状爽量分材法 (state arable)
第五章 状态变量分析法 (state variable)
传统方法(单输入一单输出分析法):用一个n阶常微分 方程描述n阶电路。 近代方法(多输入一多输出的状态变量分析法):用n个 联立的一阶微分方程组描述n阶电路。 状态变量分析法特点 ①易于编制计算机求解程序; ②它是非线性、时变网络最常用的分析方法 ③是对网络作定性分析的最有力的工具之一。 状态方程的建立 状态方程的求解
状态变量分析法特点 ①易于编制计算机求解程序； ②它是非线性、时变网络最常用的分析方法； ③是对网络作定性分析的最有力的工具之一。 传统方法 (单输入－单输出分析法 )： 用一个 n阶常微分 方程描述 n阶电路。 近代方法 (多输入－多输出的状态变量分析法 )： 用 n 个 联立的一阶微分方程组描述 n阶电路。 状态方程的建立 状态方程的求解
令5.1状态方程的直观列写与系统公式列写法 ◇5.2状态方程的端口建立法 ◇53状态方程的其它建立法 ◇54非线性网络的状态方程 ◇5.5网络状态方程的解 令5.6网络的CAA概述
5.1 状态方程的直观列写与系统公式列写法 5.2 状态方程的端口建立法 5.3 状态方程的其它建立法 5.4 非线性网络的状态方程 5.5 网络状态方程的解 5.6 网络的CAA概述 5.1 状态方程的直观列写与系统公式列写法 5.2 状态方程的端口建立法 5.5 网络状态方程的解
状态变量分析法的基本概念 储能元件和非储能元件 即时网络或无记忆网络 动态网络或记忆网络 Nf(,y(2=0y()=F/(,) 1、状态与状态变量 个网络在任意瞬时(=t)的状态( state),是指能和输 入激励一起惟一地确定该网络现时(仁=()的行为和未来 (>t)的行为而为数最少(即线性独立)的信息量的集合 状态变量能描述网络任一瞬时状态而为数最少的网络 变量集合中的各个变量。 x1(t),x2(t),x3(t),……,xn(t)
状态变量分析法的基本概念 储能元件和非储能元件 即时网络或无记忆网络 动态网络或记忆网络 N [ f ( t), y ( t ) ] = 0 ( ) [ ( , ) ] 0 y t = F f t t 1、状态与状态变量 一个网络在任意瞬时 ( t= t0 ) 的状态(state)，是指能和输 入激励一起惟一地确定该网络现时 ( t= t0 )的行为和未来 ( t> t0 )的行为而为数最少 (即线性独立 )的信息量的集合 状态变量 能描述网络任一瞬时状态而为数最少的网络 变量集合中的各个变量。 ( ) , ( ) , ( ) , , ( ) 1 2 3 x t x t x t x t L L n
2、纯电容回路与纯电感割集及对选取状态变量的影响 纯电容回路( (capacitor- only loop)网络中出现仅由电容 元件或电容元件与独立电压源构成的回路。 纯电感割集( (inductor- only cutset)网络中出现仅由电感 元件或由电感元件与独立电流源构成的割集。 3、常态网络与非常态网络状态变量的维数 常态网络 (proper network)不含有纯电容回路和纯电感 割集的网络。 非常态网络( improper network)含有纯电容回路或纯电 感割集或两者兼有的网络。 非常态网络状态向量的维数应小于网络中动态元件的 总数。 n=d-p-q
2、纯电容回路与纯电感割集及对选取状态变量的影响 纯电容回路(capacitor-only loop) 网络中出现仅由电容 元件或电容元件与独立电压源构成的回路。 纯电感割集(inductor-only cutset)网络中出现仅由电感 元件或由电感元件与独立电流源构成的割集。 3、常态网络与非常态网络状态变量的维数 常态网络(proper network)不含有纯电容回路和纯电感 割集的网络。 非常态网络(improper network)含有纯电容回路或纯电 感割集或两者兼有的网络。 n=d-p-q 非常态网络状态向量的维数应小于网络中动态元件的 总数
4、状态方程与输出方程 x(O)1「a1a12 In (t) x2(t) 21 22 a2nlx2(t n… ann llx() 12 IS( In 21 22 b2n||J2() n2 nn lf,(t) x(t=Ax(t)+ Bf(t)
4、状态方程与输出方程 ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 f t f t f t b b b b b b b b b x t x t x t a a a a a a a a a x t x t x t n n nn n n n n n nn n n n n M L M M M M L L M L M M M M L L & M & & x&( t ) = Ax ( t ) + Bf ( t )
n×n阶矩阵)(mXm阶价矩阵 x(t)=Ar(t)+ Bf(t) 状态变量的 阶导数 n维状态变量 m维激励向量 输出方程:一组表示输出变量与状态变量和输入变量 之间关系的代数方程。 对于有个n状态变量、m个激励、h个输出变量的网络 输出变量用y(0(k=1,2,…,)表示,输出方程的形式 为
输出方程：一组表示输出变量与状态变量和输入变量 之间关系的代数方程。 对于有个n状态变量、 m个激励、 h个输出变量的网络 ，输出变量用yk(t)(k=1,2,…,h)表示，输出方程的形式 为 x &(t) = Ax(t) + Bf (t) 状态变量的 一阶导数 n维状态变量 m维激励向量 n× n阶矩阵 m × m阶矩阵
D,(t)Cu C 12 l x,(t) V2(0)C21 C 22 C2mlx2(t) h2 Calx,(t) 12 dim ll f(t) 21 22 2m f2(t) h2 dhm lfm(t) y(t)=Cx(t)+Df(t) y(0为h维输出向量,C与D均为仅由网络结构与参数决 定的系数矩阵,分别为hⅩn与hⅩm阶矩阵
⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 1 2 21 22 2 11 12 1 2 1 f t f t f t d d d d d d d d d x t x t x t C C C C C C C C C y t y t y t h h hm m m m h h hn n n n h M L M M M M L L M L M M M M L L M y ( t ) = Cx ( t ) + Df ( t ) y ( t) 为 h维输出向量， C 与 D均为仅由网络结构与参数决 定的系数矩阵，分别为 h × n 与 h × m阶矩阵
5、状态空间与状态轨迹 状态空间网络的状态变量是一组线性无关的变量, 以状态变量x1()、x2()、…、xn(0)为基底可以构成n维 状态变量x()是随时间变化的,它反映了电路的工作 状态随时间变化的情况。而x(0)在某一时刻的值,可 在状态空间中找到对应的点,当时间从变化到∞时, 这些点就连成了曲线,称为状态轨迹。状态轨迹更形 象地描述了电路状态随时间的变化规律,并且还能反 映出电路的稳定性
5、状态空间与状态轨迹 状态空间 网络的状态变量是一组线性无关的变量， 以状态变量x1(t)、 x2(t) 、…、 xn(t)为基底可以构成n维 空间。 状态变量x(t)是随时间 t变化的，它反映了电路的工作 状态随时间t变化的情况。而x(t)在某一时刻t0的值，可 在状态空间中找到对应的点，当时间从t0变化到∞时， 这些点就连成了曲线，称为状态轨迹。状态轨迹更形 象地描述了电路状态随时间的变化规律，并且还能反 映出电路的稳定性
§5-1状态方程的直观列写与系统公式列写法 、网络的复杂性阶数n( order of complexity 1.n定义 n≡一组能够描述网络动态特性的独立且 充分的状态变量的个数; ≡能够完全确定网络动态响应的一组 独立初始条件的个数; ≡能够完全描述网络动态响应的一组 恰当的一阶微分方程的个数 个网络复杂性的阶数不可能大于该网络中储能元件 的总数
§5-1 状态方程的直观列写与系统公式列写法 一、网络的复杂性阶数nd (order of complexity) 1.nd 定义 nd ≡一组能够描述网络动态特性的独立且 充分的状态变量的个数； ≡能够完全确定网络动态响应的一组 独立初始条件的个数； ≡能够完全描述网络动态响应的一组 恰当的一阶微分方程的个数 一个网络复杂性的阶数不可能大于该网络中储能元件 的总数