理论力学
1
牛顿力学研究的主要内容在于确定物体运动与相互作用之 间的关系,前面用矢量形式建立了质点系动力学普遍定理 (动量定理、动量矩定理和动能定理),这种处理动力学 问题的方法和体系称为“矢量力学”,它形式简单,概念 清晰,但由于矢量力学要求事先对系统中个质点的受力情 况进行分析,所以在研究求解具有复杂约束系统和变形体 的动力学问题方面会遇到很大困难。 本章针对矢量力学所遇到的困难,采用分析数学的方法来 求解动力学问题,它利用能量和功来描述物体运动与相互 作用之间的关系,在达朗伯原理和虚位移原理的基础上, 导出动力学普遍方程和拉格朗日第二类方程(简称拉格朗 日方程)。成为研究动力学问题的有力手段,在解决非自 由质点系的动力学问题时,显得十分简捷、规范
2 牛顿力学研究的主要内容在于确定物体运动与相互作用之 间的关系，前面用矢量形式建立了质点系动力学普遍定理 （动量定理、动量矩定理和动能定理），这种处理动力学 问题的方法和体系称为“矢量力学”，它形式简单，概念 清晰，但由于矢量力学要求事先对系统中个质点的受力情 况进行分析，所以在研究求解具有复杂约束系统和变形体 的动力学问题方面会遇到很大困难。 本章针对矢量力学所遇到的困难，采用分析数学的方法来 求解动力学问题，它利用能量和功来描述物体运动与相互 作用之间的关系，在达朗伯原理和虚位移原理的基础上， 导出动力学普遍方程和拉格朗日第二类方程（简称拉格朗 日方程）。成为研究动力学问题的有力手段，在解决非自 由质点系的动力学问题时，显得十分简捷、规范
第十八章分析力学基础 §18-1自由度和广义坐标 §18-2以广义坐标表示的质点系平衡条件 §18-3动力学普遍方程 §184第一类拉格朗日方程 §185第二类拉格朗日方程 §18-5拉格朗日方程的初积分
3 §18–1 自由度和广义坐标 §18–2 以广义坐标表示的质点系平衡条件 §18–3 动力学普遍方程 §18–4 第一类拉格朗日方程 §18–5 第二类拉格朗日方程 §18–5 拉格朗日方程的初积分 第十八章 分析力学基础
物力单 §18-1自由度和广义坐标 个自由质点在空间的位置由x,yz3个坐标可以确定3个,我们 说该自由质点有3个自由度。一般质点运动会受到约束限制,则 其自由度数会减少,在完整约束条件下,确定质点系位置的独立 参数的数目等于系统的自由度数。 f(a,y,z)=0 例如:一质点M限制在球面的上半部运动,则 (x-a)2+(y-b)2+(2-c)2=R (18-1) z▲ =c+√R2-(x-a)2+(y-b)2 (18-2) 故该质点在空间的位置由xy就可确定,其自由度数为2。 般讲,一个由n个质点组成的质点系,若受到个完整约束作 用,则其在空间的位置可由N=3n-s个坐标完全确定下来,我们 把描述质点系在空间中位置的独立参数,称为广义坐标。对完 整系统,广义坐标数目等于系统的自由度树
4 §18-1 自由度和广义坐标 一个自由质点在空间的位置由 x, y, z3个坐标可以确定3个，我们 说该自由质点有3个自由度。一般质点运动会受到约束限制，则 其自由度数会减少，在完整约束条件下，确定质点系位置的独立 参数的数目等于系统的自由度数。 例如：一质点M限制在球面的上半部运动，则 k = 3n− s 一般讲，一个由n个质点组成的质点系，若受到s个完整约束作 用，则其在空间的位置可由N=3n-s个坐标完全确定下来，我们 把描述质点系在空间中位置的独立参数，称为广义坐标。对完 整系统，广义坐标数目等于系统的自由度树。 ( ) ( ) (18 2) ( ) ( ) ( ) (18 1) 2 2 2 2 2 2 2 = + − − + − − − + − + − = − z c R x a y b x a y b z c R 故该质点在空间的位置由x,y就可确定，其自由度数为2
如上面的质点M的位置由x,y确定,则,xy是其一组广义坐标, 此外,我们可以选取其它的一组独立参量来表达其位置: 5+n5- 5+n 22=c+1R2-( 5- 6 2 2 上式说明广义坐标的选择并不是唯一的。考虑n个质点组成的系 统受到s个完整双侧约束 k(,2,…n,)=0 (k=1,23,…,s) (18-3) 设q12q2,…qn(N=3n-s)为系统的一组广义坐标,我们可以将各 质点的坐标表示为 r(q④1,q2,…,qN,D)=0 (i=1,2,3,…,H) (18-4) 由虚位移的定义,对上式进行变分运算,得到 Sr ∑ ori sgK 1.2.3 (18-5) k 其中8q(k=12,3,…N)为广义坐标q的变分,称为广义虚位移
5 如上面的质点M的位置由x,y确定，则，x,y就是其一组广义坐标， 此外，我们可以选取其它的一组独立参量来表达其位置： 2 2 2 ) 2 ) ( 2 , ( 2 , 2 x x z c R a −b − − − + = + − − = + = 上式说明广义坐标的选择并不是唯一的。考虑n个质点组成的系 统受到s个完整双侧约束 ( , , , , ) 0 ( 1,2,3, , ) 1 2 f t k s k r r rn = = （18-3） 设 为系统的一组广义坐标，我们可以将各 质点的坐标表示为 , , , ( 3 ) 1 2 q q q N n s n = − ( , , , , ) 0 ( 1,2,3, , ) ri = ri q1 q2 qN t = i = n （18-4） 由虚位移的定义，对上式进行变分运算，得到 ( 1,2,3, , ) 1 q i n q N k k i i = = = r r （18-5） 其中 q (k =1,2,3, ,N) 为广义坐标qk的变分，称为广义虚位移
§182以广义坐标表示的质点系平衡条件 设作用在个质点上的主动力的合力F在三个坐标轴上的投影分 别为(F,F,F1),把(18-5)代入虚功方程,得到 6W=∑W=∑(∑ N、089k+F g. +F k ∑∑ +e (18-6) k=l i=1 qk Oq,FE k ei oCk 令Qk=( +F (k=12,3,…,N)(18-7) k k k 则(186)可以写成8W=∑Q0k=0 (18-8) 上式中Qc具有功的量纲,所以成Q为与广义坐标q相对应 的广义力
6 上式中 具有功的量纲，所以成Qk为与广义坐标qk相对应 的广义力。 §18-2 以广义坐标表示的质点系平衡条件 设作用在I个质点上的主动力的合力Fi在三个坐标轴上的投影分 别为（Fxi ,Fyi ,Fzi ），把（18-5）代入虚功方程，得到 ( ) 0 ( ) 1 1 1 1 1 1 1 = + + = + + = = = = = = = = = q q z F q y F q x F q q z q F q y q F q x F N k n i k i z i k i yi k i xi n k n i N k k i z i N k k i yi N k k i WF WF i xi （18-6） ( ) ( 1,2,3, , ) 1 k N q z F q y F q x F n i k i z i k i yi k i k xi = + + == 令Q （18-7） 则（18-6）可以写成 0 1 = = = k N k WF Qk q （18-8） Qk qk
动力学 由于广义坐标的独立性,6可以任意选取,则若(18-8)成立 ,必须有 1=Q2 ON=0 (18-9) 上式说明,质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零。 这就是用广义坐标表示的质点系的平衡条件。 求广义力的方法有两种:一种方法是直接从(18-7)出发进行 计算;另一种是利用广义虚位移的任意性,令某一个4k不等 于零,而其他N-1个广义虚位移都等于零,代入 6WF=QA89k从而Qk OWE (18-10) qk 在解决实际问题时,往往采用第二种方法比较方便 下面研究质点系在势力场中的情况,如果作用在质点系上的 主动力都是有势力,则势能应为各质点坐标的函数,为 V=p(x1,y1=1…xn,yn,n (18-11)
7 由于广义坐标的独立性， 可以任意选取，则若（18-8）成立 ，必须有 q Q1 = Q2 == QN = （18-9） 上式说明，质点系的平衡条件是系统所有的广义力都等于零。 这就是用广义坐标表示的质点系的平衡条件。 求广义力的方法有两种：一种方法是直接从（18-7）出发进行 计算；另一种是利用广义虚位移的任意性，令某一个 不等 于零，而其他N-1个广义虚位移都等于零，代入 q WF = Qk qk 从而 k F k q = W Q （18-10） 在解决实际问题时，往往采用第二种方法比较方便 下面研究质点系在势力场中的情况，如果作用在质点系上的 主动力都是有势力，则势能应为各质点坐标的函数，为 ( , , , , , , ) 1 1 1 n n n V =V x y z x y z （18-11）
则虚功方程(18-6)中各力的投影可以表达为 A F 于是有 δWF ∑ (Frax+ Fy Svi +F- oz,) x:+ δ,+-1δ: 这样,虚位移原理的表达式成为8V=0 (18-12) 上式说明:在势力场中,具有理想约束的质点系的平衡条件 为质点系的势能在平衡位置处的一阶变分为零。 如果用广义坐标q1,q2,,q表示质点系的位置,则有 V=y 2 qN 由广义力表达式(18-7),在势力场中可将广义力Q表达为 ov a ov av av az k 十 k k k ax, aqk (k=1,2,3,…,N) (18-13) k
8 ( 1,2,3, , ) ( ) ( ) k N q V q z z V q y y V q x x V q z F q y F q x F k k i k i i k i i k i i z i k i yi k i k xi = = − + + = − + + Q = 则虚功方程（18-6）中各力的投影可以表达为 i zi i yi i xi z F y F x F = − = − = − V V V , , 于是有 V V V V W = − + + = − = + + ( ) ( ) i i i i i i i i i F xi i yi i z i i z z y y x x F x F y F z 这样，虚位移原理的表达式成为 V = 0 （18-12） 上式说明：在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件 为质点系的势能在平衡位置处的一阶变分为零。 如果用广义坐标q1 ,q2 ,…,qN表示质点系的位置，则有 ( , , , , ) V =V q1 q1 q1 qN （18-13） 由广义力表达式（18-7），在势力场中可将广义力Qk表达为
动力单 则由广义坐标表示的平衡条件可写成下面形式 (k=1,2,3,…,N) (18-14) aqk 即:在势力场中,具有理想约束的质点系的平衡条件是势能对 于每个广义坐标的偏导数分别等于零。上面(18-12)(18-14 )对于求解弹性系统的平衡问题具有重要意思 引用势能,还可分析保守系统的平衡稳定性问题,满足平衡条 件的保守系统可能处于不同的稳定状态。 如图示,给图、b、c所示的 球体”个小扰动,图中会>m 回到原来位置,该平衡状态 该平衡状态称为稳定平衡;b中小球会在周遍任何位置衡, 该平衡称为随遇平衡;图中小球会滚下去,不会回到原来的平 衡位置,该平衡状态称为不稳平衡
9 则由广义坐标表示的平衡条件可写成下面形式 0 (k 1,2,3, ,N) q V k k = = Q = − （18-14） 即：在势力场中，具有理想约束的质点系的平衡条件是势能对 于每个广义坐标的偏导数分别等于零。上面（18-12）（18-14 ）对于求解弹性系统的平衡问题具有重要意思。 引用势能，还可分析保守系统的平衡稳定性问题，满足平衡条 件的保守系统可能处于不同的稳定状态。 如图示，给图a、b、c所示的 球体一个小扰动，图a中球会 回到原来位置，该平衡状态 该平衡状态称为稳定平衡；图b中小球会在周遍任何位置平衡， 该平衡称为随遇平衡；图c中小球会滚下去，不会回到原来的平 衡位置，该平衡状态称为不稳平衡
上述3种衡状态都满足势能在平衡位置处8=0的平衡条件,但在稳定平 衡位置处,系统受到扰动后,新的位置系统的势能高于平衡位置处的势能 ,因此,在稳定平衡位置处,系统的势能具有最小值,因历系统可以回到 低势能位置处;相反在不稳定平衡位置上,系统势能具有最大值,在没有 外力作用下,系统不能从低势能处回到高势能处;对随遇平衡,系统在某 位置的近的势能是不变的,所以其所近在何位置都是平衡位置。 对于一个自由度系统,只有一个广义坐标q,则系统势能为q的 一元函数,即=κ(q),当系统平衡时,在平衡位置处有 dy dg 如果系统处于稳定平衡状态,则在平衡位置处,系统势能具 有最小值,即系统对广义坐标的二阶导数大于零 d>0该式是一个自由度系统平衡的稳定性判据。 q
10 上述3种平衡状态都满足势能在平衡位置处V=0的平衡条件，但在稳定平 衡位置处，系统受到扰动后，新的位置系统的势能高于平衡位置处的势能 ，因此，在稳定平衡位置处，系统的势能具有最小值，因而系统可以回到 低势能位置处；相反在不稳定平衡位置上，系统势能具有最大值，在没有 外力作用下，系统不能从低势能处回到高势能处；对随遇平衡，系统在某 位置附近的势能是不变的，所以其附近任何位置都是平衡位置。 对于一个自由度系统，只有一个广义坐标q，则系统势能为q的 一元函数，即V=V(q)，当系统平衡时，在平衡位置处有 0 d d = q V 如果系统处于稳定平衡状态，则在平衡位置处，系统势能具 有最小值，即系统对广义坐标的二阶导数大于零 0 d d 2 2 q V 该式是一个自由度系统平衡的稳定性判据
