第十一章电磁感应和电磁场 基本要求 一、掌握楞次定律和法拉第电磁感应定律，并能熟练应用： 二、掌握动生电动势和感应电动势的产生原因和计算方法： 三、了解涡旋电场的性质和涡电流： 四、掌握自感、互感现象及其规律，并能计算自感、互感系数： 五、掌握磁场能量的概念和计算磁场能量的方法。 六、正确理解麦克斯韦提出的两个基本假设和位移电流的概念： 七、掌握麦克斯韦方程组的积分形式： 八、了解电磁波的基本性质。 内容提要 一、电源的电动势 在电源内部，把单位正电荷由负极移至正极时，非静电力所 做的功 e=∫E·dl E.为作用于单位正电荷上的非静电力，电动势的方向为电源内部 电势升高的方向。 二、法拉第电磁感应定律 对一匝线圈，感应电动势为 di 式中的负号反映了感应电动势的方向。 感应电动势方向的判断方法：1.选定回路L的正方向：2.磁 171
171 第十一章 电磁感应和电磁场 基本要求 一、掌握楞次定律和法拉第电磁感应定律，并能熟练应用； 二、掌握动生电动势和感应电动势的产生原因和计算方法； 三、了解涡旋电场的性质和涡电流； 四、掌握自感、互感现象及其规律，并能计算自感、互感系数； 五、掌握磁场能量的概念和计算磁场能量的方法。 六、正确理解麦克斯韦提出的两个基本假设和位移电流的概念； 七、掌握麦克斯韦方程组的积分形式； 八、了解电磁波的基本性质。 内容提要 一、电源的电动势 在电源内部，把单位正电荷由负极移至正极时，非静电力所 做的功 ε E dl k = + − Ek为作用于单位正电荷上的非静电力，电动势的方向为电源内部 电势升高的方向。 二、法拉第电磁感应定律 对一匝线圈，感应电动势为 dt d ε = − 式中的负号反映了感应电动势的方向。 感应电动势方向的判断方法：1. 选定回路 L 的正方向；2. 磁
力线的方向与回路L的正方向成右手螺旋关系时，为正，反之 为负：3.若d0>0,则ε0，表明ε的方向与L的正方向相同。感应电动势的 方向也可以用楞次定律判断。 磁链（全磁通）对N匝线圈，山=∑·，称为磁链（全磁通）。 &s、dw dt 当每一匝线圈的磁通都是中时，W=N中 6=-wd№ 脑电流1片只贵 感应电流的方向始终与感应电动势的方向一致。 三、动生电动势和感生电动势 动生电动势：导线相对磁场运动引起。 感应电动势 感生电动势：磁场变化引起。 1.动生电动势 动生电动势产生的机理一一洛仑兹力。动生电动势的计算方 法： 动=f(v×B)·dl 2.感生电动势和感应电场 麦克斯韦在1861年提出“变化的磁场会产生感应电场”。他 提出的感应电场的电力线是闭合的，是一种非静电场。正是这种 非静电场产生了感生电动势。这种非静电场称为感应电场，或称 为涡旋电场。 172
172 力线的方向与回路 L 的正方向成右手螺旋关系时， 为正，反之 为负；3. 若 d >0, 则 0，表明 的方向与 L 的正方向相同。感应电动势的 方向也可以用楞次定律判断。 磁链（全磁通） 对 N 匝线圈， = i i 称为磁链（全磁通）。 dt dψ = − 当每一匝线圈的磁通都是 时， = N dt d N = − 感应电流 dt dψ R R I . 1 = = − 感应电流的方向始终与感应电动势的方向一致。 三、动生电动势和感生电动势 感生电动势 磁场变化引起。 动生电动势 导线相对磁场运动引起。 感应电动势 : : 1.动生电动势 动生电动势产生的机理——洛仑兹力。动生电动势的计算方 法： v B dl L = 动 ( ) 2.感生电动势和感应电场 麦克斯韦在 1861 年提出“变化的磁场会产生感应电场”。他 提出的感应电场的电力线是闭合的，是一种非静电场。正是这种 非静电场产生了感生电动势。这种非静电场称为感应电场，或称 为涡旋电场
s=fe。dl=-JBs a 四、自感和互感 1.自感 自感现象：一个线圈的电流发生变化时，通过线圈自身的全 磁通也会发生变化，线圈内会产生感应电动势的现象。 自感电动势： _y=-L 6=- rd山 自感系数（自感）：L= 1 2.互感 互感现象：由于一个线圈的电流发生变化时，引起另一个线 圈的磁通发生变化，该线圈内产生感应电动势的现象。 互感电动势： 6 a=-dyMl dt dt 互感系数（互感）： M-N.oa_N.the 五、磁场能量密度 单位体积的磁场能量。 wm=221 任意磁场的能量计算公式为成=小，-分” 对一个长直螺线管 24 173
173 S B E l d t d L S = = − 感 感 四、自感和互感 1.自感 自感现象：一个线圈的电流发生变化时，通过线圈自身的全 磁通也会发生变化，线圈内会产生感应电动势的现象。 自感电动势： dt dI L dt dψ L = − = − 自感系数（自感）： I N L = 2.互感 互感现象：由于一个线圈的电流发生变化时，引起另一个线 圈的磁通发生变化，该线圈内产生感应电动势的现象。 互感电动势： dt dI M dt dψ ε 1 12 = − = − 互感系数（互感）： 1 2 12 2 1 21 I N I N M = = 五、磁场能量密度 单位体积的磁场能量。 BH B wm 2 1 2 2 = = 任意磁场的能量计算公式为 = = dV B Wm wm dV 2 2 对一个长直螺线管 V B W LI n VI m 2 2 1 2 1 2 2 2 2 = = =
六、位移电流 麦克斯韦提出的另一个假设是“位移电流”假设，即“变化 的电场能产生磁场”。 位移电流的公式。么=警 其中。=「D,心为电位移矢量通量。 全电流及修正后的安培环路定理 fuas 其中D称为位移电流密度。 七、麦克斯韦方程组 fD-ds=∑9呐=∫pdW fEdl=-d-「Bds 积分形式 B.ds=0 h=e+e=ju+-西 (V.D=P ×E=-B 微分形式 7.B=0 VxB=J+0D 174
174 六、位移电流 麦克斯韦提出的另一个假设是“位移电流”假设，即“变化 的电场能产生磁场”。 位移电流的公式： dt d I D 位 = 其中 = s D D dS 为电位移矢量通量。 全电流及修正后的安培环路定理 = + L S d t d S D H l (J ) 其中 t D 称为位移电流密度。 七、麦克斯韦方程组 积分形式 = + = + = = − = − = = S D H l J B S S B E l D S d t d I I d d dt t d d d q dV L S S L S S V ( ) 0 0 传 位 内 微分形式 = + = = − = t t D B J B B E D 0
解题方法与例题分析 一、感应电动势的计算 计算动生电动势的方法有两种： 1.用动生电动势的定义ε=「(v×B)dl计算。其步骤如下： ①先规定积分回路的正方向，把导线分为无限多个线元dl,线元 dl的方向与积分路径的方向一致：②把线元dl所在处的磁感应强 度B及dl的运动速度v代入公式&=(v×B)d,统一变量，确 定积分线，然后进行计算：③确定电动势的方向。若计算结果 ￡>0，则动生电动势的方向与积分路径的方向一致：若计算结果 ε<0，则动生电动势的方向与积分路径的方向相反。 2用法拉第电磁感应定律：=-心计算：采用这种方法计算 dt 时，运动的导线有闭合和不闭合（一段导线）两种可能。当运动 的导线闭合时，先用6一-化求出感应电动势的大小，再用楞 次定律判断出感应电动势的方向。当运动的导线不闭合时，或者 说，求一段导线的动生电动势的问题时，必须设法先构成一个闭 合回路，这个闭合回路必须包含这段需求电动势的导线，而添上 去的辅助导线为不动的，从而使闭合回路中的电动势就等于所求 导线的电动势，这样就可以用=-他求动生电动势了。 计算感生电动势的方法也有两种： 1.用感生电动势的定义ε=「E,·dl计算。只有当空间的感生 电场容易计算时，才可以用此方法计算。例如，一个无限长圆柱 空间的均匀磁场随时间变化时的感生电动势可以用该方法求出。 175
175 解题方法与例题分析 一、感应电动势的计算 计算动生电动势的方法有两种： 1. 用动生电动势的定义 v B dl L = ( ) 计算。其步骤如下： ①先规定积分回路的正方向，把导线分为无限多个线元 dl ，线元 dl 的方向与积分路径的方向一致；②把线元 dl 所在处的磁感应强 度 B 及 dl 的运动速度 v 代入公式 v B dl L = ( ) ，统一变量，确 定积分线，然后进行计算；③确定电动势的方向。若计算结果 0 ，则动生电动势的方向与积分路径的方向一致；若计算结果 0 ，则动生电动势的方向与积分路径的方向相反。 2. 用法拉第电磁感应定律 dt dΦ = − 计算：采用这种方法计算 时，运动的导线有闭合和不闭合（一段导线）两种可能。当运动 的导线闭合时，先用 dt dΦ = − 求出感应电动势的大小，再用楞 次定律判断出感应电动势的方向。当运动的导线不闭合时，或者 说，求一段导线的动生电动势的问题时，必须设法先构成一个闭 合回路，这个闭合回路必须包含这段需求电动势的导线，而添上 去的辅助导线为不动的，从而使闭合回路中的电动势就等于所求 导线的电动势，这样就可以用 dt dΦ = − 求动生电动势了。 计算感生电动势的方法也有两种： 1. 用感生电动势的定义 E dl L i = 计算。只有当空间的感生 电场容易计算时，才可以用此方法计算。例如，一个无限长圆柱 空间的均匀磁场随时间变化时的感生电动势可以用该方法求出
2用法拉第电骏感应定律6一曾计算· 例1如图11一1所示，无限长直 D 导线载有【的电流旁边有一矩形线圈 ABCD. (1)若线圈以速度v向右运动， 求线圈中的感应电动势。 (2)若线圈ABCD动长直导线中 A 的电流按I=I。sinot的规律变化，求线 图11一1 圈中的感应电动势。 解(1)解法一：矩形线框在运动过程中，四段导线都在运 动，但只有AD、BC切割磁力线，则： 5=Go-6oc Bdliy-Bliy=4o (y 2πaa+l2 解法二：选ABCD为回路正方向，则面正法线方向垂直纸面 向里，B方向为垂直纸面向里。 d地=B.ds=ol,dh 即 D=∫d0="21d=44ha+h+u 2π a+vt =e￥nr 1 E>0,说明沿ABCD方向。 (2)设ABCD为回路正方向，则： 8-小g装h 2π 176
176 2. 用法拉第电磁感应定律 dt dΦ = − 计算。 例 1 如图 11—1 所示，无限长直 导线载有 I 的电流旁边有一矩形线圈 ABCD。 （1）若线圈以速度 v 向右运动， 求线圈中的感应电动势。 （2）若线圈 ABCD 动长直导线中 的电流按 I I sint = 0 的规律变化，求线 圈中的感应电动势。 解 （1）解法一：矩形线框在运动过程中，四段导线都在运 动，但只有 AD、BC 切割磁力线，则： l v a a l I B l v B l v DA BC 1 2 0 1 1 2 1 ) 1 1 ( 2 + = − = − = − 解法二：选 ABCD 为回路正方向，则面正法线方向垂直纸面 向里， B 方向为垂直纸面向里。 l dr r I dΦ d 1 0 2 = B S = 即 a v t Il a l v t l dr r I Φ dΦ a l v t a v t + + + = = = + + + 0 1 2 1 0 ln 2 2 2 ∴ l v a vt a l vt I dt dΦ 1 2 0 ) 1 1 ( 2 + + − + = − = 取 t=0 l v a a l I 1 2 0 ) 1 1 ( 2 + = − 0 ，说明沿 ABCD 方向。 （2）设 ABCD 为回路正方向，则： a Il a l dr r Il Φ d a l a 0 1 0 1 2 ln 2 2 2 + = = = + B S A D B C 1 l 2 l a I 图 11—1 v
g曾尝h出兴nca 2元 上式中，ε<0说明感应电动势方向与所选定方向相反，为逆时针 方向，反之亦然。 例2如图11一2所示，在纸面所在 B⑧ 的平面内有一载有电流I的无限长直导 线，其旁另有一边长为1的等边三角形 线圈ACD,该线圈的AC边与长直导线 距离最近且相互平行。今使线圈ACD 在纸面内以匀速v远离长直导线运动， 且v与长直导线相垂直。求当线圈AC 边与长直导线相距为a时，线圈ACD 图11-2 内的动生电动势。 解设线圈回路以A→C→D→A的绕向为动生电动势ε的正 向，与直导线平行的AC边产生的动生电动势 s vlB=vluoI/(2na) 其他两边产生的动生电动势大小相等且绕向相同。如图所示，在 CD边上选一线元dl,则其上的动生电动势 de2=(v×B)dl=-vBcos60°dl =-vcos60°_，1dl 2π(a+x) dlcos30°=d ∴d62=-4lcos60°k 2πcos30°a+x c=V31/2 177
177 I t a l a l dt dI a l a l dt dΦ ln cos 2 ln 2 0 0 1 2 0 1 2 + = − + = − = − 上式中， 0 说明感应电动势方向与所选定方向相反，为逆时针 方向，反之亦然。 例 2 如图 11—2 所示，在纸面所在 的平面内有一载有电流 I 的无限长直导 线，其旁另有一边长为 l 的等边三角形 线圈 ACD，该线圈的 AC 边与长直导线 距离最近且相互平行。今使线圈 ACD 在纸面内以匀速 v 远离长直导线运动， 且 v 与长直导线相垂直。求当线圈 AC 边与长直导线相距为 a 时，线圈 ACD 内的动生电动势。 解 设线圈回路以 A→C→D→A 的绕向为动生电动势 的正 向，与直导线平行的 AC 边产生的动生电动势 /(2 ) 1 = vlB = vl 0 I a 其他两边产生的动生电动势大小相等且绕向相同。如图所示，在 CD 边上选一线元 dl，则其上的动生电动势 d = (v B) dl 2 vB dl = − cos60 2 ( ) cos60 0 a x Idl v + = − dl = dx cos30 a x v I dx d + = − cos30 cos60 2 0 2 c = 3l / 2 C D A I a v B dl dx x o 图 11—2
,=-4l.2-54,na+c 2π3/2ba+x1 2π 8=6,+26,="-2y5n0+91 27 a 3 例3如图11一3所示，长直导线和矩形线圈共面，AB边与 导线平行，且a=1cm,b=8cm,1=30cm。若导线中的电流i在 1s内均匀地从10A降到零，则线圈ABCD中的感应电动势的大 小和方向如何？ 解(1)距i为x处取一宽为dx 的窄条，其面积为dS=ldx,dS上的磁 感应强度 B=4i/(2a) do=BdS=oil 28 图11一3 =兴=是名 2π a sd04o2m0=1.25×10-5V 2π a'dt 的方向为A→B→C→D→A 例4在半径为R的圆柱形空间充 满磁感应强度为B的均匀磁场。B的方 向垂直纸面向外，磁感应强度随时间增 加的速率B为已知求涡旋电场(>R) 的大小和方向。 解选以半径为r的圆周为闭合回 图11一4 路，逆时针方向为正，则圆面的法线方 向垂直纸面向外。 17
178 + = − c a x v I dx 0 0 2 3 / 2 1/ 2 2 a Iv a + c = − ln 2 3 0 1 2 = + 2 ln ] 3 2 3 [ 2 0 a a c a Iv l + = − 例 3 如图 11—3 所示，长直导线和矩形线圈共面，AB 边与 导线平行，且 a=1cm，b=8cm，l=30cm。若导线中的电流 i 在 1s 内均匀地从 10A 降到零，则线圈 ABCD 中的感应电动势的大 小和方向如何? 解 （1）距 i 为 x 处取一宽为 dx 的窄条，其面积为 dS=ldx , dS 上的磁 感应强度 /(2 ) 0 B = i x d = BdS x il 2 0 = dx x b il a = 2 0 a il b ln 2 0 = dt d = − dt di a l b (ln ) 2 0 = − 1.25 10 V −5 = 的方向为A→B →C →D→ A 例 4 在半径为 R 的圆柱形空间充 满磁感应强度为 B 的均匀磁场。 B 的方 向垂直纸面向外，磁感应强度随时间增 加的速率 dt dB 为已知。求涡旋电场（r>R） 的大小和方向。 解 选以半径为 r 的圆周为闭合回 路，逆时针方向为正，则圆面的法线方 向垂直纸面向外。 R E涡 r 图 11—4 4—7 A D B C l b a i dx 图 11—3
由 fE%d山=-d 知 E涡2m=- d(BScos）=R2d dt dt R2 dB E锅三 2r dt ·E多>0，说明与所选定方向相同，为龙 例5如图11一5所示，有一半径为r=10cm的多匝圆形线 圈，匝数N=100,置于均匀磁场B中(B=0.5T)。圆形线圈可 绕通过圆心的轴o1o2转动，转速n=600rad/min。求圆线圈自 图示的初始位置转过2时， (1)线圈中的瞬时电流值 ××× (线圈的电阻R为100W,不 计自感)： (2)圆心处的磁感应强度。 解(1)设线圈转至任意位 十 置时圆线圈的法向与磁场之间 的夹角为0，则通过该圆线圈平 图11一5 面的磁通量为 中n=Bm2c0s0, 0=ot =2mt .中n=Bm2c0s2mt 在任意时该线圈中的感应电动势为 s=-N=NBr'2r'nsin 2mt =2x'NBr'nsin 2mt d NBr'n sn2msin R R T 179
179 由 = − dt d d E涡 l 知 dt dB R dt d BS E r 2 ( cos ) 2 涡 = − = ∴ dt dB r R E 2 2 涡 = ∵ 0 dt dB ∴ E涡 0 ，说明与所选定方向相同，为逆时针方向。 例 5 如图 11—5 所示，有一半径为 r =10 cm 的多匝圆形线 圈，匝数 N=100，置于均匀磁场 B 中（B = 0.5T）。圆形线圈可 绕通过圆心的轴 o1 o2转动，转速 n =600 rad/min。求圆线圈自 图示的初始位置转过 π/2 时， （1）线圈中的瞬时电流值 （线圈的电阻 R 为 100 W，不 计自感）； （2）圆心处的磁感应强度。 解 （1）设线圈转至任意位 置时圆线圈的法向与磁场之间 的夹角为 θ，则通过该圆线圈平 面的磁通量为 cos 2 B r m = ， =t = 2nt B r nt m cos2 2 = 在任意时该线圈中的感应电动势为 NBr n nt dt d N m 2 sin 2 2 2 = − = 2 NBr nsin 2nt 2 2 = R i = nt R NBr n sin 2 2 2 2 = t T I m 2 = sin 1 o 2 o r B 图 11—5
当线圈转过/2时，t=T14,则i=1m=2π2r2NBn/R=0.99A (2)由圆线圈中电流Im在圆心处激发的磁场为 B=4N1m/2r=0.62×10-3T 方向竖直向下，故此时圆心处的实际磁感应强度的大小 B。=(B2+B2）≈0.5T 方向与磁场B的方向基本相同。 例6如图11一6(a)所示，长直导线AB中的电流I沿导 线向上，并以dI/dt=2AWs的速度均匀增长。在导线附近有一个 与之同面的直角三角形线框，其一边与导线平行。求此线框中产 生的感应电动势的大小和方向。 g 10cm b=10cm (a) (b) 图11—6 解建立坐标如图11一6(b)所示，则三角形线框斜边方程 为 y=-2x+0.2 在三角形线框所围平面上的磁通量为 =流岁川腊 =b+0150lnb+0.05=259x10ISD π 0.05 180
180 当线圈转过 π/2 时，t =T /4 ，则 i Im r NBn R 2 2 = = 2 = 0.99A （2）由圆线圈中电流 I m在圆心处激发的磁场为 B N I r ' = 0 m 2 0.62 10 T −3 = 方向竖直向下，故此时圆心处的实际磁感应强度的大小 ( ) 1 2 2 2 0 B = B + B' 0.5T 方向与磁场 B 的方向基本相同。 例 6 如图 11—6（a）所示，长直导线 AB 中的电流 I 沿导 线向上，并以 dI/dt=2 A/s 的速度均匀增长。在导线附近有一个 与之同面的直角三角形线框，其一边与导线平行。求此线框中产 生的感应电动势的大小和方向。 解 建立坐标如图 11—6（b）所示，则三角形线框斜边方程 为 y = −2x + 0.2 在三角形线框所围平面上的磁通量为 + = b m π x . ) μ Iydx 0 0 2 ( 0 05 dx x . x . π μ I b + − + = 0 0 0 05 2 0 2 2 0 05 0 05 ln 0 015 0 . b . π . μ I π μ Ib + = − + 2.59 10 I(SI) −8 = A B 20cm 5cm 10cm I （a） b =10cm I x y o dx x （b） 图 11—6