第四章线性系统的根轨迹法 ·4-1.根轨迹概念 ·4-2绘制根轨迹的基本方法 ·4-3,广义根轨迹
第四章 线性系统的根轨迹法 • 4-1.根轨迹概念 • 4-2.绘制根轨迹的基本方法 • 4- 3.广义根轨迹
4-1根轨迹的概念 4-1-1根轨迹法 4-1-2根轨迹与系统性能 ·4-1-3闭环零极点与开环零极点间的关系 ·4-1-4根轨迹方程 1948年 WR.EVANS提出了一种确定闭环 系统特征根的图解法 根轨迹法
4-1.根轨迹的概念 • 4- 1-1 根轨迹法 • 4-1-2 根轨迹与系统性能 • 4-1-3 闭环零极点与开环零极点间的关系 • 4-1-4 根轨迹方程 1948 年 W.R.EVANS 提出了一种确定闭环 系统特征根的图解法———根轨迹法
如图:R(s) k ClS S(0.5s+1) 特征方程为:s2+2s+2k=0 其根为:=-1+√1-2k,2=1-√1-2k 可以用k为参变量,在s平面作其根轨迹: k增大 0.5 k=05 -0.5 15 k增大 3-25
如图： s(0 .5 s 1) R(s) k c(s) 特征方程为： 2 2 0 2 s s k s 1 1 2k s 1 1 2k 其根为： 1 ，2 可以用 k 为参变量，在 s 平面作其根轨迹：
4-1-2.根轨迹与系统性能 通过根轨迹图,可以对系统如下性能做研究: (1)稳定性 若系统轨迹进入s右半面,则系统不稳定,根 轨迹与虚轴交点处为临界稳定 (2)稳态性能 可以判断系统型次,并推算出开环增益 (3)可以通过根轨迹图来确定系统的振型
4-1-2.根轨迹与系统性能 • 通过根轨迹图，可以对系统如下性能做研究： • (1)稳定性 若系统轨迹进入s右半面，则系统不稳定，根 轨迹与虚轴交点处为临界稳定。 • (2)稳态性能 可以判断系统型次，并推算出开环增益。 • (3)可以通过根轨迹图来确定系统的振型
4-1-3.闭环零极点与开环零极点间的关系 如图: R(S) C(s) G(sS) H(S) a(S) G(S) 1+G(s)H(s) 设:G(s)=Ka(+1X2s2+2512s+1)=Ki(s=) ∏ (T1S+1)(72s2+25272S+1) ∏(s=p) 其中K。为前向通路增益; KG为前向通路根轨迹增益。K=K。2
4-1-3.闭环零极点与开环零极点间的关系 如图： G (s) R(s) c(s) H (s) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) G s H s G s s 设： q j j f i i G G s p s z K s T s T s T s K s s s G s 1 * 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 ( ) ( ) ( 1)( 2 1) ( 1)( 2 1) ( ) 其中K G为前向通路增益； * K G为前向通路根轨迹增益。 2 1 2 2 * 1 2 T T K G K G
H(S)=K (s-p K为反馈通路根轨迹增益; ∏(s-=,)∏(s-=,) G(SH(S)=K-4 ∏I(s-p,)∏(s-p K=KK〃为开环根轨迹增益。 则有: K直(s-2,)m(s-=) ap(S) n(s-P)+K(s-z)
n j j l i i H s p s z H s K 1 * 1 ( ) ( ) ( ) * K H 为反馈通路根轨迹增益； q j n j j j l i i f i i s p s p s z s z G s H s K 1 1 * 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * * * K K G K H 为开环根轨迹增益。 则有： n j m j j j n i i f i G i s p K s z K s z s z s 1 1 * 1 1 * ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
由闭环传递函数 KGI(S-EM(S-z) 可见: ap(S) i=1 II(s-p)+KII( 1).(当n>m时)闭环系统根轨迹增益,等于开环 系统前向通路的根轨迹增益(单位反馈系统,闭环 与开环根轨迹增益相同); 2)闭环零点由开环前向通路的零点和反馈通路的 极点组成(单位反馈系统,闭环零点就是开环零 ·3).闭环极点与开环极点、开环零点及K*有关 根轨迹:由开环零、极点来确定闭环极点随K*变化 在s平面上画出的轨迹
由闭环传递函数 可见： • 1). ( 当n > m时 )闭环系统根轨迹增益，等于开环 系统前向通路的根轨迹增益（单位反馈系统，闭环 与开环根轨迹增益相同）； • 2).闭环零点由开环前向通路的零点和反馈通路的 极点组成（单位反馈系统，闭环零点就是开环零 点。）； • 3).闭环极点与开环极点、开环零点及K*有关。 • 根轨迹：由开环零、极点来确定闭环极点随K*变化 在s平面上画出的轨迹 。 n j m j j j n i i f i G i s p K s z K s z s z s 1 1 * 1 1 * ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4-1-4根轨迹方程 系统特征方程:1+G(s)H(s=0,即 K∏(S-z) ∏(S-p,) K∏I|s==, 幅值条件: ∏I|s-p 相角条件:∑∠(-)-∑么(S-=)=(2k+1)zk=0,2, 相角条件:满足该条件的点均为可能的根: 2、幅值条件:满足该条件的点确定K*值 3、在满足相角条件下,将根轨迹增益K*由零增大 直至∞,便可利用幅值条件画出根轨迹
4-1-4 根轨迹方程 系统特征方程：1+ G(s)H(s) =0，即 1 ( ) ( ) 1 1 * n j j m i i s p K s z 1 | | | | 1 1 * n j j m i i s p K s z 幅值条件： ( ) ( ) (2 1) 0，1，2， 1 1 s z s z k k n j j m i 相角条件： i 1、相角条件：满足该条件的点均为可能的根； 2、幅值条件：满足该条件的点确定 K＊ 值。 3、在满足相角条件下，将根轨迹增益 K＊ 由零增大 直至，便可利用幅值条件画出根轨迹
4-2绘制根轨迹的基本法则 法则1.根轨迹起源于开环极点,终于开环零点。 由 K∏(S-z) 1可得:(s-)+k∏ ∏(s-P) J=1 当K*=0时,根轨迹方程退化为:II(s-p)=0 此时闭环特征方程的根即为开环传递函数的极点。 同样由K∏( 1也可得:∏(-p)+∏I(s-=)=0 ∏(s-P,) J=I 当K*→》∞时,根轨迹方程退化为:∏(s-=)=0 此时闭环特征方程的根即为开环传递函数的零点
4-2.绘制根轨迹的基本法则 • 法则1. 根轨迹起源于开环极点，终于开环零点。 当 K＊= 0 时，根轨迹方程退化为： ( ) 0 1 n j pj s 此时闭环特征方程的根即为开环传递函数的极点。 由 1 可得： ( ) ( ) 1 1 * n j j m i i s p K s z ( ) ( ) 0 1 * 1 m i i n j j s p K s z 当 K＊ 时，根轨迹方程退化为： ( ) 0 1 m i i s z 此时闭环特征方程的根即为开环传递函数的零点。 同样由 1 也可得： ( ) ( ) 1 1 * n j j m i i s p K s z ( ) ( ) 0 1 1 1 * m i i n j j s p s z K
当m∞当m∞(m<n),是G(s)H(s)的无限零点(nm个) 法则2.根轨迹的分支数、对称性和连续性: 根轨迹的分支数与开环有限零点数m、开环有 限极点数n中的大者相等,连续对称于实轴
• 法则2. 根轨迹的分支数、对称性和连续性： 根轨迹的分支数与开环有限零点数 m、开环有 限极点数 n 中的大者相等，连续对称于实轴。 当 m<n 时，根轨迹终于开环传递函数的无穷远零点。 1 ( ) ( ) 1 1 * n j j m i i s p K s z 可得： s n m s z s p K n m s m i i n j j s lim lim 1 * 1 开环传递函数中，若令 s 当 m<n 时， G(s)H(s) =0 称 s （ m<n），是 G(s)H(s) 的无限零点 (n-m个)
