第12章 动能定理 §12-1 力的功 §12-2 质点和质点系的动能 §12-3 动能定理 §12-4 功率、功率方程、机械效率 §12-5 势力场·势能·机械能守恒定律 §12-6 普遍定理的综合应用
§12-6 普遍定理的综合应用 动量定量 普遍定理 动量矩定量 动能定量 质心运动定理 分析质点系受力 与质心运动的关系 相对于质心 和质心轴 相对于定 点和定轴 积分形式 微分形式 功率方程 描述质点系整体运动 如：平面运动刚体的 运动微分方程 定轴运动刚体的 转动微分方程 求速度 或角速度 求加速度 或角加速度
动量、动量矩 动能 矢量，有大小方向 非负的标量，与方向无关 内力不能使之改变 外力能使之改变 内力可以改变动能 约束力是外力时对之有影响 理想约束不影响 当外力主矢为零时，系统动量守恒 当外力对定点或质心的主矩为零时 系统对定点或者质心的动量矩守恒 在保守系中，机械能守恒 动量定理描述质心的运动变化 动量矩定理描述绕质心或绕定点的 运动变化 动能定理描述质心运动及相对质心 运动中动能的变化 研究机械运动与其他运动形式有能 量转化的问题 各运动量的特点
1、动量定理与动量矩定理只涉及系统的外力， 而与内力无关； 2、动量定理揭示质系质心的运动，反映系统 移动时的动力学性质； 3、动量矩定理反映系统绕某定点或某定轴转 动的动力学性质； 4、动能定理涉及系统的始末位置，不涉及约 束反力。 一、正确掌握各定理特征： 解题原则
二、根据题目的要求，联系各定理的特征，决定所 采用的方法： 1、如果给出了系统的始末位置，求v、ω、a、 α，而不涉及约束反力时，用动能定理（若 涉及反力，也可先由动能定理求出v、ω、 a、α，后用其他方法求反力）； 2、求反力或绳子内力用质心运动定理； 3、对于转动刚体可用动量矩定理或定轴转动 微分方程； 4、对平面运动刚体可用平面运动微分方程； 5、注意综合应用
例：已知 均质圆轮 m，r，R，纯滚动 求：轮心C的运动微分方程
解: 重力的功率 𝑇 = 1 2 𝑚𝑣𝐶 2 + 1 2 𝐽𝐶𝜔 2 = 3 4 𝑚𝑣𝐶 2 𝑃 = 𝑚𝑔 Ԧ ⋅ 𝑣 Ԧ = 𝑚𝑔 Ԧ ⋅ d𝑠 d𝑡 𝜏 Ԧ = 𝑚 d𝑠 d𝑡 𝑔 Ԧ ⋅ 𝜏 Ԧ = 𝑚 d𝑠 d𝑡 −𝑔sin𝜃 = −𝑚𝑔sin𝜃 d𝑠 d𝑡 本题可用功率方程求解
（θ很小） 𝑇 = 3 4 𝑚𝑣𝐶 2 𝑃 = −𝑚𝑔sin𝜃 d𝑠 d𝑡 d𝑇 d𝑡 = 𝑃 3 4 𝑚 ⋅ 2𝑣𝐶 d𝑣𝐶 d𝑡 = −𝑚𝑔sin𝜃 d𝑠 d𝑡 d𝑣𝐶 d𝑡 = d 2 𝑠 d𝑡 2 , d𝑠 d𝑡 = 𝑣𝐶 𝜃 = 𝑠 𝑅 − 𝑟 , sin𝜃 ≈ 𝜃 d 2 𝑠 d𝑡 2 + 2𝑔𝑠 3 𝑅 − 𝑟 = 0
本题也可用机械能守恒定律求解 得 （利用式 ） 由 𝑉 = 𝑚𝑔 𝑅 − 𝑟 1 − cos𝜃 以最低点为零势能位置，则 𝑇 = 3 4 𝑚𝑣𝐶 2 d d𝑡 𝑉 + 𝑇 = 0 d d𝑡 𝑉 + 𝑇 = 0 d 2 𝑠 d𝑡 2 + 2 3 𝑔sin𝜃 = 0
例:已知 l, m 求:杆由铅直倒下,刚到达地面时的角速度和地面约束力