信号与系统第六讲$2.2冲激响应和阶跃响应$2.3卷积积分$2.4卷积积分的性质第王哥
第 1 页 第 1 页 信号与系统 第六讲 §2.2 冲激响应和阶跃响应 §2.3 卷积积分 §2.4 卷积积分的性质
思考题1、零状态响应是系统的初始状态为零，仅由（）信号引起的响应）响2、系统的自由响应包含零输入响应和（应的一部分。3、一个LTI系统，当其（）状态为零时，输入为单位冲激函数引起的响应，称为（）响应。(t)、8'(（t）哪个是奇函数、偶函数？4、5、( f(t)s(t -to)dt = (6、3某LTI的数学模型为y'(t)+2y(t)=28'(t)+S(t)初始状态y（0）=3，求初始值y（0.）第2哥
第 2 页 第 2 页 1、零状态响应是系统的初始状态为零，仅由（） 信号引起的响应。 2、系统的自由响应包含零输入响应和（ ）响 应的一部分。 3、一个 LTI系统，当其（ ）状态为零时，输入 为单位冲激函数引起的响应，称为（）响应。 4、d(t)、d’ (t)哪个是奇函数、偶函数？ 5、 6、某LTI的数学模型为 y’(t)+2y(t)=2d’(t)+d(t) 初始状态y(0-)=3，求初始值y(0+)。 思考题 ( ) ( )d (_) 0 f t d t t t
冲激函数匹配法：k,y"(t)+k2y'(t)+k3y(t)=k4 8 "(t)+k5 8 (t)0时刻方程两端8（t）及其各阶导数相等zs"(t)=a 8 "(t)+b 8'(t)+c 8 (t)+ro(t)J.ro(x)dxyzs'(t)=a 8 '(t)+b 8 (t)+c+ri(t)r(x)dx(t)=a 8 (t)+b+Yzsr2(t)第多哥
第 3 页 第 3 页 冲激函数匹配法： 0时刻方程两端δ(t)及其各阶导数相等 yzs ’’(t)=aδ’’(t)+bδ’(t)+cδ(t)+r0(t) yzs ’(t)=aδ’(t)+bδ(t)+c+ yzs (t)=aδ(t)+b+ t r (x) d x } 0 r1(t) t r (x)d x } 1 r2(t) k1y’’(t)+k2y’(t)+k3y(t)=k4δ’’(t)+k5δ(t)
45页Yzs"(t)=a 8 "(t)+b 8'(t)+c 8 (t)+ro(t)Yzs'(t)=a8 '(t)+b 8 (t)+c+ /ro(x)dxri(t)r(x)dx(t)=a (t)+b+Yzsrz(t)?0+Yzs'(0.)-yzs'(0)=y"(x)dx=c yzs'(o)=cJo0+yss (x)dx=bzs (0)=byzs (0.) -yzs (0_) 0-，0+区间，8"(t)、’(t)、r。(t)积分均为0
第 4 页 第 4 页 yzs ’’(t)=aδ’’(t)+bδ’(t)+cδ(t)+r0(t) yzs ’(t)=aδ’(t)+bδ(t)+c+ yzs (t)=aδ(t)+b+ t r (x) d x } 0 r1(t) t r (x)d x } 1 r2(t) yzs ’(0+)-yzs ’(0-)= =c yzs(0+)-yzs(0-) = =b yzs ’(0+)=c yzs (0+)=b 0 0 y (x)d x zs 0 0 y (x)d x zs 0-，0+区间，δ’’(t)、δ’(t)、r0(t)积分均为0 45页
8 2.2冲激响应和阶跃响应一、冲激响应由单位冲激函数8（t）所引起的零状态响应称为单位冲激响应，记为h(t）。h(t)=T[{O), 8 (t)]h(t)s(t)T(0)第5
第 5 页 第 5 页 一、冲激响应 T{0} d t ht 由单位冲激函数δ(t)所引起的零状态响应 称为单位冲激响应，记为h(t)。 h(t)=T[{0},δ(t)] §2.2 冲激响应和阶跃响应
1.系统冲激响应的求解对于LTI系统，可以用一n阶微分方程表示, (n-l)y(n) (t)+an(t) +... +ay()(t)+aoy(t) =bmf(m) (t)+bm-i f(m-1)(t) +... +b, f()(t)+ bof(t)h(n)(t)+an-1h(n-1)(t) +...+a,h()(t) + aoh(t)= bmo(m)(t) + bm-18(m-1)(t) +...+ b)()(t) + bo8(t)第昌贵
第 6 页 第 6 页 1．系统冲激响应的求解 对于LTI系统,可以用一n阶微分方程表示 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 b t b t b t b t h t a h t a h t a h t m m m m n n n d d d d ( ) ( 1) (1) 1 1 0 ( ) ( 1) (1) 1 1 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n m m m m y t a y t a y t a y t b f t b f t b f t b f t
h(n)(t)+an-th(n-1)(t)+...+ah()(t)+aoh(t)h(t)解的形式= bms(m)(t) + bm-1o(m-1)(t) +...+ b,()(t)+ boo(t)s(t)及导数在t≥0时都为零，因而方程右端恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解形式相同。①与特征根有关例：当特征根均为单根时nnitEcieh(t) =(t)=1②与n，m相对大小有关.当n>m时，h(t)不含s(t)及其各阶导数；·当n=m时，h(t)冲应包含s(t).当n<m时，h(t)应包含s(t)及其各阶导数第了贵
第 7 页 第 7 页 • h(t)解的形式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 b t b t b t b t h t a h t a h t a h t m m m m n n n d d d d 例:当特征根均为单根时 d(t)及导数在 t≥0+ 时都为零，因而方程右端恒等 于零，这样原系统的冲激响应形式与齐次解形式相同。 当 时 ， 应包含 及其各阶导数。 当 时 ， 中应包含 ； 当 时 ， 不 含 及其各阶导数； n m h t t n m h t t n m h t t d d d ②与n, m相对大小有关 ①与特征根有关 ( ) ( ) 1 h t c e t n i t i i
例2.2-2描述某系统的微分方程为y"(t)+5y'(t)+6y(t)=f"(t)+2f(t)+3f(t)求其冲激响应h（t）。解：(1)根据h(t)的定义 有h"(t)+5h'(t)+6h(t)= 8"(t)+2 8'(t)+3 8 (th'(0)=h (0_)=0(2)对t>0时，有h"(t)+5h'(t）+6h（t)=0特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为h(t)=C,e-2t+C,e-3t, t>0第贵
第 8 页 第 8 页 例2.2-2 描述某系统的微分方程为 y”(t)+5y’(t)+6y(t)=f”(t)+2f’(t)+3f(t) 求其冲激响应h(t)。 解:(1)根据h(t)的定义 有 h”(t)+5h’(t)+6h(t)=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t) h’(0-)=h(0-)=0 (2) 对t>0时，有h”(t)+5h’(t)+6h(t)= 0 特征根为–2，–3。故系统的冲激响应为 h(t)=C1e –2t+C2e –3t ，t>0
h"(t)+5h'(t)+6h(t)=S"(t)+2'(t)+3S(t)解：（3）先求h（0.）和h（0.）h"(t)=a 8"(t)+b 8'(t)+c (t)+r,(t)h'(t)=a '(t) +b 8(t)+c+) r(x)dxh(t) =a (t) +b+" r(x)dxa "(t)+b '(t)+c (t)+r, (t)+5[a '(t)+b (t)+r,(t)]+6[a (t)+r3(t)]= 8"(t)+2 8'(t)+3 8 (t)整理得a S"(t)+(b+5a) '(t)+(c +5b+6a) (t)+ r,(t)+5r2(t)+6r3(t)= "(t)+2 '(t)+3 8 (t)利用（t)系数匹配，得a=1，b=-3，c=12第多哥
第 9 页 第 9 页 h”(t)+5h’(t)+6h(t)=d”(t)+2d’(t)+3d(t) 解:(3)先求h’(0+)和h(0+) h”(t)=aδ”(t)+bδ’(t)+cδ(t)+r1(t) h’(t)=aδ’(t) +bδ(t)+c+ h(t) =aδ(t) +b+ aδ”(t)+bδ’(t)+cδ(t)+r1(t)+5[aδ’(t)+bδ(t) +r2(t)]+6[aδ(t)+r3(t)]=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t) 整理得 aδ”(t)+(b+5a)δ’(t)+(c +5b+6a)δ(t)+ r1(t) +5r2(t)+6r3(t)=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t) 利用δ(t)系数匹配，得a=1，b=-3，c=12 t r (x)d x 1 t r (x)d x 2
a=1，b=-3，c=12所以h"(t)= 8"(t)-3 '(t)+12 S (t)+r, (t)h'(t)= S'(t)-3 (t)+12+r,(t)h(t) = (t)-3+r,(t)h"（t)从0_到0积分得h'(0.)-h(0_)=12h'（t)从0_到o.积分得 h（0.）－h（0）=-3故h'(0)=12h(0.)= -3,(4)代入初始条件h(0+)= -3, h'(0.)=12求得C,=3，C,= -6，所以h(t)=3e-2t_6e-3t,t>0d=1h(t)=d 8 (t)+(3e-2t_6e-3t) ε (t)= S (t)+(3e-2t_6e-3t) ε (t)h"(t)+5h'(t)+6h(t)= "(t)+2 S'(t)+3 8 (t)第18贵
第 10 页 第 10 页 a=1，b=-3，c=12 所以 h”(t)=δ”(t)-3δ’(t)+12δ(t)+r1(t) h’(t)=δ’(t)-3δ(t)+12+r1(t) h(t) =δ(t)-3+r2(t) h”(t)从0-到0+积分得 h’(0+)– h’(0-)= 12 h’(t)从0-到0+积分得 h(0+) – h(0-) = –3 故 h’(0+)=12 h(0+)= –3， (4) 代入初始条件 h(0+)= –3，h’(0+)=12 求得C1 =3，C2 = –6, 所以 h(t)=3e–2t–6e–3t,t>0 h(t)=dδ(t)+(3e–2t–6e–3t)ε(t) d=1 = δ(t)+(3e–2t–6e–3t)ε(t) h”(t)+5h’(t)+6h(t)=δ”(t)+2δ’(t)+3δ(t)