理论力学 七章磁撞
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在前面讨论的问题中,物体在力的作用下,运动速度都 是连续地、逐渐地改变的。本章研究另一种力学现象—碰 撞,两个或两个以上相对运动的物体在瞬间接触、速度发生 突然改变的力学现象称为碰撞。物体发生碰撞时,会在非常 短促的时间内,运动速度突然发生有限的改变。碰撞是工程 中常见而非常复杂的动力学问题,本章在一定的简化条件下, 讨论两个物体间的碰撞过程中的一些基本规律
2 在前面讨论的问题中，物体在力的作用下，运动速度都 是连续地、逐渐地改变的。本章研究另一种力学现象——碰 撞，两个或两个以上相对运动的物体在瞬间接触、速度发生 突然改变的力学现象称为碰撞。物体发生碰撞时，会在非常 短促的时间内，运动速度突然发生有限的改变。碰撞是工程 中常见而非常复杂的动力学问题，本章在一定的简化条件下， 讨论两个物体间的碰撞过程中的一些基本规律
第十七章碰撞 §17-1碰撞的分类碰撞问题的简化 §17-2用于碰撞过程的基本定理 §17-3质点对固定面的碰撞·恢复系数 §17-4碰撞问题举例 §17-5碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用 撞击中心 小结
3 §17–1 碰撞的分类 碰撞问题的简化 §17-2 用于碰撞过程的基本定理 §17–3 质点对固定面的碰撞 恢复系数 §17–4 碰撞问题举例 §17–5 碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用 撞击中心 小结 第十七章 碰撞
§17-1碰撞的分类·碰撞问题的简化 1碰撞的分类 碰撞:运动着的物体在突然受到冲击(包括突然受到约束或 解除约束)时,其运动速度发生急剧的变化,这种现象称为 碰撞。 F212 B Fr B C F A 两物体碰撞时,按其相处位置分,可分为对心碰撞、偏心碰撞 与正碰撞、斜碰撞。碰撞时两物体间的相互作用力,成为碰撞 力(或称瞬间力)。若碰撞力的作用线通过两物体的质心,称 为对心碰撞,否则称为偏心碰撞
4 §17-1 碰撞的分类 碰撞问题的简化 碰撞：运动着的物体在突然受到冲击（包括突然受到约束或 解除约束）时，其运动速度发生急剧的变化，这种现象称为 碰撞。 1.碰撞的分类 两物体碰撞时，按其相处位置分，可分为对心碰撞、偏心碰撞 与正碰撞、斜碰撞。碰撞时两物体间的相互作用力，成为碰撞 力（或称瞬间力）。若碰撞力的作用线通过两物体的质心，称 为对心碰撞，否则称为偏心碰撞
动力学 若碰撞时各自质心的速度均沿着公法线,称为正碰撞,否则称 为斜碰撞。按此分类还有对心正碰撞,偏心正碰撞。上图中左 图所示即为对心正碰撞。 两物体碰撞时,按其接触处有无摩擦,可分为光滑碰撞与非光 滑碰撞。两物体相碰撞时,按物体碰撞后的恢复程度(或能量 有无损失),可分为完仝弹性碰撞、弹性碰撞与塑性碰撞 2对碰撞问题的两点简化 碰撞现象的特点是时间极短,一般为103~10-4s,速度改变为 有限值,加速度变化巨大,碰撞力极大 设榔头重10N,以v1=6ms的速度撞击铁块,碰撞时间t 1/1000s,碰撞后榔头以ν2=1.5ms的速度回跳。求榔头 打击铁块的力的平均值。 以榔头为研究对象,根据动量定理mv2-mv1= 投影形式为10(15+6)=s;:S=765Ns g 碰撞力的变化如图,平均打击力F"=S/τ=7650N,是榔头重的7655
5 碰撞现象的特点是时间极短，一般为10-3~10-4 s，速度改变为 有限值，加速度变化巨大，碰撞力极大。 若碰撞时各自质心的速度均沿着公法线，称为正碰撞，否则称 为斜碰撞。按此分类还有对心正碰撞，偏心正碰撞。上图中左 图所示即为对心正碰撞。 两物体碰撞时，按其接触处有无摩擦，可分为光滑碰撞与非光 滑碰撞。两物体相碰撞时，按物体碰撞后的恢复程度（或能量 有无损失），可分为完全弹性碰撞、弹性碰撞与塑性碰撞。 2.对碰撞问题的两点简化 *设榔头重10N，以v1=6m/s的速度撞击铁块，碰撞时间t =1/1000s , 碰撞后榔头以v2=1.5m/s的速度回跳。求榔头 打击铁块的力的平均值。 以榔头为研究对象，根据动量定理 v − v = I m 2 m 1 投影形式为 (1.5 6) ; 7.65 N s 10 + =S S= g 碰撞力的变化如图，平均打击力 ，是榔头重的765 倍。 F* =S/ =7650N
可见,即使是很小的物体,当运动速度很高时,停时力可以达到惊人的 程度。有关资料介绍,一只重17.8N的飞鸟与飞机相撞,如果飞机速度是 800kmh,(对现代飞机来说,这只是中等速度),碰撞力可高达 3.56×105N,即为鸟重的2万倍!这是航空上所谓“鸟祸”的原因之 害的一面:“鸟祸”、机械、仪器及其它物品由于碰撞损坏等 利的一面:利用碰撞进行工作,如锻打金属,用锤打桩等。研究碰撞现象 就是为了掌握其规律,以利用其有利的一面,而避免其危害。 根据碰撞的上述特点,在硏究一般碰撞问题时,通常做下面两 点简化: 1)在碰撞过程中,由于碰撞力非常大,重力、弹性力等普通 力远远不能够与之相比,因此这些普通力的冲量忽略不计; 2)由于碰撞过程非常短促,碰撞过程中,速度变化为有限值 ,物体在碰撞开始和碰撞结束的位置变化很小,因此在碰撞过 程中,物体的位移忽略不计
6 可见，即使是很小的物体，当运动速度很高时，瞬时力可以达到惊人的 程度。有关资料介绍，一只重17.8N的飞鸟与飞机相撞，如果飞机速度是 800km/h，（对现代飞机来说，这只是中等速度），碰撞力可高达 3.56105N，即为鸟重的2万倍！这是航空上所谓“鸟祸”的原因之一。 害的一面：“鸟祸”、机械、仪器及其它物品由于碰撞损坏等。 利的一面：利用碰撞进行工作，如锻打金属，用锤打桩等。研究碰撞现象， 就是为了掌握其规律，以利用其有利的一面，而避免其危害。 根据碰撞的上述特点，在研究一般碰撞问题时，通常做下面两 点简化： 1）在碰撞过程中，由于碰撞力非常大，重力、弹性力等普通 力远远不能够与之相比，因此这些普通力的冲量忽略不计； 2）由于碰撞过程非常短促，碰撞过程中，速度变化为有限值 ，物体在碰撞开始和碰撞结束的位置变化很小，因此在碰撞过 程中，物体的位移忽略不计
动力单 §172用于碰撞过程的基本定理 由于碰撞力变化复杂,不宜直接用力或者运动微分方程来描述 碰撞过程;由于力的功难以计算碰撞过程机械能的损失,因此 也不宜用动能定理来描述碰撞过程中能量的变化。在理论力学 中,对由于碰撞冲量的作用而使物体运动速度发生的变化我们 可以把握,所以动量定理和动量矩定理就成了硏究碰撞问题的 主要工具。 1、用于碰撞过程的动量定理—冲量定理。 设质点的质量为m,碰撞开始时的速度ν,结束瞬时的速度ν, 则质点的动量定理为 my-mCr=1(171)其中为碰撞冲量,普通力冲量忽略 设I为外碰撞冲量、P①为内碰撞冲量。对碰撞的质点系,有 niimi (e)
7 1、用于碰撞过程的动量定理——冲量定理。 设质点的质量为 m，碰撞开始时的速度v，结束瞬时的速度v’, 则质点的动量定理为 §17-2 用于碰撞过程的基本定理 由于碰撞力变化复杂，不宜直接用力或者运动微分方程来描述 碰撞过程；由于力的功难以计算碰撞过程机械能的损失，因此 也不宜用动能定理来描述碰撞过程中能量的变化。在理论力学 中，对由于碰撞冲量的作用而使物体运动速度发生的变化我们 可以把握，所以动量定理和动量矩定理就成了研究碰撞问题的 主要工具。 v − v = F = I t m m t 0 d （17-1） 其中I为碰撞冲量，普通力冲量忽略 设Ii (e)为外碰撞冲量、 Ii (i)为内碰撞冲量。对碰撞的质点系，有 (e) (i) mi i mi i i i v − v = I + I
动力学 对n个质点,有n个上述方程,相加后,并考虑∑I=0,得 ∑mv∑mn=∑l 17-2) 上式即为用于碰撞过程的质点系动量定理,它不计普通力的 冲量,也称冲量定理:质点系在碰撞开始和结束时动量的变 化,等于作用于质点系的外碰撞冲量的主矢 质点系的动量也可用总质量与质心速度的乘积计算。则 mmy =∑ 17-3) 2、用于碰撞过程的动量矩定理—冲量矩定理。 质点系动量矩定理的一般表达式为导数形式,即 aL0=∑M(F)=∑×F该式也可写为 =∑n×F山=∑xd对该式积分,有 -a=∑×d或n2-d=∑〔xx i=1
8 对n个质点，有n个上述方程，相加后，并考虑Ii (i)=0，得 − = (e) mi i mi i i v v I （17-2） 上式即为用于碰撞过程的质点系动量定理，它不计普通力的 冲量，也称冲量定理：质点系在碰撞开始和结束时动量的变 化，等于作用于质点系的外碰撞冲量的主矢。 质点系的动量也可用总质量与质心速度的乘积计算。则 − = (e) m C m C i v v I （17-3） 2、用于碰撞过程的动量矩定理——冲量矩定理。 质点系动量矩定理的一般表达式为导数形式，即 = = = = n i i i n i O O i t 1 (e) 1 (e) ( ) d d L M F r F 该式也可写为 = = = = n i i i n i O i i t 1 (e) 1 (e) dL r F d r dI 对该式积分，有 = = = − = n i t O O i i n i t O i i O O 1 0 (e) 2 1 1 0 (e) d d d d d 2 1 L r I L L r I L L 或
动力学 考虑碰撞过程的第2点简化,力F作用点矢径是个恒量,则 号×dre) 或Lm2-L=∑x1∑M()(174) 上式中rI为冲量矩,其中不计普通力的冲量矩。该式是用 于碰撞过程的动量矩定理,又称冲量定理:质点系在碰撞开始 和结束时对点O的动量矩的变化,等于作用于质点系的外碰撞 冲量对同一点的主矩 3、刚体平面运动的碰撞方程(用于刚体平面运动碰撞过程的基本定理) 质点系相对于质心的动量矩定理与对于固定点的动量矩定理 具有相同的形式,如此推证相似,可以得到用于碰撞过程的 质点系相对于质心的动量矩定理 Lc2-L1=∑M(°) (17-5) 对平行于其对称面的平面运动刚体,有L=0 (174)成为:J2-Jc01=∑Mc() 17-6)
9 考虑碰撞过程的第2点简化，力F作用点矢径ri是个恒量，则 d ( ) (e) 1 1 (e) 2 1 1 0 (e) 2 1 i n i O n i O O i i n i t O O i i L L r I L L r I M I = = = − = 或 − = = （17-4） 上式中ri Ii (e)为冲量矩，其中不计普通力的冲量矩。该式是用 于碰撞过程的动量矩定理，又称冲量定理：质点系在碰撞开始 和结束时对点O的动量矩的变化，等于作用于质点系的外碰撞 冲量对同一点的主矩。 3、刚体平面运动的碰撞方程（用于刚体平面运动碰撞过程的基本定理） 质点系相对于质心的动量矩定理与对于固定点的动量矩定理 具有相同的形式，如此推证相似，可以得到用于碰撞过程的 质点系相对于质心的动量矩定理 − = ( ) (e) C2 C1 C i L L M I （17-5） 对平行于其对称面的平面运动刚体，有 LC = J C （17-4）成为： − = ( ) (e) C 2 C 1 C i J J M I （17-6）
上式中不计普通力的冲量矩,它与(17-3)结合起来,可分析 平面运动刚体的碰撞问题,称为刚体平面运动的碰撞方程。 §173质点对固定面的碰撞恢复系数 设一小球(可视为质点)沿铅直方向落到水平的固定平面上 如图所示。 h h2 请看动画
10 上式中不计普通力的冲量矩，它与（17-3）结合起来，可分析 平面运动刚体的碰撞问题，称为刚体平面运动的碰撞方程。 §17-3 质点对固定面的碰撞 恢复系数 设一小球（可视为质点）沿铅直方向落到水平的固定平面上， 如图所示。 请 看 动 画