第一章质点力学 §1.1运动的描述方法 、参考系与坐标系 1、参照系 物质的运动是绝对的,运动的描述是相对的。物体的位置只能相对地确定, 为研究一个物体必须事先选定另一个物体作为参考标准(参照物),这样的物体 就叫做参照系或参考系。①参照物是有限大小,但定上框架后,框架可延长到 无穷远,可见参照系可理解为参照物固连的整个空间;②观察者是站在参照系 的观察点上;③不特别说明都以地球为参照系。 2、坐标系 为了定量研究的空间位置,就必须在参考系上建立坐标系。参照系确定后, 在参照系上选择适宜的坐标系,便于用教学方式描述质点在空间的相对位置(方 3、质点及位置的描述 (1)质点:理想模型,有一定质量的几何点(物体形状可忽略,物体作平动)。 在研究物体的机械运动时,不考虑物体的大小和形状,而只计及其质量的力学模 型就叫质点。 (2)位置描述:①质点相对某参照系的位置,可由位矢r确定;②坐标描述: 直角坐标系;极坐标系等 运动学方程及轨道 1、运动方程 描述物体在参考空间中任一瞬时位置的数学表达式称为运动学方程 质点的运动学方程确定了点在参考空间中任一瞬时的位置,并由此可进一步揭示 质点运动的几何性质:轨迹、速度和加速度。写出质点的运动学方程是研究质点 的运动学的首要任务。一般常用的方程有 (1)矢量形式的运动学方程 =r() 当质点运动时r是时间t的单值连续函数。此方程常用来进行理论推导。它
1 第一章 质点力学 §1.1 运动的描述方法 一、参考系与坐标系 1、参照系 物质的运动是绝对的，运动的描述是相对的。物体的位置只能相对地确定， 为研究一个物体必须事先选定另一个物体作为参考标准（参照物），这样的物体 就叫做参照系或参考系。 ① 参照物是有限大小，但定上框架后，框架可延长到 无穷远，可见参照系可理解为参照物固连的整个空间；② 观察者是站在参照系 的观察点上；③ 不特别说明都以地球为参照系。 2、坐标系 为了定量研究的空间位置，就必须在参考系上建立坐标系。参照系确定后， 在参照系上选择适宜的坐标系，便于用教学方式描述质点在空间的相对位置（方 法）。 3、质点及位置的描述 (1) 质点：理想模型，有一定质量的几何点（物体形状可忽略，物体作平动）。 在研究物体的机械运动时，不考虑物体的大小和形状，而只计及其质量的力学模 型就叫质点。 (2) 位置描述：①质点相对某参照系的位置，可由位矢 r 确定;②坐标描述： 直角坐标系；极坐标系等。 二、运动学方程及轨道 1、运动方程 描述物体在参考空间中任一瞬时位置的数学表达式称为运动学方程。 质点的运动学方程确定了点在参考空间中任一瞬时的位置，并由此可进一步揭示 质点运动的几何性质：轨迹、速度和加速度。写出质点的运动学方程是研究质点 的运动学的首要任务。一般常用的方程有 （1）矢量形式的运动学方程 r r(t) → → = 当质点运动时 r 是时间 t 的单值连续函数。此方程常用来进行理论推导。它
的特点是概念清晰,是矢量法分析质点运动的基础 (2)直角坐标形式的运动学方程 x=x(1) y=y() 二=二(1) 这是常用的运动学方程,尤其当质点的轨迹未知时。它是代数方程,虽然依赖于 坐标系,但是运算容易。 (3)自然坐标形式的运动学方程 s=s(0 对运动轨迹已知的质点,常用此方程。用自然法研究运动,运算比较简便,各运 动参数的物理意义明确。 (4)极坐标下的运动学方程 p=p(1) q=q(1) 当质点在某平面上运动时,在任一瞬时,其位置也可用极坐标确定。 质点在参考空间中的位置还可用其它的方法确定,例如柱坐标法或球坐标 法。通过坐标形式的方程表示质点的运动方程,并由此继续描述质点的其它运动 量的方法称为分析方法。 2、轨道:质点运动过程中空间描述出的连续曲线,运动学方程中消去t得轨道 方程。(直线运动、曲线运动)。 三、位移、速度、加速度 1、位移:质点由A经Δt到B,称质点在时间△t内的位移 注意:位移是矢量;位移与路径不同。 2、速度 速度方向:沿该曲线的切线指向运动的一方。 2
2 的特点是概念清晰，是矢量法分析质点运动的基础。 （2）直角坐标形式的运动学方程 = = = ( ) ( ) ( ) z z t y y t x x t 这是常用的运动学方程，尤其当质点的轨迹未知时。它是代数方程，虽然依赖于 坐标系，但是运算容易。 （3）自然坐标形式的运动学方程 s = s(t) 对运动轨迹已知的质点，常用此方程。用自然法研究运动，运算比较简便，各运 动参数的物理意义明确。 （4）极坐标下的运动学方程 = ＝ ( ) ( ) t t 当质点在某平面上运动时，在任一瞬时，其位置也可用极坐标确定。 质点在参考空间中的位置还可用其它的方法确定，例如柱坐标法或球坐标 法。通过坐标形式的方程表示质点的运动方程，并由此继续描述质点的其它运动 量的方法称为分析方法。 2、轨道：质点运动过程中空间描述出的连续曲线, 运动学方程中消去 t 得轨道 方程。(直线运动、曲线运动)。 三、位移、速度、加速度 1、位移： 质点由 A 经Δt 到 B， 称质点在时间Δt 内的位移。 注意: 位移是矢量；位移与路径不同。 2、速度： d dt = r v 速度方向：沿该曲线的切线指向运动的一方
3、加速度: d v dt §1.2速度、加速度分量表示式 、直角坐标系 dx dz dv. d d 2 那么,该质点的速度=V1++"k,大小为 x￥2+y2+2 方向可用ν与三个坐标轴的方向余弦表示 cos(, i=vr /v=x/vx2+j2+i cos(v,)=v,/ cos(, k)=v/v=:/vx2+j2+: 加速度为a=a1l+a,+a2k 加速度大小 加速度方向也同样可以用方向余弦表示 cos(G, i=a/a=x1x2+j2 0a=a,/a=y/√2+2 cos(a, k)=a2/a=5/vi2+j2+2 极坐标系中的速度、加速度投影分别为 p, a,=p-pp, a,=pi+2pp
3 3、加速度： d dt = v a §1.2 速度、加速度分量表示式 一、直角坐标系 2 2 2 2 2 2 d d d d d d d d d d d d d d d d d d t z t v a t y t v a t x t v a t z v t y v t x v z z y y x x x y z = = = = = = = = = ， ， ， ， 那么，该质点的速度 v v i v j v k x y z = + + ，大小为 2 2 2 2 2 2 v v v v x y z x y z = + + = + + 方向可用 v 与三个坐标轴的方向余弦表示 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos( , ) / / cos( , ) / / cos( , ) / / v k v v z x y z v j v v y x y z v i v v x x y z z y x = = + + = = + + = = + + 加速度为 → → → → a = a i + a j+ a k x y z 加速度大小 2 2 2 2 2 2 a a a a x y z x y z = + + = + + 加速度方向也同样可以用方向余弦表示 2 2 2 2 2 2 2 2 2 cos( , ) / / cos( , ) / / cos( , ) / / a k a a z x y z a j a a y x y z a i a a x x y z z y x = = + + = = + + = = + + 二、极坐标系中的速度、加速度投影分别为 2 2 = − = + = = a a v v ，
图21 因此,该质点的速度"=v+v%o=Pp+p9 大小为 方向(图2.1) 加速度为a=aP0+a90=(-p)+(p+2m), 大小a=-m0)+(p0+20 方向(图2.2)1a=oap 三、自然坐标系中的速度、加速度投影分别为 vn=0, 0 S, s2/ 0 那么,该质点速度下=F=,其大小N,方向与该质点所在轨迹的切向子相 平行,当5>0时,z的方向为下的方向,§<0时,的负方向为v的方向。 加速度为=a2+4,=5+1万,大小为a=√3+2方向 te0= 其中6是加速度a(也称全加速度,位于密切面内)与主法向n的夹角
4 因此，该质点的速度 → → → → = 0+ 0 = 0+ 0 v v v 大小为 2 2 v = + () ， 方向（图 2.1） 加速度为 → → → → → = + = − 0+ + 0 2 0 0 a a a ( ) ( 2) ， 大小 2 2 a = ( − ) + ( + 2) 方向（图 2.2） a a tg / 1 = 三、自然坐标系中的速度、加速度投影分别为 / 0 0 0 2 = = = = = = n b n b a s a s a v s v v ， ， ， 那么，该质点速度 v = v = s ，其大小 s ，方向与该质点所在轨迹的切向 相 平行，当 s 0 时， 的方向为 v 的方向， s 0 时， 的负方向为 v 的方向。 加速度为 a a ann s s n / 2 = + = + ，大小为 2 4 2 a = s + s / 方向 an a tg = 其中 是加速度 a （也称全加速度，位于密切面内）与主法向 n 的夹角
切向加速度a=a12,改变质点的速度大小;法向加速度an=an,改变质 点的速度方向 §1.3质点运动定律 1、第一定律是第二定律所不可缺少的前提,因为第一定律为整个力学体系 选定了一类特殊的参考系一一惯性参考系基本定律。 2、第二定律中的质量是惯性质量,与万有引力中的质量相比,近年来的实验 结果已经证实相差不到10。爱因斯坦把引力质量等于惯性质量作为广义相对论 的基本公设。 3、一般工程问题地球可以看作惯性参考系;如果物体运动的尺度很大问题 的精确度要求很高,应当考虑地球自转的影响,可取地心为惯性参考系;在分析行 星的运动时,地心本身作公转,必须取日心参考系。太阳本身在银河系的加速度 大约是3×103厘米/秒2,一般来说可以不用考虑了,可以认为足够精确的了 牛顿第二定律:质量为m的质点受力F(i=1,2,…,m)的作用,在惯性系中的加速 度为a,则 n F §1.4质点运动微分方程 、微分方程建立 1、自由质点的运动限制质点运动的条件称为约束,不受约束作用的质点称为自 由质点。微分方程为 m=FG元 在直角坐标系中,微分方程成为 x=F(x,,s,i,j,i, 1) F,(x,y,,元,j,,) m=F(x,y,,x,j,,) 在平面极坐标系中,微分方程成为 m(F-r2)=F(;b,l) 8+2r0 =Fe, 0,i, 8
5 切向加速度 a = a ，改变质点的速度大小；法向加速度 an ann = ，改变质 点的速度方向。 §1.3 质点运动定律 1、第一定律是第二定律所不可缺少的前提, 因为第一定律为整个力学体系 选定了一类特殊的参考系——惯性参考系基本定律。 2、第二定律中的质量是惯性质量,与万有引力中的质量相比，近年来的实验 结果已经证实相差不到 10-12。爱因斯坦把引力质量等于惯性质量作为广义相对论 的基本公设。 3、一般工程问题地球可以看作惯性参考系；如果物体运动的尺度很大问题 的精确度要求很高,应当考虑地球自转的影响,可取地心为惯性参考系；在分析行 星的运动时,地心本身作公转，必须取日心参考系。太阳本身在银河系的加速度 大约是 3×10-8厘米/秒 2，一般来说可以不用考虑了，可以认为足够精确的了。 牛顿第二定律：质量为 m 的质点受力 Fi(i=1,2,….n)的作用,在惯性系中的加速 度为 a, 则: = = n i ma Fi 1 §1.4 质点运动微分方程 一、微分方程建立 1、自由质点的运动限制质点运动的条件称为约束，不受约束作用的质点称为自 由质点。微分方程为 mr F(r,r,t) = 在直角坐标系中，微分方程成为 ( ) ( ) ( ) = = = mz F x y z x y z t my F x y z x y z t mx F x y z x y z t z y x , , , , , , , , , , , , , , , , , , 在平面极坐标系中，微分方程成为 ( ) ( ) ( ) ( ) + = − = m r r F r r t m r r F r r t r 2 , , , , , , , , 2
2、非自由质点的约束运动若质点被限制在某一曲线或曲面上运动,该曲线或曲 面称为约束,其方程为约束方程,约束对质点的作用力为约束力(约束反力), 约束力是待定的,取决于约束本身的性质,质点的运动状态及其质点受主动 力的情况,只靠约束力不能引起质点的运动,故称约束力为被动力。微分方程 为 m=F(,产,l)+R 其中R为约束反力。在自然坐标系中,上式变为 =F Fn+R 0=fb+R 3、运动微分方程求解 两类基本问题:1)已知运动求力,2)已知力求运动,解微分方程,为理论力 学主要课题。 解体步骤:1)理解题意,作图,受力分析;2)写出方程,选坐标系投影;3) 求解方程,分析解的物理意义
6 2、非自由质点的约束运动若质点被限制在某一曲线或曲面上运动，该曲线或曲 面称为约束, 其方程为约束方程, 约束对质点的作用力为约束力(约束反力), 约束力是待定的，取决于约束本身的性质，质点的运动状态及其质点受主动 力的情况,只靠约束力不能引起质点的运动,故称约束力为被动力。微分方程 为 mr F(r r t) R = , , + 其中 R 为约束反力。在自然坐标系中，上式变为： F Fn Rn Rb dt d m = = + = b + 2 m 0 F 3、运动微分方程求解 两类基本问题：1)已知运动求力，2)已知力求运动，解微分方程，为理论力 学主要课题。 解体步骤：1）理解题意，作图，受力分析；2）写出方程，选坐标系投影；3） 求解方程，分析解的物理意义