信号与系统第二十五讲S 3.2 单位序列响应和阶跃响应S 3.3 卷积和第1页
第 1 页 信号与系统 第二十五讲 §3.2 单位序列响应和阶跃响应 §3.3 卷积和
例：已知框图，写出系统的差分方程4x(k-1)xokx(k-2)ZZOy(k)f(k)解：i设辅助变量x(k)x(k)= f(k) - 2x(k-1) - 3x(k-2)即x(k) +2x(k-1)+3x (k-2)=f (k)y (k) =4x (k-1) +5x (k-2)消去x(k)，得y(k) +2y (k-1) +3y (k-2) =4f (k-1) +5f (k-2)第2贵
第 2 页 第 2 页 例：已知框图，写出系统的差分方程。 解：设辅助变量x(k) 即x(k)+2x(k-1)+3x(k-2)=f(k) y(k)=4x(k-1)+5x(k-2) 消去x(k)，得 y(k)+2y(k-1)+3y(k-2)=4f(k-1)+5f(k-2) x(k)= f(k) – 2x(k-1) – 3x(k-2)
例3.2-1求单位序列响应h(k）。y(k)y(k-1)y(k-2)Zf(k)十+解：茅差分方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k)根据h(k)的定义有h(k) - h(k-1) - 2h(k-2) = (k)h(-1) = h(-2) = 0递推求初始值h(0)和h(1)(1)h(k)= h(k -1) + 2h(k-2) +o(k)h(0)= h(-1) + 2h(-2) + 8(0) = 1h(1)= h(0) + 2h(-1) + (1) = 1第3页
第 3 页 例3.2-1 求单位序列响应h(k)。 解：差分方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k) 根据h(k)的定义 有 h(k) – h(k –1) – 2h(k –2) = δ(k) h(–1) = h(–2) = 0 (1) 递推求初始值h(0)和h(1)。 h(k)= h(k –1) + 2h(k –2) +δ(k) h(0)= h(–1) + 2h(–2) + δ(0) = 1 h(1)= h(0) + 2h(–1) + δ(1) = 1
(2) 求h(k)对于k >0,h（k）满足齐次方程h(k) - h(k - 1) - 2h(k- 2) = 0特征方程(2+1) (2 - 2) = 0h(k) =C,(-1)k+ C2(2)k ， k>0h(0) = C, + C, = 1h(1) = - C,+2C, = 1解得C,= 1/3 , C,=2/3h(k) = (1/3)(-1)k+ (2/3)(2)k ， k≥0或写为h(k) = [(1/3)(- 1)k + (2/3)(2)k] ε(k)第4页
第 4 页 (2) 求h(k) 对于k >0， h(k)满足齐次方程 h(k) – h(k – 1) – 2h(k – 2) = 0 特征方程 (λ+1) (λ – 2) = 0 h(k) = C1 (– 1) k + C2 (2) k ， k>0 h(0) = C1 + C2 = 1 h(1) = – C1 +2C2 = 1 解得 C1 = 1/3 , C2 =2/3 h(k) = (1/3)(–1) k + (2/3)(2) k , k≥0 或写为 h(k) = [(1/3)(– 1)k + (2/3)(2)k ] ε(k)
二、阶跃响应g(k)=T0) ,c(k)k8(k)= 8(i)= 8(k-j)由于j=0i=-80s(k) =(k) -(k-1) = △ε(k)k8g(k)= Zh(i)= Zh(k-j) , h(k) = △g(k)所以j=0i=-802h(k) =[(-1)kk +三(2)"Je(k)33kk2=Zh(i)=[(-1) +(2)]g(k)=33i=0i=-00第5页
第 5 页 二、阶跃响应 g(k)=T[{0} ,ε(k)] 由于 0 ( ) ( ) ( ) j k i k i k j δ(k) =ε(k) –ε(k –1) = △ε(k) 所以 0 ( ) ( ) ( ) j k i g k h i h k j ，h(k) = △g(k) (2) ] 3 2 ( 1) 3 1 ( ) ( ) [ 0 i k i i k i g k h i (2) ] ( ) 3 2 ( 1) 3 1 h(k) [ k k k
ak1-k2+12a/=求和a±11-a公式j=k1a=1kz -kj +1k2(-I) +Eh(i) =(2)g(k) =33i=0i=-001- 2k+1_ 1-(-1)k+12Jc(k)=-X+一X233-14Kk -_le(k)(2)k=[=(-1)k+一362第6页
第 6 页 1 11 12 1 1 2 1 21 k k aa a a a a k k kj k 求和 j 公式 ( 2 ) ] 32 ( 1 ) 31 ( ) ( ) [ 0 i ki i k i g k h i ] ( ) 1 1 - 2 32 2 1 - - 1 31[ k 1 k 1 k （ ） ] ( ) 21 ( 2 ) 34 - 1 61 [ k k k （ ）
$ 3.3卷积和f(k)f(2)1.序列的时域分解fi)f(-1)f(1).f(0)-120ik任意序列f(k）可表示为 (k)f(k) =...+f(-1) 8 (k+1)+f(0)+ f(1) 8 (k-1)+f(2) (k-2)+.:+ f(i) s(k- i)+...信号f（k）分解为8Zf(i)(k-i)单位序列叠加i=-8第7页
第 7 页 §3.3 卷积和 1 .序列的时域分解 . . . -1 0 1 2 i k f(k) f(-1) f(0) f(1) f(2) f(i) 任意序列f(k)可表示为 f(k)=.+f(-1)δ(k+1)+f(0)δ(k) + f(1)δ(k-1)+f(2)δ(k-2)+. + f(i)δ(k–i)+. i f (i) (k i) 信号f(k)分解为 单位序列叠加
2.卷积和的定义在区间（－，）上的两函数f,（k)和f2(k)8f(k)=Zfi(i)f2(k-i)i=-80f(k)为f,(k)与f,k)的卷积和，简称卷积记为f(k) =f, (k)*f, (k)注意：求和是在虚设的变量i下进行的，i为求和变量，k为参变量，结果仍为k的函数第8页
第 8 页 2 .卷积和的定义 在区间（–∞，∞）上的两函数f1 (k) f(k)为f1 (k)与f2 (k)的卷积和，简称卷积； 记为 i f (k) f (i) f (k i) 1 2 f(k)=f1 (k)*f2 (k) 注意：求和是在虚设的变量i下进行的，i为求和 变量，k为参变量，结果仍为k的函数。 和f2(k)
3.任意序列作用下的零状态响应f(k)yzs(k)LTI系统零状态(k)h(k)根据h(k)的定义：tttth(k -i)由时不变性：o(k -i)f (i) h(k-i)由齐次性：f (i)o(k-i)88E f(i)h(k-i)Ef(i)s(k-i)由叠加性：i=-00i=-00f(k)Yzs(k)8 f(i)h(k-i)=f(k)* h(k)卷积和zs(k) =i=-8第9页
第 9 页 3. 任意序列作用下的零状态响应 LTI系统 零状态 yzs f (k) (k) 根据h(k)的定义： δ(k) h(k) 由时不变性： δ(k -i) h(k -i) 由齐次性： f (i)δ(k-i) f (i) h(k-i) 由叠加性： ‖ f (k) ‖ yzs(k) 卷积和 i f (i) (k i) i f (i)h(k i) ( ) ( ) ( )= ( )* ( ) zs i y k f i h k i f k h k
时域信号的卷积积分LTI系统(t)f(t)Yzs零状态h(t)根据h(t)的定义：(t)h(t -t)由时不变性：(t -t)f(t) h(t -t)由齐次性：f(t)o(t -t)J =f(t)h(t -t)dt由积分性:『 ~°f(t)S(t)dYzs(t)f (t)Y=s(t) = / f(t)h(t -t)dt = f(t)*h(t)18 页
第 10 页 第 10 页 LTI系统 f (t) 零状态 yzs (t) 根据h(t)的定义： δ(t) h(t) 由时不变性： δ(t -τ) h(t -τ) 由齐次性： f (τ)δ(t -τ) f (τ) h(t -τ) 由积分性： ( ) ( )d f t ( ) ( )d f h t f (t) yzs(t) y (t) f ( )h(t )d f (t)*h(t) zs 时域信号的卷积积分