信号与系统第八讲$4.2傅里叶级数第王哥
第 1 页 第 1 页 信号与系统 第八讲 §4.2 傅里叶级数
思考题0两信号卷积后的宽度为两信号宽度2、并联系统冲激响应等于子系统冲激响应。3串联系统冲激响应等于子系统冲激响应O。41信号f1（t）与f2（t）的图形如图所示，则)y（t）=f1（t）*f2（t）在点t=4时的值等于（A. 2B.4个f(t)个f(t)2C. -2D. -4124t2-202-1第2哥
第 2 页 第 2 页 1、两信号卷积后的宽度为两信号宽度（）。 2、并联系统冲激响应等于子系统冲激响应（）。 3、串联系统冲激响应等于子系统冲激响应（）。 4、信号f1(t)与f2(t)的图形如图所示,则 y(t)=f1(t)*f2(t)在点t=4时的值等于( ). A.2 B.4 C.-2 D.-4 思考题
四、卷积的微积分性质1. 若 f(t)=f, (t)*fz(t)则 f (1) (t)=f, (1) (t)*f2(t)=f,(t)*f (1) (t)f (-1) (t)=f, (-1) (t)*f,(t)=f,(t)*f, (-1) (t)2. 在f, (-8)=f,(-8)=0的前提下,fi(t)* fz(t) = f '(t)* fz(-1)(t)推广：fi) (t)=f,()(t)*f, (i-i)(t)i、j可+、杜阿密尔积分：LTI系统：yzs(t)= f(t)* h(t)= f()(t)*h(-1)(t) = f()(t)* g(t)= J f()(t)g(t-t)dt第多哥
第 3 页 第 3 页 四、卷积的微积分性质 1. 若 f(t)=f1(t)*f2(t) 则 f（1）(t)=f1 （1）(t)*f2(t)=f1(t)*f2 （1）(t) f（-1）(t)=f1 （-1）(t)*f2(t)=f1(t)*f2 （-1）(t) 2. 在f1(–∞)=f2(-∞)=0的前提下， f1 (t)* f2 (t) = f1 ’(t)* f2 (–1)(t) (1) ( 1) (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) zs y t f t h t f t h t f t g t 杜阿密尔积分：LTI系统： 推广： f (i) (t)= f1 (j)(t)*f2 (i-j)(t) i、j可+、 - (1) f g t d ( ) ( )
求解卷积的方法可归纳为：(1)如指数函数、多项式函数等利用定义式直接积分：(2)图解法：特别适用于求某时刻点上的卷积值。(3)利用性质：比较灵活。例2：f,(t)如图，f,(t)=e-t ε (t)，求f, (t)*f,(t)fi(t)解： f,(t)* fz(t)=f'(t)*f,(-1) (t)ff'(t)= 8(t)- 8(t-2)02tf(-1)(t)= [ e-* c(t)dt =('e'dt e(t)=-e-|6 ·8(t) =(1-e-')e(t)f, (t)*f,(t)=(1-e-t) ε (t)-[1-e-(t-2)] ε (t-2)第贵
第 4 页 第 4 页 （1）利用定义式直接积分：如指数函数、多项式函数等 （2）图解法：特别适用于求某时刻点上的卷积值。 （3）利用性质：比较灵活。 求解卷积的方法可归纳为： 例2：f1(t)如图, f2(t)=e–tε(t)，求f1(t)*f2(t) ( ) e ( )d e d ( ) e ( ) (1 e ) ( ) 0 0 ( 1) 2 f t t t t t t t t f 1(t) 0 2 t 解： 1 f1(t)* f2(t)=f1 ’(t)*f2 (–1)(t) f1 ’(t)=δ(t)–δ(t–2) f1(t)*f2(t)=(1-e –t)ε(t)–[1-e –(t-2)]ε(t-2)
例3画出f1（t）与f2（t）卷积的波形f2(z)f:(t)8(t+2)18(t-2)3203-2-1120-2tf, (t)*f, (t)=f, (t)*[8(t+2)+8(t-2)]=f, (t+2) +f, (t-2)f:(t)*f2(t)53-35-10-第5
第 5 页 第 5 页 例3 画出f1(t)与f2(t)卷积的波形 f1(t)*f2(t)=f1(t)*[d(t+2)+d(t-2)] =f1(t+2)+f1(t-2)
第四章傅里叶变换和系统的频域分析问题：1、周期信号为什么要展开成傅里叶级数？2、傅里叶级数的两种形式是什么？3、、如何求周期信号与非周期信号的频谱？4、信号如何调制与解调？-5、信号如何实现无失真传输？6、信号A/D转换如何实现无失真取样？第哥
第 6 页 第 6 页 第四章 傅里叶变换和系统的频域分析 问题： 1、周期信号为什么要展开成傅里叶级数？ 2、傅里叶级数的两种形式是什么？ 3、如何求周期信号与非周期信号的频谱？ 4、信号如何调制与解调？ 5、信号如何实现无失真传输？ 6、信号A/D转换如何实现无失真取样？
$ 4.2傅里叶级数傅里叶级数的三角形式一、1.三角函数集[1,cos(n2t), sin(nt), n=1,2,...})在一个周期内是完备的正交函数集(P116)7/27cos(nQt)· sin(mQtdt = 0-2T-2m=n±o[序 cos(n2t) cos(m2t)dt :三0,2m≠nT-2m=n±0[μ sin(nQt) sin(m2i dlt =0,2m≠n3贵
第 7 页 第 7 页 一、傅里叶级数的三角形式 1.三角函数集 在一个周期内是完备的正交函数集(P116)。 2 cos sin 0 2 n t m t dt T T m n m n T n t m t d t T T 0, , 0 cos cos 2 2 2 m n m n T n t m t dt T T 0, , 0 2 sin sin 2 2 {1,cos(nΩt)，sin(nΩt)，n=1,2,.} §4.2 傅里叶级数
2．级数形式设f（t）=f（t+mT）----周期信号Q=2元/T满足狄里赫利（P120）条件，可分解为傅里叶级数8)- + 2.0)2bsi0)n=1n=1系数a，b.称为傅里叶系数Fr (t)cos(n2n)dtdn2f(t)sin(nQ2t)dt32注意：a.是n的偶函数，b.是n的奇函数第贵
第 8 页 第 8 页 2．级数形式 1 1 0 cos( ) sin( ) 2 ( ) n n n n a n t b n t a f t 系数an ,bn称为傅里叶系数 2 2 ( )cos( )d 2 T n T f t n t t T a 2 2 ( )sin( )d 2 T n T f t n t t T b 注意： an是n的偶函数，bn是n的奇函数 设f(t)=f(t+mT)-周期信号 =2/T 满足狄里赫利(P120)条件，可分解为傅里叶级数
40 + ZAn cos(n2t+ Pn)其他形式f(t)=2n=16n1Pn =-arctan式中，A =o+banann可见：A,是n的偶函数，P,是n的奇函数。bn = -Asin nan = A,cosPnrF1, 2, ...周期信号可分解为直流和许多余弦分量。Ao/2为直流分量A,cos(Ωt+)为基波A,cos（2Qt+P2）称为二次谐波An振幅on初相A,cos(nQt+）称为n次谐波第贵
第 9 页 第 9 页 其他形式 1 0 cos( ) 2 ( ) n n n A n t A f t 周期信号可分解为直流和许多余弦分量。 • A0/2为直流分量 • A1 cos(t+1 )为基波 • A2 cos(2t+2 )称为二次谐波 式中，A0 = a0 2 2 n n n A a b n n n a b arctan 可见：An是n的偶函数， n是n的奇函数。 an = Ancosn bn = –Ansin n n=1,2,. An cos(nt+n )称为n次谐波 An振幅 n初相
基波、谐波周期信号所展开的傅里叶级数中，包含基波和谐波。与本信号周期相等的正弦波分量称为基波，其频率称为基本频率。频率等于基本频率整倍数的正弦波分量称为谐波第18贵
第 10 页 第 10 页 基波、谐波 周期信号所展开的傅里叶级数中,包含基波 和谐波。与本信号周期相等的正弦波分量称为基 波，其频率称为基本频率。频率等于基本频率整 倍数的正弦波分量称为谐波