大连理工大学：《信号与系统》课程教学课件（讲稿）第07讲 §2.3 卷积积分 §2.4 卷积积分的性质

信号与系统第七讲$2.3卷积积分$2.4卷积积分的性质第王哥

第 1 页 第 1 页 信号与系统 第七讲 §2.3 卷积积分 §2.4 卷积积分的性质

$ 2.3卷积积分卷积(1)设函数f,(t)和f,(t)在（-，+α）上有定义( fi(t)f2(t-t)dt 收敛若含参变量t的广义积分则称此积分为f，（t）和f，（t）的卷积。或f()=fi(@)f(t)f(t)=fi(t)*f()第2哥

第 2 页 第 2 页 (1) 卷积 f t f t f t f t f t f t 1 2 1 2   或 ( )   设函数f1(t)和f2(t)在（-∞，+∞）上有定义, 若含参变量t的广义积分 收敛 则称此积分为f1(t)和f2(t)的卷积。     d  1 2   f f t  §2.3 卷积积分

信号的卷积积分一LTI系统(t)f(t)Yzs零状态h(t)根据h(t)的定义：o(t)h(t -t)由时不变性：o(t -t)f(t) h(t -t)由齐次性：f(t)o(t -t)[ f(t)h(t -t)dt由积分性：『 ~°()(t-)dzs(t)f (t)yzs(t) = / f(t)h(t -t)dt = f(t)*h(t)多贵-0

第 3 页 第 3 页 LTI系统 f (t) 零状态 yzs (t) 根据h(t)的定义： δ(t) h(t) 由时不变性： δ(t -τ) h(t -τ) 由齐次性： f (τ)δ(t -τ) f (τ) h(t -τ) 由积分性：  ( ) (  )d   f t   ( ) (  )d   f h t  f (t) yzs(t) y (t) f ( )h(t )d f (t)*h(t) zs          一、信号的卷积积分

二、卷积的图解法fi(t)* fz(t) = /fi(t)fz(t -t)dt卷积过程可分解为四步：(1)换元：t换为 →得f（）、f,（）(2)反转平移：f,（）→f,()平移t→f,(t-）(3)两信号重叠部分相乘：f（）f（t-）(4)相乘后图形积分：T从-8到8对乘积项积分注意：t为参变量第贵

第 4 页 第 4 页 二、卷积的图解法    f (t) * f (t)  f ( ) f (t  )d 1 2 1 2 卷积过程可分解为四步： （1）换元：t换为τ→得f1 (τ)、f2 (τ) （2）反转平移：f2 (τ)→f2 (–τ)平移t→f2 (t-τ) （3）两信号重叠部分相乘：f1 (τ)f2 (t-τ) （4）相乘后图形积分：τ从–∞到∞对乘积项积分 注意：t为参变量

例11f(t)、h(t)如图所示，求y-.(t)=h(t)*f(tf (t)h(t)12解：h(t)函数：换元为h（T）f(t)函数：换元为f（t）、反转并平移th(t)h(t)f (-t)f(t-t)葉5贵

第 5 页 第 5 页 例1 f(t)、h(t)如图所示，求yzs(t)=h(t)*f(t) 解: h(t)函数：换元为h(τ) f(t)函数：换元为f(τ)、反转 h(τ) τ f (-τ) τ f (t) h(t) t t 1 2 1 2 2 并平移t 2 2 t f (t-τ) h(τ)

yzs(t) = h(t)* f(t) = f- h(t)· f(t -t)dth(t)f(-t)Px(1) t≤0f(t-t)0.5Yzs (t)=02h(t)(2) 0≤t≤112Yzs(t) =102h(t)(3)1≤t≤2yzs(t) = Ji-12T:dt=246货第

第 6 页 第 6 页 (2) 0≤t≤1 ⑴ t≤0  y t  h t  f t  h   f t  d zs( ) ( ) ( ) ( ) ( ) yzs(t)=0      t zs y t d t 0 2 41 21 ( )   (3) 1≤t≤2 41 21 21 ( ) 1        t zs t y t  d t 2 1 h( τ ) t 1 h( τ ) t

yzs(t) = h(t) * f(t) = f- h(t)· f(t -t)dt(4)2≤t≤3h(tyzs(t) = [-12T·d.(5)3≤t≤+8h(t)Jzs(t) = 0结论：两信号卷积后宽度为两信号宽度之和。第贵

第 7 页 第 7 页 (4) 2≤t≤3    y t  h t  f t  h   f t  d zs( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (5) 3≤t≤+∞ yzs(t)  0          2 1 2 4 3 2 1 4 1 2 1 ( ) zs t y t  d t t h(τ) t 2 3 3 t t-1 h(τ) 2 结论：两信号卷积后宽度为两信号宽度之和

8 2.4卷积积分的性质卷积代数运算1.交换律f(t)* f2(t)= f2(t)* fi(t)第

第 8 页 第 8 页 §2.4 卷积积分的性质 一、卷积代数运算 1．交换律 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 f t  f t  f t  f t

2．分配律f(t)*lf(t)+ fs(t))= f(t)* f(t)+ f(t)* f(t)系统并联，框图表示：h(t)f(t)f(t)*h(t)h,(t)+f(t)y(t)f(t)*hi(t)+ f(t)*h(t+f(t)h,(t)= f(t)*h(t)f(t)* h,(t)f(t)y(t)h(t)= h,(t)+h,()h(t)结论：并联系统冲激响应等于子系统冲激响应之和

( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 1 3 2．分配律 f t  f t  f t  f t  f t  f t  f t ht h t h t  1  2 系统并联，框图表示： f (t) y(t) h(t) y(t) f (t) f (t) f (t) h(t) ( ) 1 h t ( ) 2 h t ∑ ( ) ( ) 1 f t h t ( ) ( ) 2 f t  h t ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 f t h t f t h t f t h t      结论：并联系统冲激响应等于子系统冲激响应之和

[f(t)* fi(t)]* fz(t) = f(t)*[fi(t)* f2(t)3．结合律f(t)*h(t)*h(t) = f(t)*[h(t)*h,(t)系统级联，框图表示：f(t)y(t)h,(t)h,(t)f(t)*h(t)*h,(t)f(t)*h(t)f(t)y(t)h(t)= h(t)* h,(t)h(t)结论：串联系统冲激响应等于子系统冲激响应的卷积

3．结合律  ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] 1 2 1 2 f t  f t  f t  f t  f t  f t ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] 1 2 1 2 f t h t h t  f t  h t h t   ( ) ( ) 1 2 h t  h t h t 系统级联，框图表示： f (t) ( ) 1 h t ( ) 2 h t y(t) ( ) ( ) 1 f t  h t ( ) ( ) ( ) 1 2 f t  h t  h t f (t) y(t) h(t) 结论：串联系统冲激响应等于子系统冲激响应 的卷积