大连理工大学：《信号与系统》课程教学课件（讲稿）第16讲 §5.2 拉普拉斯变换的性质 §5.3 拉普拉斯逆变换

信号与系统第十六讲第五章连续系统的s域分析$5.2拉普拉斯变换的性质$5.3拉普拉斯逆变换第1页

第 1 页 信号与系统 第十六讲 第五章 连续系统的s域分析 §5.2 拉普拉斯变换的性质 §5.3 拉普拉斯逆变换

思考题1.两信号卷积后的宽度是两信号宽度（）。信号在时域扩展a倍，在频域、复频域（）a倍2.信号x,（t）的最高频率为500Hz，信号x，（t）的最高频率为1500Hz，对如下信号进行采样，求允许的最大采样间隔T(1) f, (t)=x, (t)*x2 (t)(2) fz (t) =x, (t) ×2 (t/3)第2页

第 2 页 1.两信号卷积后的宽度是两信号宽度( )。 信号在时域扩展a倍，在频域、复频域( )a倍 思 考 题 2.信号x1(t)的最高频率为500Hz, 信号x2(t)的最 高频率为1500Hz, 对如下信号进行采样,求允许 的最大采样间隔T (1)f1(t)=x1(t)*x2(t) (2)f2(t)=x1(t)x2(t/3)

（定理）五、时域微分特性若f(t)←→ F(s), Re[s]>0o则f '(t)-→sF(s)-f(O)I d f?(t)推广：L= s[sF(s)- f(0_)]- f'(0_)dt= s2F(s)- sf(0_)- f'(0_)若f(t)为因果信号，则f(n)(t）<←→ snF(s)S'(t) <sf(n)(t)<←→(j)" F(jo)第3页

第 3 页 五、时域微分特性（定理） 若f(t) ←→ F(s),Re[s]>0 , 则f ′(t)←→sF(s)–f(0- )      ( ) (0 ) (0 ) 0 (0 ) d d ( ) 2 2                   s F s sf f s sF s f f t f t 推广： L 若f(t)为因果信号，则f (n)(t) ←→ snF(s)  (t)  s ( ) (j ) (j ) ( ) f t  F  n  n

f/ (t)<→sF(s)-f(0_)电感元件的s域模型i(t)L(t)=Ldi(0)533dt+V,(t)设L[i(t)]= I(s),L[vr(t)]= Vi(s)应用原函数微分性质V(s) = L*[sI,(s) -i(O_)]= sLI,(s)-Li(O_)Li(o)I ()Ls(s)+V.第4页

第 4 页 电感元件的s域模型 Li (t) I (s), Lv (t) V (s) L  L L  L t i t v t L L L d d ( ) ( )  ( ) * ( ) (0 ) ( ) (0 ) L  L  L   L  LiL  V s L sI s i sLI s i (t) L  v (t)  L L 应用原函数微分性质 设 I s L Ls   LiL 0 V s L   f′(t)←→sF(s)–f(0-)

定理六：时域积分特性若L[f(t)]= F(s)，则r(-1) (0_F(s)[", (t) drSs若f(t)为因果信号，则f(-n)(t)←→F（s)/snF(jo)[ f(x)dx ←-→ πF(0)S() +jo第5页

第 5 页 六．时域积分特性(定理) 若Lf (t) F(s)， 则   s f s F s L f τ τ t ( ) (0 ) ( )d 1           若f(t)为因果信号，则f (-n) (t)←→F (s)/sn      j (j ) ( )d (0) ( ) F f x x F t    

0[" ()dt电容元件的S域模型sSC(t)ic-"(0.)=ic(t)dtve()=(c)dt-ivc()+= vc(0_)Vc(s) =sS1c(s)+=vc(0_)sC-vc(0_)sC设L[ic(t)]= Ic(s),Ic(s)北L[vc(t)]= Vc(s)+ve(s)+第6页

第 6 页 电容元件的s域模型    ( ) ( ) ( ) ( ), L v t V s L i t I s C C C C  设    t C c i C v t ( )d 1 ( )           s i s I s C V s C C C 1 ( ) (0 ) ( ) ( 1) (0 ) ( )d 1 (0 ) 1 0 ( 1)         C C C v i C i C   (0 ) 1 ( ) 1  C  C  v s I s sC i t C  v t  C C sC 1    0 1 C v I s s C  VC s    s f s F s L f τ τ t ( ) (0 ) ( )d 1          

七．卷积定理若L[f(t)]= F(s)，L[f2(t)]= F2(s)，fi(t),2(t)为有始信号L[f(t)* f2(t)= F(s)F2(s)1L[fi(t)· f2(t)]F(s) * F(s)=2元jfi(t)*f(t) <←一Fi(jo)F2(jo)1F(j@)*F2(jo)fi(t) f2(t) <—-2元第7页

第 7 页 七．卷积定理  ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 L f t  f t  F s F s   ( ) ( ) 2 j 1 ( ) ( ) 1 2 1 2 L f t  f t  F s F s  若Lf 1 (t) F1 (s)，Lf 2 (t) F2 (s)，f 1 (t), f 2 (t)为有始信号 f1 (t)*f2 (t) ←→F1 (jω)F2 (jω) f1 (t) f2 (t) ←→ F1 (jω)*F2 (jω) 2 1

(-jt)" f(t) 0o, 则(-t)" f(t)F(n)(s)(-t)f(t)←-→F'(s)f(t)←→F(n)dn例1： te-2tg(t) ←→ ?t1e-2t(t) ←-s+2d?2t?e-2t(t) ds(s + 2)s+21f(t)←→ f F(jx)dx元 f(0)s(t)+Jit第8页

第 8 页 八、s域微分和积分 若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0 , 则 (t) f (t)  F(s) ( ) ( ) ( ) ( ) t f t F s n  n  例1：t 2e -2t(t) ←→ ? t 2e -2t(t) ←→ 2 3 2 ( 2) 2 ) 2 1 ( d d   s s  s e -2t(t) ←→    s F d t f t ()  ( ) 2 1 s  (–jt)n f (t) ←→F(n)(jω)        f t F jx x jt f t ( ) ( )d 1 (0) ( )

九。 初值定理和终值定理d f(t)若f(t)及可以进行拉氏变换，(t)851>82s2f(0)=lm sF(s)= m +2s+2=0s-0第9页

第 9 页 lim ( ) lim ( ) 0 f t sF s t s  例： 2 2 2 ( ) 2    s s s F s 求f(t)的初值与终值     f (0 ) lim sF(s) s     ( ) lim ( ) 0 f sF s s 2 2 2 2 lim 2 2   s  s  s s 0 2 2 2 lim 2 2 0   s  s  s s 解： lim ( ) (0 ) lim ( ) ( ) ( ), d d ( ) ( ) 0 f t f sF s f t F s t f t f t t s       若 及 可以进行拉氏变换，且 则 九．初值定理和终值定理

S 5.3 拉普拉斯逆变换通常F(s具有如下的有理分式戒：-,sm-1 +---+b,s+bo1B(s)b.sm +bmF(s) =A(s)ansn +an-isn-I +---+as+ao当m<n,F(s)为有理真分式a,b,为实数B(s)_bm(s-z))(s-z2)。---o(s-zm)F(s) =A(s) an(s-si)(s-s2)---o(s-sn)Z1,Z2, 3 -- zm是B(s)= 0的根,称为 F(s)的零点零点极点Si,S2,S--Sn是是A（s)=0的根，称为F（s）极点第10页

第 10 页 1 0 1 1 1 0 1 1 - - ( ) ( ) ( ) a s a s a s a b s b s b s b A s B s F s n n n n m m m m               ai ,bi为实数 当m  n , Fs为有理真分式 通 常Fs具有如下的有理分式形式: ( )( )- ( ) ( )( ) - ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 n n m m a s s s s s s b s z s z s z A s B s F s         。 。 。 零点 极点 s1 ,s2 ,s3 -sn 是 z1 ,z2 ,z3 - zm是Bs 0的根 ,称为F s的零点 是A(s)=0的根，称为F(s)极点 § 5.3 拉普拉斯逆变换