大连理工大学：《信号与系统》课程教学课件（讲稿）第09讲 §4.2 傅里叶级数 §4.3 周期信号的频谱

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第 1 页 信号与系统 第九讲 §4.2 傅里叶级数 §4.3 周期信号的频谱

思考题1、周期信号可分解为（）和许多余弦分量。2、偶函数展开的傅里叶级数中只含（）分量。3、奇函数展开的傅里叶级数中只含（）分量。4、什么是吉布斯现象？5、如何得到信号的偶分量与奇分量？第2页

第 2 页 思考题 1、周期信号可分解为（ ）和许多余弦分量。 2、偶函数展开的傅里叶级数中只含（）分量。 3、奇函数展开的傅里叶级数中只含（）分量。 4、什么是吉布斯现象？ 5、如何得到信号的偶分量与奇分量？

三、傅里叶级数的指数形式Ao+ EAn cos(nQt + Pn)f(t) :2n=1cosx=（ejx + e-jx)/2推出指数形式傅里叶级数。8F, = f(t)e-jnor dtEF, ejnQtf(t) =2n=8F。称为复傅里叶系数Fn=Fnlejonpn ==(an-jbn)2F.+b?Pn = arctanAOnn22第3页

第 3 页 三、傅里叶级数的指数形式 ( ) e jn t n Fn f t      cosx=(ejx + e–jx )/2推出指数形式傅里叶级数。 ( )e d 1 2 2 j      T T n t n f t t T F Fn 称为复傅里叶系数 ( j ) 2 1 e 2 1 e j n n n j Fn Fn A a b n n       1 1 2 2 2 2 F A a b n n n n            n n n a b  arctan        1 0 cos( ) 2 ( ) n n n A n t A f t 

$ 4.3周期信号的频谱频谱图：按频率の（nQ）由低到高排列，用线段表示各谐波分量振幅、相位的图幅度谱：以の为横坐标，以A。或F,为纵坐标画出的图。4单边幅度谱：A～QAo2F,~Q双边幅度谱：G0102592相位谱：以为横坐标，以β.为纵坐标画出的图。Pn1包络线：频谱图各线段顶点的连线102528AoaE An cos(nQt + Pn)f(t)2n=1-2元

第 4 页 包络线：频谱图各线段顶点的连线。 幅度谱： 相位谱： 以ω为横坐标，以n为纵坐标画出的图。 以ω为横坐标，以An 或Fn为纵坐标画出的图。 单边幅度谱： 双边幅度谱： An ~ω Fn ~ω §4.3 周期信号的频谱 频谱图：按频率ω(n) 由低到高排列,用线段表示各谐波 分量振幅、相位的图。        1 0 cos( ) 2 ( ) n n n A n t A f t 

频谱图示（单边----三角函数）幅度频谱An ~ Q离散谱线或Ao2[Fnl～曲线0=nQ0Q3Q0相位频谱元Pn~の曲线03Q220第5页

第 5 页 频谱图示（单边-三角函数）  3  An 2 A0 A1 A3 O  3    n O 幅度频谱 相位频谱 离散谱线 曲线 或   ~ ~ n n F A n ~曲线 ω=nΩ

周期信号频谱的特点频谱由不连续的线条组成，每一条线1、离散性：代表一个正弦量；2、谐波性：频谱的每条谱线出现在基波频率的整数倍频率上各次谐波的3、收敛性：振幅，随着Ao谐波次数的2增高而逐渐102052a减小。第6页

第 6 页 1、离散性：频谱由不连续的线条组成，每一条线 代表一个正弦量； 2、谐波性：频谱的每条谱线出现在基波频率的整 数倍频率上。 3、收敛性：各次谐波的 振幅，随着 谐波次数的 增高而逐渐 减小。 周期信号频谱的特点

8周期信号ZFn eina tf(t) =指数形式n=-80幅度谱：偶函数22奇函数Pn = arctan相位谱：幅度谱纵轴对称相位谱原点对称IFn|4DFO|21052-5Q-10Q-2T

第 7 页 幅度谱： 相位谱： 幅度谱纵轴对称, 相位谱原点对称。 周期信号 指数形式 n t n f t Fn j  ( )  e    偶函数 奇函数 Fn an bn An 2 1 2 1 2 2            n n n a b  arctan

2111RTf(t)=-cos(nt+=)+-cos(2nt+=))+=coS(30t+=元233436A nO2频谱图对比3120230223020P23中-3Q-222030202232第8页

第 8 页 频 谱 图 对 比

2元A例：周期信号f(t)二sinlcos2A求该信号周期T，基波角频率Q，画出单边频谱图2元T元1解：的周期T,=8cos231元T的周期T2= 6sin634基波角频率Q=2元/T=元/12f(t)的周期T=24，12元元2元整周期对应角度2元元1+元COscos423左移半周期角度+元23元1元T元右移四分之一周期元cossin-3对应角度为一元/24623462元元元元f(t)=1+COSCOS第9页323

第 9 页 例：周期信号f(t) =                 3 6 sin 4 1 3 2 4 cos 2 1 1     t t 解： 的周期T1= 8 的周期T2= 6 f(t)的周期T=24，基波角频率Ω=2π/T=π/12 求该信号周期T，基波角频率Ω，画出单边频谱图。 右移四分之一周期 对应角度为 -/2 整周期对应角度2 左移半周期角度+                  3 2 3 cos 4 1 4 3 cos 2 1 ( ) 1     f t t t

12元TULf(t)=1+J+coslcoS一一--234元元cos是f(t）的（元／4）／（元／12）=3次谐波分量322元1是f(t）的（元/3）／（元／12）=4次谐波分量COS33f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图：AnPn4元320元元元元0341246元元元元02元0312643(a)(b)高10页

第 10 页        4 3 cos 2 1   t 是f(t)的(π/4)/(π/12 )=3次谐波分量；        3 2 3 cos 4 1   t 是f(t)的(π/3)/(π/12 )=4次谐波分量； f(t)的单边振幅频谱图、相位频谱图： (a) (b) o An 12  6  4  3  2 A0 2 1 4 1 ω o ω 3  3  4  6  12  3 2   n 1                  3 2 3 cos 4 1 4 3 cos 2 1 ( ) 1     f t t t