目录 第一章绪论…… 第一节系统灵敏度问题……… 第二节进一步的说明……… 第二章有关的基本数学知识………… 第一节多变量微积分知识 第二节有关微分方程的知识 …………………………10 第三章系统灵敏度问题的基本考虑……………… ·中,,罪中康 第一节有关系统方面的知识………………………………15 §二节灵敏度函数………………………………………………………16 第三节常用的灵敏度函数表达式 、非击看看 习题…………………………………………………………………………23 第四章各种常用的系统灵敏度函数 ………………………………………25 第一节时域中的灵敏度函数……………………………25 第二节频域中的灵敏度函数-………… 习题 …70 第五拿轴出灵敏度函数的计算与渊量法……………… ………73 第一·节用拉氏变换法求输出灵敏度函数……… …73 第二节输出灵敏度方程…… 第节高阶灵敏度方程… 第四节灵敏度方程的解法 ¨………………………………………90 第五节灵敏度点法 ……………………………………………………………98 习题 、甲;;a 第六章轨逛熨敏度函数的计算与测量方法 .:·;,·4:··中 109 第一节定常参数情况的轨迹灵敏度方程…………………………109 第二节时变参数情况的轨迹灵敏度方程 121 第三节轨迹灵敏度方程的解法 …… 123 箅四节特征值灵敏度确定法………………………… 甲日;甲4 习题 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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第七章频蠟灵敏度函教的确定法…………………… 身a由申由,看t垂面 第一节比较灵敏度函数的确定法……………………………145 第二节特征根灵敏度的求法 ……………148 第三节反馈系统的根灵敏度 习题 …………………………………………162 第八章开环与闭环系统的灵敏度比较………………… 第一节频域中的灵敏度比较………… ……………………………163 第二节时域中的灵敏度比较……………………………………17A 第三节用矩阵奇异值进行灵敏度比较………………………………]77 习题……………… ………“……………84 算九章最优系統灵敏度分析浅论……………………… 第一背最优系统的灵敏度比轸 新:4P中 …………187 第二节性能指标灵敏度的确定法…………………………………19 参考文獻…………………………… ………198 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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第一章绪论 本章用一个具体例子说明系统灵緻度理论( System Sensitivity Theory)所要研究的问 题范畴,并概要地介绍稳健性( Robustness)等与灵敏度理论有关的一些基本术语与概念。 本章拟对系统灵敏度理论提供一个比较全面的概述。 第一节系统灵敏度问题 、参數灵教度问题 什么是系统灵敏度问题?这个问题是怎样被提出来的?为了回答这个问题,让我们先看 个数学上的参数灵敏度问题,以便先对参数灵敏度问题有一个大致的了解。 问题是这样的:设有一个二次方程 .x+63+C=0 式中a,b,c分别为相互无关的待定的参数。 试问b为何值时,它的微小变化会导致上述方程的根发生很大的变化? 为了回答这个问题,我们需要研究dx/dL。为此,将前式对b求导 +by-+x=0 dbd 于是 db 2ax+6 显然,当x=-b 这就是说,当x=-b/2a时,b的微小变化会导致式(1)的根发生很大的变化。 考虑到二次方程根的表达式为 n=一的√2 Aac 可见上述情况发生在b=√4aC处。这时,方程式(1-1)得到重根x1=x2=-b/2。 综上所述,如把系数b作为参数看待,取 6=v 时,它的微小摄动会导致二次方程式1-1)的根的计算结果很不准确。 在数值计算中,称上述根的计算问题是有病态的;从灵敏度理论的观点讲,这是一个对 参数变化敏感的参数灵敏度问题。 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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願便指出,按数值计算的理论,除了有类似上述对参数变化敏感的病态问题外,许乡选 用的具体算法也会因对所计算问题中的参数掇动十分敏感而造成很大的计算误差。这种算法 常称为不稳定的算法。 关于数值计算领域中灵敏度问题的进一步知识,可参看文献[1]、[2]及[3] 〓、动态系統的灵敏度问题 现在我们来讨论发生在动态系統分析、设计与调试中的灵敏度问题。 首先应该说明,所谓动态系统灵敏度问题,实际上是指动态系统的数学模型的灵敏度问 题。这是因为,对任何实际的动态系统进行分析、设计与调试,都是指对描述这个系统的数 学模型进行分析、设计并参照它进行实际调试的缘故。 下面,我们以枢控电机的拖动控制问题为例,来看各种有关的系统灵敏度问题。 )枢控电机拖动系统简介 众所周知,直流电机是控制系统中常用約一种执行元件。由于枢控电动机比激磁控制的 电机性能优越,在当前懵况下,8千瓦以下約各种直流电机中,用永磁激磁巳十分普遍,因 此枢控电动机的方案用得比较广泛。控制这种电动机的原理如图11所示。 下扰 L 瘤令。」|放大变换 直流L输出 装置 电动机 测量装置 图1-1 图1-2 作为被控对象的枢控直流电机示于图1-2。图中,4(t为控制电压;()为输出角速 度;θ(t)为转角;R为电枢电阻;L为电枢电感;m为负载力矩;为负戟的转动惯量。 为了说明问题方便,以下分析中,假设不计负载转动时的粘性摩擦。 与图12相应的枢控电机的信号流图如图1-3所示。图中,M1为电磁力矩;Kt为电磁 力矩系数;Kb为反电势常数;U为输入电压的拉氏变式;Ω为输出角速度的拉氏变式;8 为转角的拉氏变式其余符号与图1-2中的相同。 1R4+L 图1-9 为了以下分析简单起见,假设系统的输出量是角速度o()。显然,电动机对控制信号的 传递函数为 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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Q2(s) (R6+L。3)-J U(s) 1 1 (R a+ la K;。Kt (12) s+ -S+1 KiK, K,Kb 因此,电机微分方程为 d2o+、凡Jo 2 0= (1-3) K,Ks dt- Kiko di K 初始条件是 通常情况下,电机的电枢电感作用远比电阻为小,可以不计,于是式(1-3)成为 Q〓Ku(t) 式中 长 机械时间常数 K 放大系数。 由于这个式子既简单又足够准确,所以是系统设计计算的依据。 体现外干扰力矩M4对电机运动影响的传递函数Q(8)/M(8)也可不难求得。 (二)枢控电机拖动控制系统的灵敏度问题 基于上述,我们可以提出一系列与系统灵敏度有关的问题 (1)方程式(1-)可见,作为被控对象的枢控电机,它的动态性能可用一个线性定常 二阶徹分方程来描述。在这个方程中,与电机及负载性能有关的诸量LRa、J、K1K都 是参数。由于生产过程中有制造容差测量时有测量误差,电机组件及负裁材料不断老化 以及电机的运行条件与设计时所没想的不尽一致等一系列无法预测的原因,这些参数的特点 是;对各台具体的电机而言,尽管设计时的额定值一样,但具体取值却各不相同,而且这种 不一致性又是无法精确控制的。所以各台电机的实际动态性能不会与设计时所设想的完全 致。也就是说,参数的不确定性会导致系统的实际性能相对于设计性能有所改变。于是,我 们遇到了参数灵敏度问题。 (2)如果由于上述参数的实际值偏离设计值而造成的系统性能改变不会引起系统特性的 质变,也就是说,如果参数值的摄动不会导致系统模型阶次的变化,则相对于其它情况而 官,可把这类参数对系统的影响专门划类进行研究。常称这类问题为a参数问题。 (3)假如方程式(1-3)中的参数La、RaJ、K、Kb都与设计时的额定值一致,但电机 运行的初始条件值ω或@发生了摄动,这时,表征系统动态性能的一些量也会发生变化。 这种把初始条件当作参数,考虑它们对系统性能彩响的问题也值得划类进行专门研究。常称 这类问题为P参数问题。 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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(4)前已述及,通常作为系统设计计算依据的是经过简化而得到的一阶方程式(1-4), 而不是最原始的精确方程式(1-3)。在数学上,这等效于把作为数学模型的徽分方程式(1-3) 中的最高阶次项的系数由非零值取为零。这种为了计算简化而选用低阶近似方程作为设计计 算依拥的做法,导致了原系统数学模型的降阶。显然,这样做所得的计算结果与用精确模型 计算所得的结果是有所不同的。然而这是为了计算简便而作出的一种牺牲,对系统建模工作 十分有利(参看文献[4],[5])。从灵敏度理论的观点看,这是故意人为地改变参数,从而 导致了系统性能的变化。所以,这是一个灵敏度问题。在灵敏度理论中,称这种参数灵敏度 情况为λ参数灵敏度问题。显然,凡涉及λ参数灵敏度的问题都会因造成原数学模型的降阶 币发生系统结构改变的现象(见文献L6])。 (5)在研究具体的拖动控制系绕的方案时,一个很自然的问题是;我们应该选用开环控 制还是闭环控制方案?通常情况下,回答总是:选闭环反馈控制方案!为了更全面地考虑与 权衡利弊,我们不妨问一下:从灵敏度理论的观点看,是否闭环控制总比开环控制较为优 越?显然,这也是一个系统灵敏度范畴的问题。 6)假如把外于扰信号数学模型中的各种参数看成是系统的外介质参数,那么研究系统 抗干扰作用的能力河题也成了一个参数灵敏度问题。换一种说法,这种灵敏度问题也可叫做 系统对环境改变的灵敏度问题(见文献[781)。 (7)不论从式(1-3)或式(1-4),我们都可看到,影响被控对象的参数常有很多。为了有 效地设计计算和调试系统,一个重要且自然的问题是:在如此众多的参数中,哪些对系统的 影响最大?哪些由于影响不大而可忽略不计?显然,这种抓主要矛盾型的问题也是系统灵敏 度理论应该研究的问题。 (8)假如我们按最优控制理论设计一个枢控电机的最优拖动控制系统,在被控对象的参 数有摄动的情况下,设计所得的最优性还保得住吗?换句话说,我们很想知道参数摄动对最 优控制系统的性能会有什么影响。这当然又是一个参数灵敏度方面的重要问题。 综上所述不难推想,在现实的科学技术问题中,存在着大量的灵敏度间题。从工程控制 论的观点看,这都是由于系统本身的参数摄动及作用于系统上的外于扰信号的不确定性引起 的。随着科学技术的发展,人们对这种不确定性因素的影响必然会给予更多的关注,这也就 是人们对自适应技术及灵敏度与稳健性理论日益重视的原因。 第二节进一步的说明 在上一节所述内容的基础上,作为绪论,现在我们拟对系统灵敏度及有关的问题进一步 作些说明。 、关子干扰作用与氯动 众所周知,任何控制系统都是由被控对象及控制器所构成。为了实现对被控对象的高质 量控制,一般釆用闭环反馈控制系统。 若仅以被控对象而论,由于其上作用着各种于扰信号,它的内部参数又可能有所摄动, 不难推知’控制系统的输出量往往难以保持要求的定值或对指令倌号进行精确跟踪。 所谓于扰信号是指影响系统性能且又无法由系统进行控制的外来作用;至于摄动,则是 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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指造成对象的静、动态特性发生暂时的或永矢变异的内在因素。 摄动对系统的影响体现为使被控对象的数学模型编离作为设计依据的额定的教学模型。 所以摄动的存在使系统在同一指令信号及干扰信号作用下发生性能变化。也正是由于这个缘 故,摄动,或更确切地说是参数的摄动,对系统来讲相当于是一种使它的性能发变化的特 殊的输入作用。因此,我们可以说,实际的系 于扰 统可描绘为:在额定的数学模型上同时作用 着指令信号、外干扰信号及等效于参数摄动作 指令 输出 用的某种外作用信号。这种形象的描绘示于图 控制系统的数学模型 1-4。鉴于这种考虑,与信号理论一样,灵敏 度理论以及与之有密切关联的系统稳健性理论 与参数摄动等效的信号 构成了工程控制论中的一个重要分支。 图1-4 、参数摄动的原因及其学模型 是什么原因造成实际的系统对于作为设计依据的额定模型存在着不可避免的参数楼动? 般讲,主要原因有 (1)对任何实际系统,我们总不可能把它辨识得绝对槠确。换言之,用系统辩识理论求 得的系统数学模型只是相对准确的 (2)由于制造有容差,所以任何理论的构思及设计计算都不可能绝对准确地实现 (3)随着时间的推移,任何系统都会发生老化、磨损等性能的改变以乃环境和运行条件 的变化; (4)为了简化设计计算或便于数学处理,工程上常常有意把一些复杂的情况或数学模型 简化或理想化。因而,相对于作为设计依据的这种简化的或理想化的模型来讲,真实系统就 相当于是一种参数摄动的情况了。 通常,表示摄动的数学模型有两种。一种叫结构型不确定性模型,另一种是非结构型不 确定性模型。 当被控对象的模型型式完全确定,但参数值不定时,处理这种参数不确定性的数学模型 便是结构型不确定性模型。前一节提到的a参数及B参数问题就属于这种模型的冋题。 如果被控对象的模型是在不计一些次要因素的假定下建立起来的,这样的模利便叫做非 结构型模型。前述的λ参数灵敏度问题即为此例。 在有了a参数、β参数、λ参数灵敏度定义的基础上,又进一步引出表示多数摄动的两 种不同数学模型,其目的是为了将有关的概念推广于系统稳健性的设计计算。 、系统灵敏度与稳管性的关系 当前,在讨论与处理系统不确定性的问题时,经常见到“灵敏度”与“稳健性”这两个 相互间颇有关联的术语。这里拟对它们作一些说明 在20世纪60年代以前,人们在探讨反馈的好处时,早已意识到反馈的引入可以减弱干 扰及摄动对系统的影响。这时,术语“系统灵敏度”兼指系统的性能对于扰与摄动的敏感程 度。60年代末到70年代初,术语“灵敏度”开始用于专指结构不确定性对系统的影响。70 年代末,出现了术语“稳健牲”,它的主要含义是:系统愈稳健,则其特性受答种摄动影 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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响,特别是受非结构不确定性的影响愈小。由此可见,“灵敏度”与“稳健性”这两个术语 所表达的概念实际上是相辅相成的 由于当前各国术语不统一,对“灵敏度”与“稳健性”含义还有其它两种不同約看法。 第一种看法认为“灵敏度η宜用于处理外干扰对系统的性能影响问题,而“稳健性”则用于 处理摄动的影响问题(参看文献[9])。第二种看法则认为“灵敏度”是指在作为设计计算 依据的额定参数工作点附近有小的参数摄动时,这种小摄动对系统性能的影响;而“稳健 性”则是指参数在上述额定点附近作大范围变动时,系统还能在一个足够大的区域中有能力 保持对它的性能要求(参看文献[10])。 Frank(1985)还用实例论证了以下论点;对于同一 个问题,用灵敏度观点对参数大范围变动所作的计算结果,与用基于稳健性理论所作的相应 计算结果基本上是→致的。 Frank提出的这种看法,用统一的观点来看待灵敏度与稳健性这 两个不尽相同却又相互关联的概念,看来比较可取。 最后应该指出,灵敏度与稳健性理论仅是处理系统不确定性问题的一个方面。处理这个 问题的另一个重要方面是自适应理论。不论从这两个方面的过去与现在看,还是从发展的观 点看,它们的关系和功用都是相辅相成的。 因、觌敏理论的其他研究方面 系统灵敏度理论除了研究减小系统不确定性对系统性能影响的问题外,它的另一个研究 方向则是强化系统对参数摄动的敏感性,以解决控制工程中的一些特殊问题。系统瓣识技术 中的最佳输入问题就是这方面研究成果的典型应用。对这方面有兴趣的读者可参看文献 [11 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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第二章有关的基本数学知识 在具体讨论系统灵敏度理论之前,我们先来复习并学习-些后续章节中常要用到的数学 知识。这些知识为:多变量微积分,微分方程解的存在与唯一性,以及微分方程的解与参数 及初始条件的连续关系。其它一些非属基本及用得不很频繁的数学知识如特征值及奇异值 等,将在有关章节中讨论。木章主要参考文献为[12][13[30] 第一节多变量微积分知识 、纯量场和向量场 我们来研究有限维空间中的函数 T;P→R (2-1) 式中 P—n维实空间; P—m维实空间。 若取n=1,m=1,称函数T为实变量的实值函数。 若取n=1,m>1,称函数为实变量的向量值函数。=[y(x),y2(x)T,x∈R, 就是例子。 如果取n>1,m=1,则称函数T为向量变量的实值函数。数学文献中,也常称T为 纯量场。y=y(x)=兴(x,x,…,x),x=[x,x,…,x∈P便是一例。 如果取>1,m>1,则称函数T为向量变量的向量值函数,也常称它为向量场。这 种函数的例子有 c) y,(x, y2(x) y2(x1,x2,…,x) g ∈R y,(r) yn(x, x x=[x1,x2,…,x∈酽 二、約量场的微分运算 定义2-1纯量场对自变量向量的导数若有纯量场 f(x)=f(x,x,…,x 则它对自变量向量x=[x1,x2,…,xn}的导数 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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A 称为函数f(x)对x的梯度。 ∫(x)对x的梯度常表示为:V或 gradf。 为了运算方便,也有人定义梯度为 装e af (2-2) 例2-1若aA[a,a3…,an],xx點…,x,则线性型为 ∫(x)Aa2x=01x1+a22+…d1x 它对x的梯度则为 Va会 dr af/awn 三、向量场的微分运算 定义22向量场对自变量向量的导数若有向量场函数 f1(x) f1(x,…,x r(x)= f2(x) fn(x,…,箕 则f(x)对x的导数由下式定义 ax, a afm afn af ax, ax. 常称上述为向量场(x)对的雅可比矩阵(atr) 例22设有向量场函数 DF文件使用"pdfFactory”试用版本创建www.fineprintcom,cn
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