第二章控制系统的数学模型 ●2-1.控制系统的时域数学模型 2-2.控制系统的复域数学模型 2-3.控制系统的结构图与信号流图
第二章 控制系统的数学模型 ⚫ 2-1.控制系统的时域数学模型 ⚫ 2-2.控制系统的复域数学模型 ⚫ 2-3.控制系统的结构图与信号流图
2-1.控制系统时域数学模型 2-1-1线性元件的微分方程 2-1-2控制系统微分方程的建立 2-1-3线性系统的特性 ·2-1-4线性定常微分方程的建立 2-1-5非线性微分方程的线性化 2-1-6运动的模态
2-1.控制系统时域数学模型 • 2-1-1.线性元件的微分方程 • 2-1-2.控制系统微分方程的建立 • 2-1-3.线性系统的特性 • 2-1-4.线性定常微分方程的建立 • 2-1-5.非线性微分方程的线性化 • 2-1-6.运动的模态
2-1-1线性元件的微分方程 R 例1p20如左图 l1(t) 解: di(t) L-+Ri(1)+「(dt=t1(t) ()=2(0dt 消去中间变量(,可得: lC d 2+RC qu(t) d22(t) +l0(D)=l(1)
2-1-1.线性元件的微分方程 例1.p20 如左图 解： L R ( ) 0 u (t) u t i i(t)
例2p21 R 解:电→力矩→转动+0 输入un(t),输出On( 负 E SM 载 电枢回路: ()+E En=COn()C是反电动势系数 电磁转矩:Mn(t)=Cnln(t) Cn是转矩系数 转矩平衡:J dom( nt+mOn()=Mn()-M。(t
例2.p21 SM 负载 + + + − − − La Ra f i a u Ea ai m m m J , f ( ) ( ) ( ) ( ) : ( ) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ), ( ) f t M t M t dt d t JM t C i t C E C t C R i t E dt di t u t L u t t m m m c m mm m a m a e m e a a a a a a a m + = − = = = + + → → 转矩平衡： 电磁转矩 是转矩系数 是反电动势系数。 电枢回路： 输入 输出 解：电 力矩 转动
上式中,消去i(t),E,及Mn(1),可得: d2 e m+(Lf+R d @(t) t +(rf +CC o (t) Cmu(t-l dM ( R,M( (2-5) L较小,忽略,可简化为: d o(t) 冬少+O,0)=-(0)-KM,() T 中:T=RJn(Rf 机电常数 K1=Cn1(R.fn+CnC。) K,=R/(Rf+CC.) 若R,J都做得很小,也可忽略,进一步简化为 测速电机:COn(t)=u,(t)
( ) ( ) /( ) /( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (2 6) ( ) ( ) (2 5) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ( ), 2 1 1 2 2 C t u t R J K R R f C C K C R f C C T R J R f C C t K u t K M t dt d t T L R M t dt dM t C u t L R f C C t dt d t L f R J dt d t L J i t E M t e m a a m a a m m e m a m m e m a m a m m e m a a c m m a a c c m a a a m m e m m a m a m m a m a a m = = + = + = + + = − − = − − − + + + + 测速电机： 若 ， 都做得很小，也可忽略，进一步简化为 其中： 机电常数 较小，忽略，可简化为： 上式中，消去 及 可得：
P22例3:输入F(t),输出x(t) 解:a2x(t) dt2 F(t)-F(t F2(t) F(t=kx( F()= dx(t)s dx(t) Kx(t)=F(t) dt 讨论:质量块m所重力mg如何处理 引出x(t)是相对于平衡位置的位移这一基本概念
，输出 解： 引出 是相对于平衡位置的位移这一基本概念。 讨论：质量块 所重力 如何处理， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 2 x t m mg Kx t F t dt dx t f dt d x t m d t dx t F t f F t Kx t F t F t F t dt d x t m + + = = = = − − P22例3：输入 F(t) ，输出 x(t)
2-1-2.控制系统微分方程的建立 注意点: 1.各环节,元件分别罗列 2组合、消去中间变量 3信号传输的单向性、负载效应 作业:仔细阅读教材p23-p25之例
2-1-2.控制系统微分方程的建立 1.各环节，元件分别罗列 2.组合、消去中间变量 3.信号传输的单向性、负载效应 作业：仔细阅读教材p23-p25之例。 注意点：
2-1-3线性系统的特性 线性系统的齐次性和叠加性: y H(u y=Hu 齐次性:若系统满足H(ku)=kH(u)则称系统 具有齐次性 叠加性:若系统满足H(u1+u2)=H(u1)+H(Uu2) 则称系统具有叠加性 同时满足齐次性和叠加性的系统称线性系统
2-1-3.线性系统的特性 线性系统的齐次性和叠加性： u y H(u) y=H(u) H(ku)=kH(u) 则称系统 具有齐次性。 齐次性：若系统满足 叠加性：若系统满足 H(u1+u2 )=H(u1 )+H(u2 ) 则称系统具有叠加性。 同时满足齐次性和叠加性的系统称线性系统
系统满足齐次性而不满足叠加性的例子: 设有一单变量系统对所有的t 其输入输出关系为: y(t)=v(-1) 当u(t-1)≠0 0￥(t-1)=0 容易证明该系统满足齐次性, 但并不满足叠加性
系统满足齐次性而不满足叠加性的例子： 设有一单变量系统对所有的 t 其输入输出关系为： = − = − = − 0 ( 1) 0 ( 1) 0 ( 1) ( ) ( ) 2 u t u t u t u t y t 当 当 但并不满足叠加性。 容易证明该系统满足齐次性
如设:U1=1(t),U2=1(t1) 则:y1=y(u1)=1(t1),y2=y(u2)=1(t) 而:y3=y(u1+u2)=4×1(t)-3×1(t-1) 然,y3不等于y1+y2,证毕。 但叠加性几乎可以隐含齐次性,(在工程中, 若系统具有连续特性,则意味作叠加性就隐含 作齐次性)
如设：u1=1(t)，u2=1(t+1) 则：y1=y ( u1 ) =1(t-1)， y2= y (u2 ) =1(t) 显然， y3 不等于 y1+ y2 ，证毕。 而： y3= y ( u1 +u2 ) =4x1(t)- 3x1(t-1) ， 但叠加性几乎可以隐含齐次性，（在工程中， 若系统具有连续特性，则意味作叠加性就隐含 作齐次性）
