第十二章静定结构的位移计算 第一节计算结构位移的目的 第二节功广义力和广义位移 第三节计算结构位移的一般公式 第四节静定结构由于荷载所引起的位移 第五节图乘法 築龍缃 静定结构由于支座位移 第六节 温度改变所引起的位移 第七节互等定理 小结
第十二章 静定结构的位移计算 计算结构位移的目的 功 广义力和广义位移 计算结构位移的一般公式 静定结构由于荷载所引起的位移 图乘法 静定结构由于支座位移、 温度改变所引起的位移 互等定理 小结 第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节 第七节
第一节计算结构位移的目的 、概念:—由荷载、温度变化、支座移动或制造误差等因 素产生结构变形,从而引起截面位置的改变称为位移。 线位移—截面位置的改变,即截面形心的移动。 角位移—截面方向的改变,即杆轴上一点切线方向的变化。 结构位移计算的目的: 1.校核刚度; Δ 2.解超静定问题; 3.满足施工要求 本章研究线弹性变形体系的位移计 算。(线弹性变形体系的位移与荷载成 正比,荷载的影响可以叠加;在弹性小 变形情况下,应力与应变关系符合虎克 定律。) 返回下一张上一张小结
第一节 计算结构位移的目的 一、概念：—由荷载、温度变化、支座移动或制造误差等因 素产生结构变形，从而引起截面位置的改变称为位移。 线位移—截面位置的改变，即截面形心的移动。 角位移—截面方向的改变，即杆轴上一点切线方向的变化。 二、结构位移计算的目的： 1. 校核刚度； 2. 解超静定问题； 3. 满足施工要求。 本章研究线弹性变形体系的位移计 算。（线弹性变形体系的位移与荷载成 正比，荷载的影响可以叠加；在弹性小 变形情况下，应力与应变关系符合虎克 定律。） 返回 下一张 上一张 小结
第二节功广义力和广义位移 功的定义:一个不变的集中力所作的功等于该力的大小 与其作用点沿力作用的方向所发生的分位移的乘积。 T=Pcos·S 其他形式的力或力系所作的功也用 两个因子的乘积表示为:功等于广义 S 力与广义位移的乘积。 Pcos6·S T=P·△ M· 式中的广义力可以是一个集中力、 对集中力,也可以是一个力偶、一对力偶; 广义位移是相应的沿力方向的线位移和沿 力偶转向的角位移或相对位移 返回下一张张小结
第二节 功 广义力和广义位移 功的定义：一个不变的集中力所作的功等于该力的大小 与其作用点沿力作用的方向所发生的分位移的乘积。 T = Pcos S 其他形式的力或力系所作的功也用 两个因子的乘积表示为： 功等于广义 力与广义位移的乘积。 = = M P S T P cos 式中的广义力可以是一个集中力、一 对集中力，也可以是一个力偶、一对力偶； 广义位移是相应的沿力方向的线位移和沿 力偶转向的角位移或相对位移。 返回 下一张 上一张 小结
第三节计算结构位移的一般公式 外力虚功和虚变形能 虚功—力在其它因素(其它荷载、温度改变、支座移动、变形 制造误差等)引起的位移上所做的功。(力与位移互不相干) 外力虚功一作用在结构上的 力(荷载,支座反力)所做的虚功 虚变形能(内力虚功)一内 力在相应变形上所做的虚功。 力状态 位毬状态 杆系结构,由微段dx的内力 N、Q、M和变形du、dv、dop, do 则微段的虚变形能为: dU=Nd+Qahv+Mo中 d N+dw 整个结构的虚变形能为 H+de U=∑M+∑h+∑M 返回压一强上一强小结
• 第三节 计算结构位移的一般公式 一、外力虚功和虚变形能 虚功—力在其它因素（其它荷载、温度改变、支座移动、变形、 制造误差等）引起的位移上所做的功。（力与位移互不相干） 外力虚功—作用在结构上的外 力(荷载,支座反力)所做的虚功。 虚变形能（内力虚功）—内 力在相应变形上所做的虚功。 杆系结构，由微段dx的内力 N、Q、M和变形du、dv、dφ， 则微段的虚变形能为： dU = Ndu + Qdv + Mdφ U = Ndu + Qdv + Mdφ； 整个结构的虚变形能为： 返回 下一张 上一张 小结
虚功原理 1.质点的虚功原理: Pz B6,+Pδ2+ ∑PO=0 2.均质弹性体受外力P作用平衡情况下的虚功原理: 均质弹性变形体系在平衡状态时,外力在虚位移上所 做的外力虚功等于力状态内力在位移状态相应变形上所做 的内力虚功。 外力虚功T=内力虚功U。 3.杆系结构的虚功原理: T=∑M+∑h+∑M小 B A,r 虚功原理的两种用法: m 1)虚位移原理一虚设位移状态可求实际力状态的未知力; 2)虚力原理一虚设力状态可求实际位移状态的未知位移。 三、利用虚功原理计算结构的位移(单位荷载法) 欲求实际状态的未知位移,先建立相应的虚设单位力状态, 再利用虚功原理计算各虚功项,叠加即得所求位移 返回压一强上一强小结
均质弹性变形体系在平衡状态时，外力在虚位移上所 做的外力虚功等于力状态内力在位移状态相应变形上所做 的内力虚功。 外力虚功T＝内力虚功U。 2. 均质弹性体受外力P作用平衡情况下的虚功原理： T = Ndu + Qdv + Mdφ； 3. 杆系结构的虚功原理： 虚功原理的两种用法： 1） 虚位移原理—虚设位移状态可求实际力状态的未知力； 2） 虚力原理—虚设力状态可求实际位移状态的未知位移。 三、利用虚功原理计算结构的位移（单位荷载法） —欲求实际状态的未知位移，先建立相应的虚设单位力状态， 再利用虚功原理计算各虚功项，叠加即得所求位移。 二、虚功原理 1. 质点的虚功原理： P1 1 + P2 2 ++ Pn n = P = 0 返回 下一张 上一张 小结
图示刚架,求D点的水平位移 d 沿D点水平方向虚设一单位力P= 求出力状态各支座反力和相应截面的 内力:R、R、 VRMON 买际状态) 虚设力系的外力(包括反力)对实际状态的位移B 所做的总虚功为:T=1.+RC+RC,=A+XRC 以g、ν、a表示实际状态中微段的变形,则结构 总虚变形能为:U=∑M+〔h+∑Mhe 由杆件结构的虚功方程: △+∑RC=∑Md+∑「Nau+ΣOh 结构位移计算的一般公式: (虚摆状态) A=∑M+Mh+Nd-∑RC 注意:该等式左端为位移,等式右端为功; 2 两边相差一个力的单位。 返回下一张一张小结
图示刚架，求D点的水平位移。 沿D点水平方向虚设一单位力P=1, 求出力状态各支座反力和相应截面的 内力： R1、R2、VB、M、Q、N； 虚设力系的外力（包括反力）对实际状态的位移 所做的总虚功为： T =1 + R1 C1 + R2 C2 = + RC 以φ、ν、ｕ表示实际状态中微段的变形，则结构 总虚变形能为： = + + ； l l l U Md Qdv Ndu = + + l l l ＋ RC Md Ndu Qdv 由杆件结构的虚功方程： = Md + Qdv + Ndu −RC l l l 结构位移计算的一般公式： 注意：该等式左端为位移，等式右端为功； 两边相差一个力的单位。 返回 下一张 上一张 小结
单位荷载的设置: 1.求某截面线位移,沿位移方向加一个单位集中力;3 2.求某截面角位移,沿位移方向加 (ai 单位集中力偶; 3.求某两个截面间的相对线位移:沿、6 两个截面连线方向加一对单位集中力; 4.求某两个截面间的相对角位移:沿两 ( 个截面连线方向加一对单位集中力偶; Cdt 5.求桁架某杆件的角位移: 在杆件两端结点上加一对垂直 杆轴方向的集中力,二力构成 个单位力偶; 6.求桁架某两个杆件的相对角位移:在 二杆件两端结点上各加一对垂直杆轴方向 的集中力,二力构成一个单位力偶; 返回下一张一张小结
单位荷载的设置： 1. 求某截面线位移，沿位移方向加一个单位集中力； 2. 求某截面角位移，沿位移方向加一个 单位集中力偶； 3. 求某两个截面间的相对线位移：沿 两个截面连线方向加一对单位集中力； 4. 求某两个截面间的相对角位移：沿两 个截面连线方向加一对单位集中力偶； 5. 求桁架某杆件的角位移： 在杆件两端结点上加一对垂直 杆轴方向的集中力，二力构成 一个单位力偶； 6. 求桁架某两个杆件的相对角位移：在 二杆件两端结点上各加一对垂直杆轴方向 的集中力，二力构成一个单位力偶； 返回 下一张 上一张 小结
第四节静定结构由于荷载所引起的位移 若结构仅受荷载作用,以M、Qp、N表示结构实际状态的内 力,则在实际状态下梁微段的变形为: M M dx E El d GA au ndx= EA EA 荷载作用下静定结构的位移计算公式: △=∑ MM El d+∑ 1OO Nw ds ds GA ∑∫ EA 对直梁和刚架,略去剪力和轴力的影响,则△=∑B面 对桁架,仅有轴力且沿杆长不变,则:A=∑ NN. EA 返回下一张上一张小结
• 第四节 静定结构由于荷载所引起的位移 ds EI M dx EI M d p P = ds GA Q dx GA Q dv P P = ds EA N dx EA N du P P = 若结构仅受荷载作用，以MP、QP、NP表示结构实际状态的内 力，则在实际状态下梁微段的变形为： 荷载作用下静定结构的位移计算公式： = + + l P l P l P ds EA NN ds GA QQ ds EI MM = l P dx EI MM 对直梁和刚架，略去剪力和轴力的影响，则: = EA NN l 对桁架，仅有轴力且沿杆长不变，则： P 返回 下一张 上一张 小结
例11-1试求图示桁架C点的竖向位移。各杆EA为常量 解:1.建立虚设状态,如图 F 2.分别求两种状态各杆轴力: C 简单桁架,先求支反力,再用结点 法求各杆轴力。利用对称性判断零杆。 2 N2/2 22 3.由公式计算位移: N2/2 ∑ Nwn EA (-)(-√2P)·√2d+P×2d+0]+ (-1)(-P)2d EA 2 EA 2(2+√2)Pd EA 若求D杆转角,应设一对集中力。 返回下一张上一张小结
例11-1 试求图示桁架C点的竖向位移。各杆EA为常量。 解：1. 建立虚设状态，如图： 2. 分别求两种状态各杆轴力： 3. 由公式计算位移： ( ) 2(2 2) ( 1)( ) 2 2 0] 2 1 )( 2 ) 2 2 2 [( 2 + = − − = − − + + + = EA Pd EA P d P d P d EA EA NN l P cv 简单桁架，先求支反力，再用结点 法求各杆轴力。利用对称性判断零杆。 若求DE杆转角，应设一对集中力。 返回 下一张 上一张 小结
例11-2试求图示悬臂刚架A截面的水平位移△和转角A 解:1.求△AH B ①建立虚设状态如图; T EI FI:4 ②分别分段列各弯矩方程: (忽略轴力、剪力影响) ZEI ZEN M=0:(0≤x1≤a MqM=x2:(0≤x2sa(a)a--()— ③由公式求位移:△A b2Eh,=如 qa2/2 dEl 2.求oA ①建立虚设状态如图; ZEN ②分别分段列各弯矩方程:(实际状态不变) Mk=-1;(0≤x1≤a)Mk=1(0≤x2≤a) ③由公式求位移:4 ca2/2 0 El 02EⅠ 12E 返回下一张上一张小结
例11-2 试求图示悬臂刚架A截面的水平位移ΔAH和转角φA。 解：1. 求ΔAH： ①建立虚设状态如图； ②分别分段列各弯矩方程： （忽略轴力、剪力影响） ; 0;(0 ) 2 1 2 1 M x a qx M p = − = ; ;(0 ) 2 2 2 2 M x x a qa M p = = 1;(0 ) Mk = − x1 a 1;(0 ) MK = x2 a ③由公式求位移： ( ) 2 8 / 2 4 0 2 2 2 = = → EI qa x dx EI a qa AH 2. 求φA： ①建立虚设状态如图； ②分别分段列各弯矩方程：（实际状态不变） ③由公式求位移： ( ) 12 5 2 / 2 / 2 3 0 2 2 0 1 2 1 = + = EI qa dx EI qa dx EI a qx a A 返回 下一张 上一张 小结
