第五章分析力学 本章要求(1)掌握分析力学中的—些基本概念;(2)掌握虚功 原理;(3)掌握拉格朗日方程;(4)掌握哈密顿正则方程。 第一节约束和广义坐标 约束的概念和分类 加于力学体系的限制条件叫约束 按不同的标准有不同的分类: 按约束是否与时间有关分类:稳定约束、不稳定约束; 按质点能否脱离约束分类:可解约束、不可解约束; 按约束限制范围分类:几何约束(完整约束)、运动约束(不完 整约束) 本章只讨论几何约束(完整约束),这种约束下的体系叫完整体 系。 二、广义坐标 1、自由度 描述一个力学体系所需要的独立坐标的个数叫体系的自由度。 设体系有n个粒子,一个粒子需要3个坐标(如Xy、z)描述, 而体系受有K个约束条件,则体系的自由度为(3nK) 2、广义坐标 描述力学体系的独立坐标叫广义坐标。例如:作圆周运动的质点
1 第五章 分析力学 本章要求（1）掌握分析力学中的一些基本概念；（2）掌握虚功 原理；（3）掌握拉格朗日方程；（4）掌握哈密顿正则方程。 第一节 约束和广义坐标 一、 约束的概念和分类 加于力学体系的限制条件叫约束。 按不同的标准有不同的分类： 按约束是否与时间有关分类：稳定约束、不稳定约束； 按质点能否脱离约束分类：可解约束、不可解约束； 按约束限制范围分类：几何约束（完整约束）、运动约束（不完 整约束）。 本章只讨论几何约束（完整约束），这种约束下的体系叫完整体 系。 二、广义坐标 1、自由度 描述一个力学体系所需要的独立坐标的个数叫体系的自由度。 设体系有 n 个粒子，一个粒子需要 3 个坐标（如 x、y、z）描述， 而体系受有 K 个约束条件，则体系的自由度为（3n-K） 2、广义坐标 描述力学体系的独立坐标叫广义坐标。例如：作圆周运动的质点
只须角度用θ描述,广义坐标为θ,自由度为1,球面上运动的质点, 由极角θ和φ描述,自由度为2。 第二节虚功原理 本节重点要求:①掌握虛位移、虛功、理想约束等概念;②掌握 虚功原理。 实位移与虚位移 dr 质点由于运动实际上所发生的位移叫实位 移;在某一时刻,在约束允许的情况下,质点可 能发生的位移叫虚位移。 图5.2.1 如果约束为固定约束,则实位移是虚位移中 一的个;若约束不固定,实位移与虚位移无共同之处。例如图5.21 中的质点在曲面上运动,而曲面也在移动,显然实位移以与虚位移 δ不一致 二、理想约束 设质点系受主动力和约束力R的作用,它们在任意虚位移中作 的功叫虚功。 若约束反力在任意虚位移中对质点系所作虚功之和为零,则这种 约束叫理想约束。光骨面、光滑线、刚性杆、不可伸长的绳等都是理 想约束。 虚功原理
2 只须角度用θ描述，广义坐标为θ，自由度为 1，球面上运动的质点， 由极角θ和 描述，自由度为 2。 第二节 虚功原理 本节重点要求：①掌握虚位移、虚功、理想约束等概念；②掌握 虚功原理。 一、实位移与虚位移 质点由于运动实际上所发生的位移叫实位 移；在某一时刻，在约束允许的情况下，质点可 能发生的位移叫虚位移。 如果约束为固定约束，则实位移是虚位移中 一的个；若约束不固定，实位移与虚位移无共同之处。例如图 5.2.1 中的质点在曲面上运动，而曲面也在移动，显然实位移 与虚位移 不一致。 二、理想约束 设质点系受主动力 和约束力 的作用，它们在任意虚位移中作 的功叫虚功。 若约束反力在任意虚位移中对质点系所作虚功之和为零，则这种 约束叫理想约束。光滑面、光滑线、刚性杆、不可伸长的绳等都是理 想约束。 三、虚功原理
1、文字叙述和数学表示: 受理想约束的力学体系,平衡的充要条件是:作用于力学体系的 诸主动力在任意虚位移中作的元功之和为零。即 =∑F1=0 适用条件:惯性系、理想不可解约束。 2、推论 设系统的广义坐标为q1,……,qa,……,qs,虚位移可写为用广 义坐标变分表示的形式 d=l\de 2n=∑当 定义 a称为相应于广义坐标q的广义力,则虚 功原理表述为:理想约束的力学体系平衡的充要条件为质点系受的广 义力为零,即 Qa=0(a=1,2,…,$) (2) 3、用虚功原理求解平衡问题的方法步骤 一般步骤为:(1)确定自由度,选取坐标系,分析力(包括主动 力、约束力); (2)选取广义坐标并将各质点坐标表示成广义坐标qa 的函数:万=(91…,92…9) (3)求主动力的虚功并令其为零:M=Σ码=0, 由此求出平衡条件
3 1、文字叙述和数学表示： 受理想约束的力学体系，平衡的充要条件是：作用于力学体系的 诸主动力在任意虚位移中作的元功之和为零。即 （1） 适用条件：惯性系、理想不可解约束。 2、 推论 设系统的广义坐标为 q1，……，qa，……，qS，虚位移可写为用广 义坐标变分表示的形式： 定义： 称为相应于广义坐标 qa的广义力，则虚 功原理表述为：理想约束的力学体系平衡的充要条件为质点系受的广 义力为零，即： （2） 3、用虚功原理求解平衡问题的方法步骤 一般步骤为：（1）确定自由度，选取坐标系，分析力（包括主动 力、约束力）； （2）选取广义坐标并将各质点坐标 表示成广义坐标 qa 的函数： ； （3）求主动力的虚功并令其为零： ， 由此求出平衡条件
例见书P276[例1] 第三节拉格朗日方程 本节重点要求:(1)掌握拉格朗日方程的两种形式,方程的特点和 适用条件等;(2)掌握用拉格朗日方程求解具体问题的步骤;(3) 了解循环积分等概念。 基本形式的拉格朗日方程 1、方程的推导 由牛顿第二定律并应用理想约束的条件∑·=0,可以得到 达朗伯——拉格朗日方程 ∑(-m)=0 将坐标的变分改成用广义坐标q1 qs的变分表示,即 d;=\ dr C 7=∑m7 =∑码B 经数学运算令2了(称为体系的动能), (称为相应于qa的广义力),则(1)式变为 d ataT d(a-an=Qaa=123,…s) (2) 这就是基本形式的拉格朗日方程,应注意:(2)实际是组方程。 2、方程的适用条件:理想约束 二、保守系的拉格朗日方程
4 [例] 见书 P276 [例 1] 第三节 拉格朗日方程 本节重点要求：（1）掌握拉格朗日方程的两种形式，方程的特点和 适用条件等；（2）掌握用拉格朗日方程求解具体问题的步骤；（3） 了解循环积分等概念。 一、 基本形式的拉格朗日方程 1、方程的推导 由牛顿第二定律并应用理想约束的条件 ，可以得到 达朗伯——拉格朗日方程： (1) 将坐标 的变分改成用广义坐标 q1，……，qS 的变分表示，即： 经数学运算，令 （称为体系的动能）， （称为相应于 qa 的广义力），则（1）式变为： （2） 这就是基本形式的拉格朗日方程，应注意：（2）实际是一组方程。 2、方程的适用条件：理想约束。 二、保守系的拉格朗日方程
设作用于体系的力全为保守力,则义力g可由F=-Vv(V 为势能)求得 ra>z ar 在普遍形式的拉氏方程(2)中,由于V不包含广义速度qa,可 L=7-v(动能与势能的差) 为拉格朗日函数,则(2)式变为 d a aL =0(a=12,3, (3) 应指出(3)的适用条件为保守系,理想约束,且(3)应用很普 遍。 三、应用拉格朗日方程求解问题的步骤,例 一般步骤:①画草图,确定自由度s和广义坐标q;②分析主动 力,若为保守系,则求出势能V;若为非保守力,则计算广义力 Qa;③求动能T=T(9a);④对保守系,求出L=TV,进而代入方 程(3),写出运动方程;⑤对非保守系,将T和广义力Qα代入方 程(2),写出运动方程。⑥解方程,求出qα(t) 例1]P2654.10题 圆环在光滑圆圈上运动,而圆圈绕垂直圆面的轴作匀角速运动 求圆环运动规律。 5
5 设作用于体系的力全为保守力，则广义力 可由 （V 为势能）求得： 在普遍形式的拉氏方程（2）中，由于 V 不包含广义速度 ，可 令： （动能与势能的差） 为拉格朗日函数，则（2）式变为： （3） 应指出（3）的适用条件为保守系，理想约束，且（3）应用很普 遍。 三、应用拉格朗日方程求解问题的步骤，例 一般步骤：①画草图，确定自由度 s 和广义坐标 qa；②分析主动 力 ，若为保守系，则求出势能 V；若为非保守力，则计算广义力 Qa；③求动能 T=T（ ）；④对保守系，求出 L=T-V，进而代入方 程（3），写出运动方程；⑤对非保守系，将 T 和广义力 Qα代入方 程（2），写出运动方程。⑥解方程，求出 qα（t）。 [例 1] P265 4.10 题 圆环在光滑圆圈上运动，而圆圈绕垂直圆面的轴作匀角速运动， 求圆环运动规律
解∶方法一:牛顿力学方法(已在第四章第三节作为举例计算) 方法二:用拉格朗日方程求解。 这是光滑圆圈且受的力只有重力和约束力,属于保守体系,可采 用保守系的拉氏方程求解。 质点自由度为1,转角为广义坐标,广义速度为b。任角度θ 时圆环(视为质点)的动能2,其中绝对速度可由速度合 成公式求出: v="+0×r 这里p1=a(方向沿切线方向),牵连速度 v=a)·2acos ,大小为 2,方向垂直于op 由速度合成公式得到 +2 ml 4ao- cos"-+ cos 动能 2
6 解：方法一：牛顿力学方法（已在第四章第三节作为举例计算） 方法二：用拉格朗日方程求解。 这是光滑圆圈且受的力只有重力和约束力，属于保守体系，可采 用保守系的拉氏方程求解。 质点自由度为 1，转角θ为广义坐标，广义速度为 。任一角度θ 时圆环（视为质点）的动能 ，其中绝对速度 v 可由速度合 成公式求出： 这里 （方向沿切线方向），牵连速度 ，大小为 ，方向垂直于 op。 由速度合成公式得到： 动能：
取圆平面为零势能位置,则V=0,从而L=TV=T-0=T 代入拉氏方程(2)中 d al aL 86,得到b+a2sn6=0 四、循环积分。 若拉氏函数L中某一坐标q不出现,则该坐标q叫循环坐标,则 ;(常数),叫循环积分。 第五节哈密顿正则方程 本节不作重点要求。基本要求是:了解正则坐标、正则动量的概念和 正则方程及其应用。 哈密顿函数 设力学体系的广义坐标为4a,广义速度为a,则拉格朗日函数 L=(a,9,定义广义动量,则函数 H=L+∑2=H(,) 叫哈密顿函数。它是广义坐标、广义动量的函数,而广义坐标、广义 动量称为正则变量。 特例:对保守体系,H=T+V(动能与势能之和) 二、哈密顿正则方程 aH 哈密顿函数满足的方程为:(a
7 取圆平面为零势能位置，则 V=0，从而 L=T-V=T-0=T 代入拉氏方程（2）中： ，得到 四、循环积分。 若拉氏函数 L 中某一坐标 qi不出现，则该坐标 qi叫循环坐标，则 （常数）， 叫循环积分。 第五节 哈密顿正则方程 本节不作重点要求。基本要求是：了解正则坐标、正则动量的概念和 正则方程及其应用。 一、哈密顿函数 设力学体系的广义坐标为 ，广义速度为 ，则拉格朗日函数 ,定义广义动量 ，则函数 叫哈密顿函数。它是广义坐标、广义动量的函数，而广义坐标、广义 动量称为正则变量。 特例：对保守体系，H=T+V （动能与势能之和） 二、哈密顿正则方程 哈密顿函数满足的方程为：
由该方程组也可探讨运动规律。方程组(1)叫哈密顿正则方程。 、用哈密顿正则方程求解问题的步骤 般步骤为:①确定自由度r和广义坐标φ②求动能T和势能Ⅴ, aL 写出拉格朗日函数L-凵q。。③求广义动量,将T和Ⅴ中 的换为,④写出H=T+V=H(9,)⑤、写出正则方程, 进而解方程。 [例电子的运动(见书P314-316) 最后指出:拉格朗日方程和哈密顿正则方程都是分析力学中的基 本方程其作用与牛顿第二定律一样其中拉氏方程为二阶微分方程, 哈密顿正则方程为一阶微分方程,但个数比前者多一倍
8 由该方程组也可探讨运动规律。方程组（1）叫哈密顿正则方程。 三、用哈密顿正则方程求解问题的步骤 一般步骤为：①确定自由度 r 和广义坐标 ②求动能 T 和势能 V， 写出拉格朗日函数 。③求广义动量 ，将 T 和 V 中 的 换为 ， ④写出 H=T+V=H（ ， ） ⑤、写出正则方程， 进而解方程。 [例]电子的运动（见书 P314-316） 最后指出：拉格朗日方程和哈密顿正则方程都是分析力学中的基 本方程，其作用与牛顿第二定律一样，其中拉氏方程为二阶微分方程， 哈密顿正则方程为一阶微分方程，但个数比前者多一倍
