第九章静电场中的导体和电介质 基本要求 一、掌握导体的静电平衡条件，并能利用这些条件确定导体表面 电荷的分布： 二、掌握有导体存在的电场中场强和电势的计算方法： 三、了解电介质极化的原理以及电介质对电场的影响： 四、掌握运用介质中的高斯定律求场强的方法： 五、掌握电容和电场能量的计算方法。 内容提要 一、静电场中的导体 静电平衡状态导体内部和表面都没有电荷的宏观移动。 静电平衡条件导体内部的电场强度为零，导体表面的电场 强度与表面垂直。 静电平衡的特点 1,场强特点：导体内部的电场强度为零，导体表面的电场强 度与表面垂直。 2.电势特点：导体是等势体，表面是等势面。 3.电荷分布特点：①电荷只分布在表面上：②对空腔导体， 腔内无其他带电体时，电荷只分布在外表面上；③对孤立导体， 表面各处的面电荷密度和该处表面的曲率有关。曲率大处，面电 荷密度大。 导体表面的场强与面电荷密度的关系E=· 二、静电场中的电介质 电介质（绝缘介质）电介质内没有可以自由移动的电荷，在 131
131 第九章 静电场中的导体和电介质 基 本 要 求 一、掌握导体的静电平衡条件，并能利用这些条件确定导体表面 电荷的分布； 二、掌握有导体存在的电场中场强和电势的计算方法； 三、了解电介质极化的原理以及电介质对电场的影响； 四、掌握运用介质中的高斯定律求场强的方法； 五、掌握电容和电场能量的计算方法。 内 容 提 要 一、静电场中的导体 静电平衡状态 导体内部和表面都没有电荷的宏观移动。 静电平衡条件 导体内部的电场强度为零，导体表面的电场 强度与表面垂直。 静电平衡的特点 1. 场强特点：导体内部的电场强度为零，导体表面的电场强 度与表面垂直。 2. 电势特点：导体是等势体，表面是等势面。 3. 电荷分布特点：①电荷只分布在表面上；②对空腔导体， 腔内无其他带电体时，电荷只分布在外表面上；③对孤立导体， 表面各处的面电荷密度和该处表面的曲率有关。曲率大处，面电 荷密度大。 导体表面的场强与面电荷密度的关系 0 σ E = 二、静电场中的电介质 电介质(绝缘介质) 电介质内没有可以自由移动的电荷，在
电场作用下，电介质中的电荷只能在分子范围内移动。 分子电矩P分=q分 电极化强度单位体积内分子电矩的矢量和。 ∑P分 P=g。 对各向同性电介质 电极化强度和场强的关系：P=Eox.E 电位移矢量：D=SS,E=E 这三个矢量的一般关系是：D=6。E+P 三、电位移矢量和有介质时的高斯定理 电位移线电位移线类似于电力线(E线)，在电场中也可以画 出电位移线(D线)。D线发自正自由电荷止于负自由电荷。 介电常数 真空中的介电常数6o=8.85×1012C2Nm 相对介电常数6，=1+，(G21) 绝对介电常数（介电常数）6=60E, 有介质时的高斯定理通过任意封闭曲面的电位移通量等于 该封闭面所包围的自由电荷的代数和。 D·dB=∑q 四、电容器的电容 电容器两金属极板，其间充以电介质。 电容（量）电容器带电量与其电压之比 132
132 电场作用下，电介质中的电荷只能在分子范围内移动。 分子电矩 p分 = ql分 电极化强度 单位体积内分子电矩的矢量和。 V V = → p分 P 0 lim 对各向同性电介质 电极化强度和场强的关系： P = 0 eE 电位移矢量： D = 0 rE = E 这三个矢量的一般关系是： D = 0E + P 三、电位移矢量和有介质时的高斯定理 电位移线 电位移线类似于电力线(E 线)，在电场中也可以画 出电位移线(D 线)。D 线发自正自由电荷止于负自由电荷。 介电常数 真空中的介电常数 0=8.85×10-12 C 2 /N·m2 相对介电常数 r = 1+ e ， (r 1) 绝对介电常数（介电常数） = 0 r 有介质时的高斯定理 通过任意封闭曲面的电位移通量等于 该封闭面所包围的自由电荷的代数和。 = s s d q 内 D S 四、电容器的电容 电容器 两金属极板，其间充以电介质。 电容(量) 电容器带电量与其电压之比
C=0-0e 电容器的串联等效电容=人+人+上+ C-C C:C 电容器的并联等效电容C=C+C2+C,+. 五、电场的能量 当电容器带电后，同时也储存了能量，电容器的储能公式： 电场能量密度电场单位体积中的能量。 体积V中的能量 W.=j∬DEdr 解题方法与例题分析 一、电场中有导体存在时，场强与电势的计算 1、求场强的方法：①高斯定理：②场强叠加原理。 2、求电势的方法：①用电势的定义式计算：②电势叠加原理。 例1A、B、C是三块平行金属板，面积均为200cm2,A、 B相距4.0mm,A、C相距2.0mm,B、 C两板都接地，如图9一1所示。设A 板带正电3.0×10C,不计边缘效应， 求B板和C板上的感应电荷，以及A 板的电势。 A板带正电，B、C两板接地， 且两板在A板附近，所以A板上的正电 图9一1 133
133 U A UB Q C − = 电容器的串联 等效电容 = + + + 1 2 3 1 1 1 1 C C C C 电容器的并联 等效电容 C = C1 + C2 + C3 + 五、电场的能量 当电容器带电后，同时也储存了能量，电容器的储能公式： 2 2 2 1 2 1 2 QU CU C Q We = = = 电场能量密度 电场单位体积中的能量。 2 2 1 2 1 we = DE = E 体积 V 中的能量 W DEdV V e = 2 1 解题方法与例题分析 一、电场中有导体存在时，场强与电势的计算 1、求场强的方法：①高斯定理；②场强叠加原理。 2、求电势的方法：①用电势的定义式计算；②电势叠加原理。 例 1 A、B、C 是三块平行金属板，面积均为 200cm2，A、 B 相距 4.0mm，A、C 相距 2.0mm，B、 C 两板都接地，如图 9—1 所示。设 A 板带正电 3.0×10-7C，不计边缘效应， 求 B 板和 C 板上的感应电荷，以及 A 板的电势。 A 板带正电，B、C 两板接地， 且两板在 A 板附近，所以 A 板上的正电 C A B −q2 EAC EAB 2 q 1 q 1 −q 图 9—1
荷电量为q,分布在左右两表面，设B板感应电荷为q,C板感 应电荷为-q2，则 91+92=q ① 由于AB间和AC间均可视为匀强电场 En=9 EoS Ee器 所以 ② 根据题意 U-UB=U-UC daBEAB=dacEac 得 ③ EAC 由①②③解得q=1.0×10-7C,92=2.0×10-7C B板上感应电荷为-q1=-1.0×10-C C板上感应电荷为-q2=-2.0×10-7C u,=ada产暴e 1.0×10-3×4.0×10-3 -885x10×20x10=23x10V 例2半径分别为1.0cm与2.0cm的两个球形导体，各带电 属010℃，两球心侧相距很运，若用导线将两球相连，束
134 荷电量为 q，分布在左右两表面，设 B 板感应电荷为-q1，C 板感 应电荷为-q2 ，则 q1 +q2 =q ① 由于 AB 间和 AC 间均可视为匀强电场 S q EAB 0 1 = S q EAC 0 2 = 所以 AC AB E E q q = 2 1 ② 根据题意 AB AB AC AC A B A C d E d E U U U U = − = − 得 2 1 = AC AB E E ③ 由①②③解得 q1=1.0×10-7C， q2=2.0×10-7C B 板上感应电荷为 – q1= –1.0×10-7C C 板上感应电荷为 – q2= – 2.0×10-7C U A EAB d AB = d AB S q 0 1 = 12 4 7 3 8.85 10 200 10 1.0 10 4.0 10 − − − − = 2.3 10 V 3 = 例 2 半径分别为 1.0cm 与 2.0cm 的两个球形导体，各带电 量 1.0×10-8C，两球心间相距很远，若用导线将两球相连，求：
(1)每个球所带电量： (2)每球的电势。 解两球相距很远，可视为孤立导体，互不影响，球上电荷 均匀分布。设两球半径分别为”1和2，导线连接后的带电量分别 为q1和q2,而q1+q2=2q,则两球电势分别是 4 ， 两球相连后电势相等，U1=U2,则有 4=4=9+4=29 片2片+2方+2 :24哑=6.67×10C 4=r+n g5=24=133x10C 片+3 两球电势U,=U2=9=6.0×103V 4匹o 例3两块无限大均匀带电导体平板 相互平行放置，设四个表面的电荷面密度 分别为o1、62、03、04,如图9一2所 示。求证当静电平衡时，O2=-03 1=04 证明垂直于板作柱状高斯面，如图 所示，因为导体内场强为零，两板间场强 图9 垂直于板平面，所以有 fE.ds=(2+o3)-S/6o=0 所以 02=-03 又左边导体板内场强E=(G1-02-0,-o)/2,=0 135
135 （1）每个球所带电量； （2）每球的电势。 解 两球相距很远，可视为孤立导体，互不影响，球上电荷 均匀分布。设两球半径分别为 r1和 r2，导线连接后的带电量分别 为 q1和 q2，而 q1+q2= 2q，则两球电势分别是 0 1 1 1 4 r q U = ， 0 2 2 2 4 r q U = 两球相连后电势相等，U1=U2，则有 1 2 1 2 2 2 1 1 r r q q r q r q + + = = 1 2 2 r r q + = 即 1 2 1 1 2 r r qr q + = 6 67 10 C −9 = . 13.33 10 C 2 9 1 2 2 2 − = + = r r qr q 两球电势 0 1 1 1 2 4 r q U U = = 6 0 10 V 3 = . 例 3 两块无限大均匀带电导体平板 相互平行放置，设四个表面的电荷面密度 分别为 1、 2 、 3 、 4 ，如图 9—2 所 示。求证当静 电平衡时， 2 = − 3 、 1 = 4 。 证明 垂直于板作柱状高斯面，如图 所示，因为导体内场强为零，两板间场强 垂直于板平面，所以有 ( ) = + = S E dS 2 3 S1 0 0 所以 2 = − 3 又左边导体板内场强 E = ( 1 − 2 − 3 − 4 )/ 2 0 = 0 图 9—2 1 2 3 4 1 S 2 S 3 S
考虑到G2+03=0 于是有01=04 例4半径为R的导体球，被一与其同心的导体球壳包围着， 其内外半径分别为2、，使内球带电q,球壳带电Q,试求： (1)电势分布的表示式： (2)用导线连接球和球壳后的电势分布： (3)外壳接地后的电势分布。 解(1)根据静电平衡条件，导体内场强为零。可知球壳内 表面感应电荷为-q,且均匀分布：导体球所带电量q均匀分布在 导体球表面。由电荷守恒得导体球壳外表面均匀分布电量(Q+q), 所以静电平衡后空间电势分布可视为三个均匀带电球面的电势叠 加。均匀带电球面电势为 U= -r2R) 40 图9一3 所以 Rr≤风，心8是+9劉 R≤r≤R,U3= 9+Q 4TE0R3 4mor 136
136 考虑到 2 + 3 = 0 于是有 1 = 4 例4 半径为R1的导体球，被一与其同心的导体球壳包围着， 其内外半径分别为 R2、R3，使内球带电 q，球壳带电 Q，试求： （1）电势分布的表示式； （2）用导线连接球和球壳后的电势分布； （3）外壳接地后的电势分布。 解 （1）根据静电平衡条件，导体内场强为零。可知球壳内 表面感应电荷为–q，且均匀分布；导体球所带电量 q 均匀分布在 导体球表面。由电荷守恒得导体球壳外表面均匀分布电量(Q+q)， 所以静电平衡后空间电势分布可视为三个均匀带电球面的电势叠 加。均匀带电球面电势为 = ( ) 4 ( ) 4 0 0 r R r q r R R q U 所以 R1 r ， + = − + 0 1 2 3 1 4 1 R q Q R q R q U 1 R2 R r ， + = − + 0 2 3 2 4 1 R q Q R q r q U 2 R3 R r ， 0 3 3 4 R q Q U + = R3 r ， r q Q U 0 4 4 + = 图 9—3 R1 R2 R3 q Q
(2)导体连接后，导体球带电量q与球壳内表面感应电荷-q 中和，导体壳与导体球等势，电荷分布在导体壳外表面，电量为 9+Q,所以 r≤R3, U'=0'=U,'=9+9 4E。R3 r≥R3, 0=9+g 4mor (3)外壳接地后，外表面电荷g+Q被中和，则为两均匀带 电球面电势叠加 r≤R, 0,"=,19-g〉 4o R R2) R≤r≤R,U2"= 19-4 4匹FR r2R2, U3"=U4"=0 例5已知导体球半径为R,带电量为q。一导体球壳与球 同心，内外半径分别为R2和R,带电量为Q, 如图9一4所示。求： (1)场强的分布： (2)球和球壳的电势和以及它们 的电势差 (3)若球壳接地，1和2以及电势差： (4)用导线连接球与球壳后V1和V2的 图9一4 值。 解(1)先确定电荷的分布：因内球表面带电量为9，则球 壳内表面的感应电荷为-9：又因球壳所带的电量为Q,根据电荷 守恒定律，球壳外表面的带电量一定为q+Q。下面用两种方法求 此带电系统的场强分布。 137
137 （2）导体连接后，导体球带电量 q 与球壳内表面感应电荷–q 中和，导体壳与导体球等势，电荷分布在导体壳外表面，电量为 q + Q ，所以 R3 r ， 0 3 1 2 3 4 ' ' ' R q Q U U U + = = = R3 r ， r q Q U 0 4 4 ' + = （3）外壳接地后，外表面电荷 q+Q 被中和，则为两均匀带 电球面电势叠加 R1 r ， = − 0 1 2 1 4 1 '' R q R q r U 1 R2 R r ， = − 0 2 2 4 1 '' R q r q r U R2 r ， U3 '' = U4 '' = 0 例 5 已知导体球半径为 R1，带电量为 q。一导体球壳与球 同心，内外半径分别为 R2 和 R3，带电量为 Q， 如图 9—4 所示。求： （1）场强的分布； （2）球和球壳的电势 V1 和 V2 以及它们 的电势差； （3）若球壳接地，V1 和 V2 以及电势差； （4）用导线连接球与球壳后 V1 和 V2 的 值。 解 （1）先确定电荷的分布：因内球表面带电量为 q，则球 壳内表面的感应电荷为-q；又因球壳所带的电量为 Q，根据电荷 守恒定律，球壳外表面的带电量一定为 q+Q。下面用两种方法求 此带电系统的场强分布。 图 9—4 R1 R2 R3 q Q
方法一：用高斯定理求解。因电荷分布具有球对称性，可用 高斯定理求场强。取以半径为”的同心球面为高斯面。 当rR3时： fE.ds-9+0E-92 60 即E=9+ 4E。户。 方法二：利用场强叠加原理求E分布。 空间任意一点的场强都可以看为三个带电量分别为q、-g 和q+Q的带电球面在该点产生的场强的矢量和。设三个带电球面 产生的场强大小分别为E1、E,和E,利用均匀带电球面的场强公 式可得 0 rR 0 rR 10 rR3 根据场强的叠加原理，空间任意一点的总场强 138
138 方法一：用高斯定理求解。因电荷分布具有球对称性，可用 高斯定理求场强。取以半径为 r 的同心球面为高斯面。 当 rR3 时： + = S q Q d 0 E S ，∴ 0 2 4 q Q r E + = ， 即 2 4 0 r q Q E + = 。 方法二：利用场强叠加原理求 E 分布。 空间任意一点的场强都可以看为三个带电量分别为 q、- q 和 q+Q 的带电球面在该点产生的场强的矢量和。设三个带电球面 产生的场强大小分别为 E1、E2 和 E3，利用均匀带电球面的场强公 式可得 = 2 1 0 1 1 4 0 r R r q r R E = 2 2 0 2 2 4 0 r R r q r R E + = 2 3 0 3 3 4 0 r R r q Q r R E 根据场强的叠加原理，空间任意一点的总场强
E=E+E2+E3 所以，场强大小分布为 0 rR (2)求球体和球壳的电势及它们的电势差。 方法一：用电势定义式y。=∫Edl计算。 球的电势： -a=++兽 品安9 球壳的电势： e-器=晨 4oR3 球与球壳的电势差： -长是只启 方法二：用电势叠加原理计算。 空间任一点的电势都可以看作这三个带电球面在该点所产生 的电势的代数和。利用均匀带电球面产生电势的公式 139
139 E = E1 + E2 + E3 所以，场强大小分布为 + = 2 3 0 2 3 2 1 2 0 1 4 0 4 0 r R r q Q R r R R r R r q r R E （2）求球体和球壳的电势及它们的电势差。 方法一：用电势定义式 = p Vp E dl 计算。 球的电势： 0 1 2 0 3 2 0 2 0 1 4 ) 1 1 ( 4 4 0 4 3 3 2 2 1 1 R q Q R R q dr r q Q dr dr r q V d R R R R R R + = − + + = = + + E l 球壳的电势： 0 3 2 0 2 3 3 4 4 R q Q dr r q Q V d R R + = + = = E l 球与球壳的电势差： ) 1 1 ( 4 0 1 2 1 2 R R q U =V −V = − 方法二：用电势叠加原理计算。 空间任一点的电势都可以看作这三个带电球面在该点所产生 的电势的代数和。利用均匀带电球面产生电势的公式
r≤R 4。R V= 9 r>R 同样可以得到4运。R及 9 ,11 ·U=K-业=4匹。RR (3)若导体球接地，球壳外表面电荷中和。用高斯定理可求 得场强分布 0 rR R 911 U=K-6=4,元尼} (4)用导线联结球与球壳时，球与球壳内表面电荷中和，导 体球壳外表面带电量为q+Q。这时场强的分布为 0 rR 4or 因球和球壳相联，所以它们的电势相等，即 防=-是-最 4E。R3 140
140 = r R r q r R R q V 0 0 4 4 同样可以得到 0 1 2 0 3 1 4 ) 1 1 ( 4 R q Q R R q V + = − + ， 0 3 2 4 R q Q V + = ， ∴ ) 1 1 ( 4 0 1 2 1 2 R R q U =V −V = − （3）若导体球接地，球壳外表面电荷中和。用高斯定理可求 得场强分布 = 2 2 1 2 0 1 0 4 0 r R R r R r q r R E 所以得 ) 1 1 ( 4 0 4 0 1 2 2 0 1 3 2 2 1 R R q dr dr r q V R R R R = + = − ，V2 = 0 ， ∴ ) 1 1 ( 4 0 1 2 1 2 R R q U =V −V = − （4）用导线联结球与球壳时，球与球壳内表面电荷中和，导 体球壳外表面带电量为 q+Q。这时场强的分布为 + = 2 3 0 3 4 0 r R r q Q r R E 因球和球壳相联，所以它们的电势相等，即 0 3 2 0 1 2 3 4 4 R q Q dr r q Q V V R + = + = =