第六章 2.BsM随机微分方程 期权定价 3.风险中性定价 4.B-S期权定价公式 5.标的资产支付连续红利情况下的期权定价 6.欧式指数期权、外汇期权利期货期权 常光华嘴理运 e2, 马尔科夫过程( Markov process) Wiener过程(布朗运动)令定义 1.无记忆性:未来的取值只与现在有关,与过去无关 1.瞬时增量为Az=E√△ 2.如果股价过程是马尔科夫过程,那么股价在未来某时 ■增量的均值等0 刻的概率分布不依赖股价过去的路径 ■增量的标准差等√ 股价的历史信息全部包含在当前的股价介当中,简单的 技术分析不能战胜市 2.在任意两个微小时间段内的改变量是独立的 ■股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性 Wiener过程是 Markov过程 c srir e apri. 期 Wiener过程〔布朗运动)令基本性质 广义 Wiener过程 1. Wiener过程(长时间段内)的增量 x是广义 Wiener过程,如果 (T)z(0)=∑EG dx= adt +bdz NETIAt ■漂移邈a是常数 ■增量的均值等0 ■增量的标准差等厅 2.在任意时间段内的期望路径长度为无穷大 3.在任意时间段内,z取某一给定值的期望波数等无 增量x(T)-x(0)的均值等aT 穷大 ■标准差为b√T &Reint :i
1 第六章 期权定价 期权 2 教学内容 1. 股价过程 2. BSM随机微分方程 3. 风险中性定价 4. B-S期权定价公式 5. 标的资产支付连续红利情况下的期权定价 6. 欧式指数期权、外汇期权和期货期权 期权 3 马尔科夫过程(Markovprocess) 1.无记忆性：未来的取值只与现在有关，与过去无关 2.如果股价过程是马尔科夫过程，那么股价在未来某时 刻的概率分布不依赖于股价过去的路径 股价的历史信息全部包含在当前的股价当中，简单的 技术分析不能战胜市场 股价过程是马尔科夫过程等价于股票市场的弱有效性 期权 4 Wiener过程(布朗运动)��定义 1.瞬时增量为 增量的均值等于0 增量的标准差等于 Dz = e Dt 2.在任意两个微小时间段内的改变量是独立的 Wiener过程是Markov过程 Dt 期权 5 Wiener过程(布朗运动)��基本性质 1.Wiener过程(长时间段内)的增量 增量的均值等于0 增量的标准差等于 2.在任意时间段内的期望路径长度为无穷大 3.在任意时间段内，z取某一给定值的期望次数等于无 穷大 ( ) () ( ) 1 0 N i i z T z t N T t e = - = D = D å T 期权 6 广义Wiener过程 1.x是广义Wiener过程，如果 漂移速度a是常数 b是常数 2.x是广义Wiener过程 增量 的均值等于 标准差为 dx = adt +bdz x(T )- x(0) b T aT
Ito引理 c孔●应用殷票过期价格 1.标的资产为不分红的股票,则远期价格为 dx=a(x, n dt+6(x, nd f=Se f=se(t-t 2.Ito引理G是x与t的函数,在一定的正则条件下 2.运肛to引理得到 dF=(H-r)Fdr +o Faz ax 因此,G也是Ito过程 公eie e2, 股价过程 股价过程对数正态分布 股价过程:几何布朗运动 1.价3过程,G=lnS ds=uSat +o Sdz =udr dGd dInS=(uS-a/ dt+adz ■μ:单倒间内殷票价格的期望收蘚 ■σ:价的加率 In(S,So)on( -oh son(uar,avar) o(fnS+(-oZry 2.称价呈正态布 2.s为股价过程,则 c srir e apri. 期 朎价过程◆令收分布 BSM随机微分方程命命假设 1.股票收(长时间度) 股价过程为Ito过程 se"或者,n=ms 2.卖空无限制 3.没有交易成本、税收证券是无限可分的 n-%h≠ 4.衍生工具在到期之前不产生红利 5.不存在套利机会 2.与瞬时期望收挐的差异 6.证券可以连续交易 7.所有期陶无风险利率同为常数 3.丝定:在没有特别声明的情况下,股票收葺指瞬时 期望收耀 rein :i
2 期权 7 Ito引理 1.x是Ito过程，如果 2.Ito引理：G是x与t的函数，在一定的正则条件下， 因此，G也是Ito过程 2 2 2 1 2 G G G G dG a b dt bdz x t x x æ¶ ¶ ¶ ö ¶ = ç + + ÷ + è¶ ¶ ¶ ø ¶ dx = a(x,t)dt +b(x,t)dz 期权 8 Ito引理��应用于股票远期价格 1.标的资产为不分红的股票，则远期价格为 2.运用Ito引理，得到， 0 0 rT F = S e r(T t) F Se - = dF = (m -r)Fdt +s Fdz 期权 9 股价过程 1.股价过程：几何布朗运动 ， ：单位时间内股票价格的期望收益率 ：股价的波动率 . 2.S为股价过程，则 dS dt dz S dS = mSdt +s Sdz = m +s m s ( , ) S t t S m s D : D D 2 2 2 2 1 2 G G G G dG S S dt Sdz S t S S m s s æ¶ ¶ ¶ ö ¶ = ç + + ÷ + è¶ ¶ ¶ ø ¶ 期权 10 股价过程��对数正态分布 1.股价对数过程， 2.称股价呈对数正态分布 ( ) 2 dG @ d ln S = mS -s 2 dt +s dz G = ln S ( ) (( ) ) 2 0 ln , 2 ST S : m -s T s T ( ( ) ) 2 0 ln ln , 2 ST : S + m -s T s T ( ) 0 T E ST S e m = ( ) 2 2 2 0 var 1 T T ST S e e = m é s - ù ë û 期权 11 股价过程��收益率分布 1.股票收益率(长时间尺度) 2.与瞬时期望收益率的差异 3.约定：在没有特别声明的情况下，股票收益率指瞬时 期望收益率 0 T ST S e h = 0 1 ln ST T S 或者，h = 2 , 2 T h æ m s s ö ç - ÷ è ø : ( , ) S t t S m s D : D D m 期权 12 BSM随机微分方程��假设 1.股价过程为Ito过程 2.卖空无限制 3.没有交易成本、税收，证券是无限可分的 4.衍生工具在到期之前不产生红利 5.不存在套利机会 6.证券可以连续交易 7.所有期限的无风险利率同为常数
BSM随机微分方程命推导 BSM随机微分方程命命推导 1.f表示股票衍生工具的价值,则它是股价介与时间的函数 3.由于股价过程与衍生工具价格过程中的 dS=μSdt+oSdt 此,通过选择股票与衍生工具的 以消除 Viener过程 1个单位具空头份股票 2.离散式 4.把上述资组合的价值记作∏ △s=μSMr+GSAz ∏=-f+ △nI=-4f -12ns S△z 公eie e2, BSM随机微分方程命命推导 BSM随机微分方程命命应用于股票远期 5.组合的价值不包含随机部分,因此是瞬时无风险的 股票远期的价格满足BsM方程 △II= rHAt ∫=S-Ke aL+rs +loiseL=rf rkeT-n)+rS=rf 6.股票衍生工具都满足上方程,不同工具的差异慨现 在边界条件上 ■欧式买权当t=m时,∫=max(S-X) ■欧式卖枧当t=T时, tx>Kire e apri. 期 BSM随机微分方程 风险中性定价(risk- neutral valuation) 1.BSM的任何解∫(S)都某种可以交易的衍生工具 1. Black-Scholes-Merton方程不包含股票收,说 的理论价格并且它的交易不会导致套利机会 2.如果∫(S,)不满足BsM方程,它是某种衍生工具的 价格那么该衍生工具的交易必然导致套利机会 ■在风险中性世翀中,所有证獺的期望收蘚都等无 2.风险中性定价的一艇星序 ■假谢的资产的期望收蘚等无风险利率 计生工具在到期日的期望支付 payoff) ■把期望支付按无风险利率贴现 风险中性定价是求解sM方程的 的解适用任何接不仅限于风险中性 &Reint :i
3 期权 13 BSM随机微分方程��推导 1.f表示股票衍生工具的价值，则它是股价与时间的函数 2.离散形式 dS = mSdt +s Sdz 2 2 2 2 1 2 f f f f df S S dt Sdz S t S S m s s æ¶ ¶ ¶ ö ¶ = ç + + ÷ + è¶ ¶ ¶ ø ¶ DS = mSDt +s SDz 2 2 2 2 1 2 f f f f f S S t S z S t S S m s s æ¶ ¶ ¶ ö ¶ D = ç + + ÷D + D è¶ ¶ ¶ ø ¶ 期权 14 BSM随机微分方程��推导 3.由于股价过程与衍生工具价格过程中的随机部分是相 同的，因此，通过选择股票与衍生工具的适当组合可 以消除掉Wiener过程。 1个单位衍生工具空头， 份股票 4.把上述投资组合的价值记作 f S ¶ ¶ P f f S S ¶ P = - + ¶ 2 2 2 2 1 2 f f f f S S t S t S s ¶ æ¶ ¶ ö DP = -D + D = -ç + ÷D ¶ è¶ ¶ ø 期权 15 BSM随机微分方程��推导 5.组合的价值不包含随机部分，因此是瞬时无风险的 6.股票衍生工具都满足上述方程，不同工具的差异体现 在边界条件上 欧式买权：当t=T时， 欧式卖权：当t=T时， DP = rP Dt 2 2 2 2 1 2 f f f S t r f S t t S S s æ¶ ¶ ö æ ¶ ö -ç + ÷D = ç- + ÷D è¶ ¶ ø è ¶ ø 2 2 2 2 1 2 f f f rS S rf t S S s ¶ ¶ ¶ + + = ¶ ¶ ¶ f = max(S - X ) f = max(X - S) 期权 16 BSM随机微分方程��应用于股票远期 股票远期的价格满足BSM方程 r(T t) f S Ke - - = - ( ) 2 2 , 1, 0 f r T t f f rKe t S S ¶ - - ¶ ¶ = - = = ¶ ¶ ¶ ( ) 2 2 2 2 1 2 f f f r T t rS S rKe rS rf t S S s ¶ ¶ ¶ - - + + = - + = ¶ ¶ ¶ 期权 17 BSM随机微分方程 1.BSM的任何解 都是某种可以交易的衍生工具 的理论价格，并且它的交易不会导致套利机会 2.如果 不满足BSM方程，它是某种衍生工具的 价格，那么该衍生工具的交易必然导致套利机会 f (S,t) f (S,t) 期权 18 风险中性定价(risk-neutralvaluation) 1.Black-Scholes-Merton方程不包含股票收益率，说 明衍生工具的价值与投资者的风险偏好无关。因此， 在定价衍生工具时，可以采用任何风险偏好，特别 地，可以假设投资者是风险中性的 在风险中性世界中，所有证券的期望收益率都等于无 风险利率 2.风险中性定价的一般程序 假设标的资产的期望收益率等于无风险利率 计算衍生工具在到期日的期望支付(payoff) 把期望支付按无风险利率贴现 3.风险中性定价是求解BSM方程的一种人造方法，用该 方法求得的解适用于任何投资者(不仅限于风险中性 的投资者)
风险中性定价令令应用股票远期 欧式期棂定价 1.边界条件 1.期槌定价是一件非常具有挑战性生的任务。在20世纪的 2.根风险中性定价原则, 前面70多年里,众多经游家做无数努力,邂解 r(T-E(S-K 决期权定价的问题但都能获得令人满意的结果 E(S Scholes发表了"期楔定价与公司负债"的著名论文 2.该论文推导出了确定欧式期极价值的斤表达式 Black- Scholes欧式期楔定价公式,探寸了期 在估计公司证券价值方面的应用更重要的是,它采 动蘰制法成为期权定价研究的经典方法 M. Scholes主要因为这一工作R. Merton一道荣膺 了1997年的诺贝尔经游 些也ie.期权 e2, Bs期棂定价公式 欧式期权定价的令轶事 ∫=c)E(S-) 1及的是19后车第易QB胡 c=S,N(d)-Xe N(d,) 正式发表(5-6月号) p=Xe"N(d,)-S,, 2.两位作者最先把论文投绐PE,到了编辑的拒绝 而且没有得到审稿意见。拒绝的理 叫3() ■金融太多,经太少 3.他们于是向经淨与统讹仑投稿同样在没有得 刂审稿意见的情况下通到拒绝 ( 4.在芝加哥人 E Fama和M.Mile与]P杂趟编辑打 5.这一番波折导致他们检验B-S公式的论文发表在先 公e 期权 e apri. 期 经x| 憝买的执行题◇股票分红 分红前00,i=1,2…n 无风险利率以碳示的股票的波力 3.如果在最后一次分红前夕执权按资者得到的价 2.如果标的股票在期权到期之前分配现金红利,由于股 值为S()-X 票期权没有分红的保护,因此不能直捌用-§期权 定价公式确定欧式期的价值。鱖央这个问题的办去 果在最后一次分红前外不执稱翔权那么,期的 下诉我们 是:用股票的市场价格股票在期权到期日之前分 的红利的现值伪为价代入到B-S公式中,厢而得 2c2S()-D,-Xe-rfT-f. 至欧式期的价值 5.所以,如果S()-Dn-Xe)≥S()-X,即 权不是玩方案 6.如果D>X(-)可以证明在殷价充分高的 情况下,执得杷是最优方案 &Reint eaiE
4 期权 19 风险中性定价��应用于股票远期 1.边界条件： 2.根据风险中性定价原则， T T f = S - K ( ) ( ) r T t T f e E S K - - = - ) ( ) ( ) r T t r(T t) T e E S e K - - - - = - ) r(T t) r(T t) r(T t) e e S e K - - - - - = - r(T t) S e K - - = - 期权 20 欧式期权定价 1.期权定价是一件非常具有挑战性的任务。在20世纪的 前面70多年里，众多经济学家做出无数努力，试图解 决期权定价的问题，但都未能获得令人满意的结果。 在探索期权定价的漫漫征途中，具有里程碑意义的工 作出现在1973年��金融学家F.Black与M. Scholes发表了“期权定价与公司负债”的著名论文 2.该论文推导出了确定欧式期权价值的解析表达式�� Black-Scholes欧式期权定价公式，探讨了期权定价 在估计公司证券价值方面的应用，更重要的是，它采 用的动态复制方法成为期权定价研究的经典方法 3.M.Scholes主要因为这一工作与R.Merton一道荣膺 了1997年的诺贝尔经济学奖 期权 21 BS期权定价公式 0 1 2 ( ) ( ) rT c S N d Xe N d - = - 2 0 1 - = (- )- (- ) rT p Xe N d S N d ( ) 2 0 1 2 ln S r T X d T s s æ ö ç ÷+ + è ø = ( ) 2 0 2 1 2 s s s æ ö ç ÷+ - è ø = = - ln S r T X d d T T ( ) (( )) r T t T f e E S K - - + = - ) 期权 22 欧式期权定价��轶事 1.巧合的是，国际上第一个期权交易所��芝加哥期权 交易所于1973年4月底挂牌营业，略早于B-S公式的 正式发表（5-6月号） 2.两位作者最先把论文投给JPE，遭到了编辑的拒绝， 而且没有得到审稿意见。拒绝的理由： 金融太多，经济学太少 3.他们于是向经济学与统计学评论投稿，同样在没有得 到审稿意见的情况下遭到拒绝 4.在芝加哥人E.Fama和M.Miller与JPE杂志的编辑打 了招呼以后，JPE才最终发表了这篇论文 5.这一番波折导致他们检验B-S公式的论文发表在先 期权 23 BS期权定价公式��离散红利 1.不分红的股票欧式期权的价值由五个因素决定：股票 的市场价格、期权执行价格、期权距离到期的时间、 无风险利率以及标的股票的波动率 2.如果标的股票在期权到期之前分配现金红利，由于股 票期权没有分红的保护，因此不能直接利用B-S期权 定价公式确定欧式期权的价值。解决这个问题的办法 是：用股票的市场价格减去股票在期权到期日之前分 配的红利的现值作为股价代入到B-S公式中，从而得 到欧式期权的价值 期权 24 美式买权的执行问题��股票分红 1.分红前夕： 2.相应的分红数量： 3.如果在最后一次分红前夕执行期权，投资者得到的价 值为 4.如果在最后一次分红前夕不执行期权，那么，期权的 下界告诉我们， 5.所以，如果 ，即 � ，那么，在最后一次分红前夕执行期 权不是最优方案 6.如果 ，可以证明，在股价充分高的 情况下，执行期权是最优方案 1 2 0 n i = L n S(t n)- X ( ) r(T tn) C n n c S t D Xe - - ³ ³ - - ( ) ( ) ( ) n r T t S n n n t D Xe S t X - - - - ³ - ( ) (1 ) n r T t Dn X e - - £ - ( ) (1 ) n r T t Dn X e - - > -
买椥的执行题令令股票分红 卖的执行题◇股票分红 1.一般地如果D≤X(-c1-),那么在第工次分红 1.貮卖权在分红之前的一段时间里执不是戢尤方案 前夕执期权不是最方案 2.如果D2X(-c)对=126n(0T)成 2.总结 前执行 ■就买如果提前执行通常发生在最后一次分红的 如果DsX(-e 对=1,2命n(L1DT)成 立,那么,提前执杯不是方案 公eie e2, 欧式股票期权◇令连续红 欧式股票期权令连续红利 1.下两种股票在T时刻的价格分布相同 1.期权下界 ■当前股价为S,支付连续红利,红利率为q c≥max(Se 当前股价为Se甲,不支付红利 2.定价原则在定价标的股票支付连续红利的欧式 p≥max(Xe"-S,0)Pm(e"-s.0) 时,可以把铛当标的股票不支付红利的欧式期 只要用Se*替镨前股价 2.平价关系 c+Xe=p+S,e 9 c+xe=p Se-X≤C-P≤S-X c srir e apri. 期 欧式股票期权令连续红利 欧式股票期权连续红利 1.BsM随机微分方程 c=S, N(d,)-Xe N(d, sa+g's'gt p=Xe N(d)-Se N(d, 2.风险中性定价 -(-+)y ds=(r-qSdt+o Sdz ds=rSd +a Sd &Reint :i
5 期权 25 美式买权的执行问题��股票分红 1.一般地，如果 ，那么在第I次分红 前夕执行期权不是最优方案 2.总结 美式买权如果提前执行，通常发生在最后一次分红的 前夕 如果 对i=1,2�n( )成 立，那么，提前执行不是最优方案 ( ) ( ) 1 1 i i r t t Di X e - + - £ - ( ) ( ) 1 1 i i r t t Di X e - + - £ - n 1 t + @ T 期权 26 美式卖权的执行问题��股票分红 1.美式卖权在分红之前的一段时间里执行不是最优方案 2.如果 对i=1,2�n( )成 立，那么，卖权不应该提前执行 ( ) ( ) 1 1 i i r t t Di X e - + - ³ - n 1 t + @ T 期权 27 欧式股票期权��连续红利 1.下述两种股票在T时刻的价格分布相同 当前股价为 ，支付连续红利，红利率为q 当前股价为 ，不支付红利 2.定价原则：在定价标的股票支付连续红利的欧式期权 时，可以把它当作标的股票不支付红利的欧式期权， 只要用 替代当前股价 S0 0 qT S e - 0 qT S e - 期权 28 欧式股票期权��连续红利 1.期权下界 2.平价关系 max(0 ,0) rT c S Xe - ( ) ³ - m 0 ax ,0 qT rT c S e Xe - - ³ - max( 0 ,0) rT p Xe S - ( ) ³ - m 0 ax ,0 rT qT p Xe S e - - ³ - 0 rT c Xe p S - + = + 0 rT qT c Xe p S e - - + = + 0 0 rT S X C P S Xe - - £ - £ - 0 0 qT rT S e X C P S Xe - - - £ - £ - 期权 29 欧式股票期权��连续红利 1.BSM随机微分方程 2.风险中性定价 ( ) 2 2 2 2 1 2 f f f r q S S rf t S S s ¶ ¶ ¶ + - + = ¶ ¶ ¶ dS (r q)Sd dS = rSdt +s Sdz = - t +s Sdz 期权 30 欧式股票期权��连续红利 0 1 2 - - = ( ) - ( ) qT rT c S e N d Xe N d 2 0 1 - - = (- )- (- ) rT qT p Xe N d S e N d ( ) 2 0 1 2 ln S r q T X d T s s æ ö ç ÷+ - + è ø = 2 1 d = d -s T
股票指数期枴与外汇期权 期货期权 连续红利的Bs定价公式可直拇于股票指数期权与 1.假谢明货价榴过程为dF=pFd+oFt 外汇期极的定价 2.在连续红利的期权定价公式中,用期货价格僭股票 价格并且瓶风险利率替{利率,就得到期货期 权的定价公式 P=e"[XN(, )-FoN(-d,) In (F/x-ar/2 J 公eie e2
6 期权 31 股票指数期权与外汇期权 连续红利的BS定价公式可以直接用于股票指数期权与 外汇期权的定价 期权 32 期货期权 1.假设期货价格过程为 2.在连续红利的期权定价公式中，用期货价格代替股票 价格，并且用无风险利率替代红利率，就得到期货期 权的定价公式 dF = mFdt +s Fdz [0 ( 1 ) ( 2 )] rT c e F N d XN d - = - [ ( 2 ) 0 ( 1 )] rT p e XN d F N d - = - - - ( ) 2 0 1 ln F X T 2 d T s s + = ( ) 2 0 2 1 ln F X T 2 d d T T s s s - = = -