教学内容 第7章 2. Theta 期权的希腊字母 3. Gamma 6. Portfolio Insurance 常光华嘴理运 e2, 希腊字母 Delta 1.希腊字母度量期权的风险,用于期权头寸的风险管理 1.Deta是期权价值对标的资产价格的偏导数,度量了 期权价值对标的资产价格变化的敏感性 ■金融机构地期权交易员 2.期权价值的决定因素包括股价、到期时间、波动率 风险利率以及执行价格,其中易变的因素有四个: 2.图示 股价:Deta, Gamma ■到期时间: Theta ■波动率:vega ■无风险利率:Rho c srir Greeks e apri. Greeks Delta令欧式股票期权 Delta令欢式股票期权 Deta与到期时间的关系 △n=N(4)-1<0 2. Delta与股价的关系 out of the money
1 第7章 期权的希腊字母 Greeks 2 教学内容 1. Delta 2. Theta 3. Gamma 4. Vega 5. Rho 6. PortfolioInsurance Greeks 3 希腊字母 1.希腊字母度量期权的风险，用于期权头寸的风险管理 期权做市商 金融机构地期权交易员 2.期权价值的决定因素包括股价、到期时间、波动率、 无风险利率以及执行价格，其中易变的因素有四个： 股价：Delta,Gamma 到期时间：Theta 波动率：Vega 无风险利率：Rho Greeks 4 Delta 1.Delta是期权价值对标的资产价格的偏导数，度量了 期权价值对标的资产价格变化的敏感性 2.图示 S(0) S ¶P D ¶ @ Greeks 5 Delta��欧式股票期权 1.利用BS公式，可以推导出 2.Delta与股价的关系 1 X (1) 1 0 Dc = N (d1) D p = N d - < S(0) Greeks 6 Delta��欧式股票期权 Delta与到期时间的关系 atthemoney inthemoney outofthemoney
Delta令令其它欧式期权 Deta命令线性 1.股指期权 一个期权搂组合,其中崩期权的标的资产都 △=eN(41)△,=c"N(4)-1 Deta的线性和 A=N(4)△,=c”N(d)-1 3.期货期权 N(d)△,=c"N(d1)-1 其中,表示组合包含第期权的数量 4.股票远期 f=S-Ke-tr-n 公eie. Greeks e2, Delta对冲 De|ta对冲◆使用期货 1.定义:建立对冲工具头寸,使得对冲工具头寸与要保 1.实,对冲工具多选用期货 护的头寸的Deta等于零 期货流动性好、交易成本低 ■Deta中性资产(或者组合)的Deta等于零 2.动态对冲 ■由于资产的Deta通常是时间的函数,因此,为了实现 ■ Delta对冲需要的标的资产头寸:H4 对冲目标,通常必动态调整对寸冲工具头寸的数量 ■Deta对冲要的期头寸:H 3.期货的Delt 1个单位衍生工具空头 ■期货合约的 Delta ys.远期合约的Deta ■Bs采用Deta对冲方法建立趣包含期权的Deta中性 c srir Greeks e apri. Greeks De|ta对冲命使用期货 heta令定义 4.Deta对冲需要的期货头寸 Theta是期权价值对时间的偏导数,度量了期权价值 ■标的资产不分红 刺间衰减的速度 H=her ■标的资产为股票指数 机波动祠,距剧期的时间是一个完全 H 的量,无需迸亍对冲 标的资产为外汇 H=Herr &Reint Greeks :i
2 Greeks 7 Delta��其它欧式期权 1.股指期权 2.外汇期权 3.期货期权 4.股票远期 (1) qT c e N d - D = (1) 1 qT p e N d - D = - (1) f r T c e N d - D = (1) 1 f r T p e N d - D = - (1) rT c e N d - D = (1) 1 rT p e N d - D = - r(T t) f S Ke - - = - Þ D =1 Greeks 8 Delta��线性 考虑一个期权投资组合，其中所有期权的标的资产都 是同一种资产，则，组合的Delta等于每种期权的 Delta的线性和 其中， 表示组合包含第I中期权的数量 1 n i i i w = D = å D wi Greeks 9 Delta对冲 1.定义：建立对冲工具头寸，使得对冲工具头寸与要保 护的头寸的Delta等于零 Delta中性：资产(或者组合)的Delta等于零 2.动态对冲 由于资产的Delta通常是时间的函数，因此，为了实现 对冲目标，通常必须动态调整对冲工具头寸的数量 3.例子：BSM随机微分方程的推导 1个单位衍生工具空头， 份股票 BS采用Delta对冲方法，建立起包含期权的Delta中性 头寸 f S ¶ ¶ Greeks 10 Delta对冲��使用期货 1.实践中，对冲工具多选用期货 期货流动性好、交易成本低 2.符号 期货到期时间： Delta对冲需要的标的资产头寸： Delta对冲需要的期货头寸： 3.期货的Delta: 期货合约的Deltav.s.远期合约的Delta HA * T HF 0 0 rT F S e * = rT e * Þ D = Greeks 11 Delta对冲��使用期货 4.Delta对冲需要的期货头寸 标的资产不分红 标的资产为股票指数 标的资产为外汇 rT HF HA e * - = (r q)T HF HA e * - - = (r rf )T HF HA e * - - = Greeks 12 Theta��定义 1.Theta是期权价值对时间的偏导数，度量了期权价值 随时间衰减的速度 2.与股价呈随机波动不同，距离到期的时间是一个完全 确定的量，无需进行对冲 t ¶P Q ¶ @
Thetas令欧式股票期权 式股票期权 S,N(d, )o S,N(d,) +rXe" N(d, 公eie. Greeks e2, Theta令令欧式股票期权 Theta与时间的关系 1. Gamma是期权的Deta对标的资产价格的偏导数, 也是期权价值对标的资产价格的二阶偏黴数 期权Deta对标的资产价格变化的敏 权价值对标的资产价格的凸性 △I=eM+Is2 3. Gamma中性与 Gamma对冲 out of the money 产校性关系的工只“例娃用极型价格与标的 公eie Greeks e apri. Greeks Gamma令令欧式股票期权 Gamma令令欧式股票期权 欧式股票期权的 Gamma Gamma与股价的关系 &Reint Greeks
3 Greeks 13 Theta��欧式股票期权 1.欧式股票期权的Theta 买权 卖权 0 1 2 ( ) ( ) 2 rT c S N d rXe N d T ¢ s - Q = - - 0 1 2 ( ) ( ) 2 rT p S N d rXe N d T ¢ s - Q = - + Greeks 14 Theta��欧式股票期权 Theta与股价的关系 X Greeks 15 Theta��欧式股票期权 Theta与时间的关系 inthemoney atthemoney outofthemoney Greeks 16 Gamma 1.Gamma是期权的Delta对标的资产价格的偏导数， 也是期权价值对标的资产价格的二阶偏倒数 2.Gamma度量了期权Delta对标的资产价格变化的敏 感性，也度量了期权价值对标的资产价格的凸性 3.Gamma中性与Gamma对冲 由于标的资产及其远期、期货合约的Gamma都等于 零，因此，不能用来改变投资组合的Gamma 要改变投资组合的Gamma，必须使用那些价格与标的 资产价格呈非线性关系的工具，例如期权 2 2 S S ¶D ¶ P G = ¶ ¶ @ 1 2 2 DP = Q gDt + GgDS Greeks 17 Gamma��欧式股票期权 欧式股票期权的Gamma 1 0 ( ) c p N d S s T ¢ G = G = Greeks 18 Gamma��欧式股票期权 Gamma与股价的关系 X
Gamma◆欧式股票期权 De|ta, Theta, Gamma的关系 Gamma与到期时间的关系 1.从BSM方程容易推导出三者的关系 6+rS△+=2S2r=r 2.如果资组合是Deta中性的,则 ■如果heta是较大的 因此, Theta可以 钙5n6m排结根楼 公eie. Greeks e2, Vega Vegas与股价的关系 1.vega是期权的价值对标的资产波动率的偏导数,度 量了期权价值对标的资产波动率的敏感性 2.Vega中性与vega对冲 因此,不来礎变组合的vega ■要变按寄 必须使用那些vega不于 3.欧式期权的vega Vega,=Vega,=S,TN(,) X Greeks Greeks vega令争与到期时间的关系 1.Rho是期权价值对无风险利率的偏导数,度量了期权 价值对利率变化的敏感性 2.标的股票不支付利的欧式期权 rho= XTe N(d,) in the ■或权 rho,=-XTe"N(,) a&>in :i
4 Greeks 19 Gamma��欧式股票期权 Gamma与到期时间的关系 inthemoney atthemoney outofthemoney Greeks 20 Delta,Theta,Gamma的关系 1.从BSM方程容易推导出三者的关系 2.如果投资组合是Delta中性的，则 如果Theta是较大的正数，Gamma就是很大的负数， 因此，Theta可以作为Gamma的替代指标使用 2 2 2 2 1 2 rS S r t S S s ¶P ¶P ¶ P + + = P ¶ ¶ ¶ 1 2 2 2 Q + rSD + s S G = rP 1 2 2 2 Q + s S G = rP Greeks 21 Vega 1.Vega是期权的价值对标的资产波动率的偏导数，度 量了期权价值对标的资产波动率的敏感性 2.Vega中性与Vega对冲 由于标的资产及其远期、期货合约的Vega都等于零， 因此，不能用来改变投资组合的Vega 要改变投资组合的Vega，必须使用那些Vega不等于 零的工具，例如期权 3.欧式期权的Vega Vega s ¶P ¶ @ 0 1 ( ) V c p ega =Vega = S T N¢d Greeks 22 Vega��与股价的关系 X Greeks 23 Vega��与到期时间的关系 inthemoney atthemoney outofthemoney Greeks 24 Rho 1.Rho是期权价值对无风险利率的偏导数，度量了期权 价值对利率变化的敏感性 2.标的股票不支付红利的欧式期权 买权 卖权 rho r ¶P ¶ @ 2 rho ( ) rT c XTe N d - = 2 rho ( ) rT p XTe N d - = - -
Rhe 外汇期权 Rho欧式股票:与股价的关系 rho,一个对应于本币利率(见上 于外币利率 公eie Rho令欧式股票买权:与到期时间的关系 搂资组合保险定义 1.资 用期权限制表的资产价格下跌的风险 股票指数爽权 公e Greeks e*.Greeks 组合保验合权 丰担含@心的产士天项产 ■股票空头头寸,数量等于卖的Deta ■执行价格 ■无风险资产,数量等于卖空股票获导的收入址费权 2.捡缰哩常常健合煳权逝亍拶资组合保险 股票头寸:△,==N(4) 3.期权合成技术动态复制 无风险资产头寸 ■似曾相识命在推导BSM过种中的Dea对冲就 2.在一定条件下复 的攒组合是自融资的 标的股票与我又动态复制无风险资 4.动态复制 ■标的资产+无风险资产 ■股指期货+无风险资产 :i
5 Greeks 25 Rho��外汇期权 1.外汇期权涉及本币利率与外币利率，因此，有两个 rho，一个对应于本币利率(见上一页)，另一个对应 于外币利率 买权 卖权 0 1 rho ( ) f r T c Te S N d - = - 0 1 rho ( ) f r T c Te S N d - = - Greeks 26 Rho��欧式股票:与股价的关系 Greeks 27 Rho��欧式股票买权:与到期时间的关系 outofthemoney atthemoney inthemoney Greeks 28 投资组合保险��定义 1.投资组合保险：用期权限制表的资产价格下跌的风险 2.股票投资组合+股票指数卖权 P/L 股价 Greeks 29 投资组合保险��合成期权 1.投资组合保险对期权的要求 流动性 执行价格 到期时间 2.基金经理常常创建合成期权进行投资组合保险 3.期权合成技术��动态复制 似曾相识��在推导BSM过程中采用的Delta对冲就是 用标的股票与买权动态复制无风险资产 4.动态复制 标的资产+无风险资产 股指期货+无风险资产 Greeks 30 投资组合保险��标的资产+无风险资产 1.欧式股票卖权=标的资产+无风险资产 股票空头头寸，数量等于卖权的Delta 无风险资产，数量等于卖空股票获得的收入加上卖权 的价值 股票头寸： 无风险资产头寸： 2.在一定条件下，复制卖权的投资组合是自融资的 (1) 1 p p N d S ¶ D = = - ¶ p p -D gS
攒资组合保险令标的资产+无风险资产 斗合保验9标的滴产+无风险资产 曲线表示卖权与标的股票价格的关系 ■切线的篝棒表示卖权的Deta ■截跟表示复制资组合在无风险资产上的资额 2.随着股投价的涨跣切线的位置和方向将发生醱变,其 解与截距者将发生化 ■因此,动态复制需要统常性地调整头寸 2.资组合保险(股票+粼权)包含两个头寸 (1+△,)s ■无风险资产头寸:p-△,S 公eie e2, 按资组合保险◆使用股指期货 按资组合保险命缺陷 1.通过利用股指期货襕买卖股票逝再衡 ■通过在组合基础上覆盖"股指期货头寸提供保险 2.指效期货显著降佃了交易成本 80年代末美国股指期货的双向买、卖差价与佣金大 2.夏劃实繇自键务号 约股票的1/10(8bp:80bp) 理必须莅交易成复制效果之间 ■交易成本越高,在平獬越低 3.在股市出现极端亍懶的时候,攒资组合保险的效果将 ■殷票、股指期货交易困难 X时图商:若结雨加夏损的本波动年 4.如果采用股指期货逃于保险,基点差风险也不容忽视 ■1987110.股指期貨s&P500出现重大偏差 c srir Greeks e apri. Greeks 按资组合保险令◇股价跳跃 二叉树模型 复制攒组合s 斟 Cox and ross(1976)提的风险中性定价思 p delta 想,cox,Ross& Rubinstein(1979)出了-种 股票空头无风险资产净接资 单地定价期权帥办法◇◇二叉树模型 00342|(016)(1590)193234 2.二叉树模型是估计期权价值篚主要数值方法之一 251.04(0.05 628) ■二叉述模型把股价的连续运动过程潋化 751039(043)(3249)4288|1039 寸无风险资产净流量 1251.04 (13.60 1200(160) 751o39(043)20.57(23.56(2.99 :i
6 Greeks 31 投资组合保险��标的资产+无风险资产 Greeks 32 投资组合保险��标的资产+无风险资产 1.上图有助于理解动态复制技术 曲线表示卖权与标的股票价格的关系 切线的斜率表示卖权的Delta 截距表示复制投资组合在无风险资产上的投资额 2.随着股价的涨跌，切线的位置和方向将发生改变，其 斜率与截距都将发生变化 因此，动态复制需要经常性地调整头寸 2.投资组合保险(股票+卖权)包含两个头寸 股票头寸： 无风险资产头寸: (1+ D p)S p p -D gS Greeks 33 投资组合保险��使用股指期货 1.通过利用股指期货，不用买卖股票进行再平衡 通过在投资组合基础上“覆盖”股指期货头寸提供保险 2.指数期货显著降低了交易成本 80年代末，美国股指期货的双向买、卖差价与佣金大 约为股票的1/10 (8bp:80bp) Greeks 34 投资组合保险��缺陷 1.投资组合保险的机制决定了这种策略在股票市场或者 股指期货市场上必须“追涨杀跌” 2.动态复制在理论上虽然是“自融资策略”，但是，由于 存在交易成本，实际上不可能是“自融资策略”。基金 经理必须在交易成本与复制效果之间进行平衡 交易成本越高，在平衡的频率越低 3.在股市出现极端行情的时候，投资组合保险的效果将 大打折扣 股票、股指期货交易困难 组合不是Vega中性的。然而，在极端行情中，波动率 会大幅度上升，因而显著增加复制期权的成本 4.如果采用股指期货进行保险，基点差风险也不容忽视 1987/10，股指期货与S&P500出现重大偏差 Greeks 35 投资组合保险��股价跳跃 3 100 3.42 (0.16) (15.90) 19.32 3.42 3 125 1.04 (0.05) (6.28) 7.32 1.04 3 125 1.04 (0.05) (13.60) 12.00 (1.60) T S p delta 复制投资组合($) 股票空头 无风险资产 净投资 3 75 10.39 (0.43) (32.49) 42.88 10.39 T S p delta 净现金流 股票头寸 无风险资产 净流量 3 75 10.39 (0.43) 20.57 (23.56) (2.99) Greeks 36 二叉树模型 1.基于CoxandRoss(1976)提出的风险中性定价思 想， Cox,Ross&Rubinstein(1979)提出了一种 简单地定价期权的办法��二叉树模型 2.二叉树模型是估计期权价值的主要数值方法之一 二叉述模型把股价的连续运动过程离散化
叉树模型◆令蔑散化 1.把期权的期限分成若干等份,每一份的长度计作 二叉树模型的蘿化 股价做几何布朗动,deta(t)内的搓为G2M delta(t) 2.假设在每个时间段的股价变化存在两种可能性 ■上升到Su,概率为p 降峰到sd,概率为(1p) p2+(1-p)d2-[p+(-p)d]=o2M(2) 3.在风险中性世界里,殷价的期望收为r 5.两个约束方程3个未知数p,ud 6.添加三个方程 =p+(1-p)d 7.方程组(1)(3)的解 l=已 d=e(),p= 公eie. Greeks e2
7 Greeks 37 二叉树模型��离散化 1.把期权的期限分成若干等份，每一份的长度计作 delta(t) 2.假设在每个时间段的股价变化存在两种可能性 上升到Su，概率为p 下降到Sd，概率为(1-p) 3.在风险中性世界里，股价的期望收益率为r (1 ) r t Se pSu p Sd D = + - (1 ) r t e pu p d D = + - (1) Greeks 38 二叉树模型��离散化 4.股价做几何布朗运动，在delta(t)内的方差为 5.两个约束方程，3个未知数p,u,d 6.添加第三个方程 7.方程组(1)-(3)的解 , , ( , ) S r t t S s D : D D 2 s Dt ( ) ( ) 2 2 2 2 pu + 1- p d -épu + 1- p dù =s Dt ë û (2) ud =1 (3) r t e d p u d D - = - ( t) u e s D = ( t) d e -s D =