运动约束,但运动约束未必是非完整约東。 如右图,刚性杆限制了质点M沿杆 拉伸和压缩方向的位移,这类约束O 称为双侧约束(或固执约束)。若0 刚性杆改为绳,则只限制质点或质 刚杆 绳 点系单一方向运动,该类约束称为 单侧约束(或非固执约束)。显然y M 双侧约束方程为等式,单侧约束方 程为不等式 x2+y2= 2 x2+12≤P 本章只讨论定常的双侧几何约束,其方程一般形式为 f(x1,y,1,…,xn2yn,En)=0( 式中n为质点系的质点数,s为完整约束的方程数
6 完整约束的一般形式为 ( , , , , , , ; ) 0 ( 1,2, , ) 1 1 1 f x y z x y z t j s j n n n = = 几何约束必定是完整约束，但完整约束未必是几何约束。非完 整约束一定是运动约束，但运动约束未必是非完整约束。 式中n为质点系的质点数，s为完整约束的方程数。 如右图，刚性杆限制了质点M沿杆 拉伸和压缩方向的位移，这类约束 称为双侧约束（或固执约束）。若 刚性杆改为绳，则只限制质点或质 点系单一方向运动，该类约束称为 单侧约束（或非固执约束）。显然 双侧约束方程为等式，单侧约束方 程为不等式。 刚杆 x 2+y 2=l 2 绳 x 2+y 2 l 2 本章只讨论定常的双侧几何约束，其方程一般形式为 ( , , , , , , ) 0 ( 1,2, , ) 1 1 1 f x y z x y z j s j n n n = = 式中n为质点系的质点数，s为完整约束的方程数
动力学 2.虚位移 如图,系统中质 点在平衡时本来 M B 是不动的,但我 们设想在约束允 OrB 7 许条件下,给某个质点一个任意的、极其微小 的位移。 某瞬时,质点系中的质点发生的为约束允许的任意的无限小位 移,称为质点系(在该瞬时)的虚位移。 虚位移可以是线位移,也可以是角位移。通常用变分符号δ表 示虚位移。 必须注意,虚位移与实际位移(简称实位移)是不同的概念, 实位移是在一定条件下真正实现的位移,它除了与约束条件有 关外,还与时间、主动力以及运动的初始条件有关
7 某瞬时，质点系中的质点发生的为约束允许的任意的无限小位 移，称为质点系（在该瞬时）的虚位移。 虚位移可以是线位移，也可以是角位移。通常用变分符号 表 示虚位移。 M 2．虚位移 如图，系统中质 点在平衡时本来 是不动的，但我 们设想在约束允 许条件下，给某个质点一个任意的、极其微小 的位移。 必须注意，虚位移与实际位移（简称实位移）是不同的概念， 实位移是在一定条件下真正实现的位移，它除了与约束条件有 关外，还与时间、主动力以及运动的初始条件有关；
而虚位移仅与约束条件有关,因为虚位移是任意无限小的位移 ,所以在定常约束下,实位移只是所有靴位移中的一个,而虚 位移根据约束情况,可以有多个,甚至无穷多个 而对于非定常约束,如图所示,由于实位 移与时间有关,而虚位移是将时间固定后 ,约束允许的位移,此时实位移不再是虚 位移之 *质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关系 确定这些关系通常有两种方法 )几何法。由运动学知,质点的位移与速度成正比,可以用分析速度的 方法分析各点虚位移之间的关系。 dr=y dt ()解析法。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数(q1q2……, qk),广义坐标分别有变分C122;Ch,各质点的虚位移在直角 坐标上的投影可以表示为
8 而虚位移仅与约束条件有关，因为虚位移是任意无限小的位移 ，所以在定常约束下，实位移只是所有靴位移中的一个，而虚 位移根据约束情况，可以有多个，甚至无穷多个。 而对于非定常约束，如图所示，由于实位 移与时间有关，而虚位移是将时间固定后 ，约束允许的位移，此时实位移不再是虚 位移之一。 *质点系中各质点的虚位移之间存在着一定的关系, 确定这些关系通常有两种方法： (一) 几何法。由运动学知，质点的位移与速度成正比，可以用分析速度的 方法分析各点虚位移之间的关系。 dr = v dt (二) 解析法。质点系中各质点的坐标可表示为广义坐标的函数（ q1 ,q2 ,……, qk），广义坐标分别有变分 ，各质点的虚位移 在直角 坐标上的投影可以表示为 q q qk , , , 1 2 i r
动力学 ax ;+ q2+… k 2 k 2 k 2 k oz 十 og 2 k k 3.虚功 力在质点发生的虚位移上所作的功称为虚功,记为S b=F·成=F+F分+F 虚功有正功和负功,它尽管和实位移中的元功采用了同一符 号δW,但它们之间有本质区别,虚功是假象的,不是真实 发生的。在静止质点系或机构中,力没有做任何功,但力可 以有虚功
9 k k i i i i k k i i i i k k i i i i q q z q q z q q z z q q y q q y q q y y q q x q q x q q x x + + + = + + + = + + + = 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 (i =1,2, n) 力在质点发生的虚位移上所作的功称为虚功，记为 W 。 W W F x F y F z = F r或 = x + y + z 3．虚功 虚功有正功和负功，它尽管和实位移中的元功采用了同一符 号W，但它们之间有本质区别，虚功是假象的，不是真实 发生的。在静止质点系或机构中，力没有做任何功，但力可 以有虚功
例1分析图示机构在图示位置时, 点C、A与B的虚位移 (已知OC=BC=a,OA=l) 解:此为一个自由度系统,取 OrB O杆与x轴夹角为广义坐标。 1、几何法 Src PC nPB2asinφ2sinq
10 [例1] 分析图示机构在图示位置时， 点C、A与B的虚位移。 (已知 OC=BC= a， OA=l ) 解：此为一个自由度系统，取 OA杆与x 轴夹角为广义坐标。 1、几何法 2sin 1 2 sin = = = = a a PB PC r r l a r r B C A C