第七章二阶电路 、教学基本要求 1、了解二阶电路零状态响应、零输入响应、全响应的物理意义和概念。 2、会分析简单的二阶电路。 二、教学重点与难点 1.教学重点:(1).二阶电路的方程和特征根 (2).二阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应的概念 3).二阶电路过渡过程的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼的概 念及分析 (4).二阶电路的阶跃响应。 2.教学难点:1.应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建立动态电路 方程; 2.二阶电路的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼放电过程分析方 法和基本物理概念。 、本章与其它章节的联系: 本章讨论的仍是线性电路,因此前面讨论的线性电路的分析方法和定理全部 可以用于本章的分析中。第9章讨论的线性电路的正弦稳态响应就是动态电路 在正弦激励下的稳态分量的求解。 四、学时安排 总学时:2 教学内容 学时 二阶电路的零输入响应、二阶电路的零状态响应 五、教学内容
第七章 二阶电路 一、教学基本要求 1、了解二阶电路零状态响应、零输入响应、全响应的物理意义和概念 。 2、会分析简单的二阶电路。 二、教学重点与难点 1. 教学重点： (1).二阶电路的方程和特征根 (2). 二阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应的概念 (3). 二阶电路过渡过程的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼的概 念及分析 (4). 二阶电路的阶跃响应。 2．教学难点：1.应用基尔霍夫定律和电感、电容的元件特性建立动态电路 方程； 2. 二阶电路的过阻尼、欠阻尼及临界阻尼放电过程分析方 法和基本物理概念。 三、本章与其它章节的联系： 本章讨论的仍是线性电路，因此前面讨论的线性电路的分析方法和定理全部 可以用于本章的分析中。第 9 章讨论的线性电路的正弦稳态响应就是动态电路 在正弦激励下的稳态分量的求解。 四、学时安排 总学时：2 教 学 内 容 学 时 二阶电路的零输入响应、二阶电路的零状态响应 2 五、教学内容
§7.1二阶电路的零输入响应 二阶电路是指用二阶微分方程来描述的电路。下面主要通过分析C串联电 路来说明求二阶电路响应的方法。 1.方程和初始条件 R C 图7.1 图7.1所示的RLC串联电路在t=0时刻闭合开关,设电容原本充有电压l, 此电路的放电过程是二阶电路的零输入响应问题。电路的KⅥL方程及元件的VR 为 Ri+uIuc=0 若以电容电压为变量,从以上方程中消去其他变量得二阶齐次微分方程 0 dt 初始条件为:uC(0+)=U0,i(0+)=0,或 di 3= 若以电感电流为变量,则方程为:at 初始条件为:i(0+)=0, )=20)=a=乙 根据 得: 2.二阶微分方程的解及其物理意义 duc+Rc-c+ 以电容电压为变量,电路方程为 从中得特征方程:LCP2+RCP+1=0
§7.1 二阶电路的零输入响应 二阶电路是指用二阶微分方程来描述的电路。下面主要通过分析 RLC 串联电 路来说明求二阶电路响应的方法。 1.方程和初始条件 图 7.1 图 7.1 所示的 RLC 串联电路在 t=0 时刻闭合开关，设电容原本充有电压 U0， 此电路的放电过程是二阶电路的零输入响应问题。电路的 KVL 方程及元件的 VCR 为： 若以电容电压为变量，从以上方程中消去其他变量得二阶齐次微分方程： 初始条件为： u C (0+)= U 0 ， i (0+)=0 ，或 若以电感电流为变量，则方程为： 初始条件为： i (0+)=0 ， 根据 得： 2．二阶微分方程的解及其物理意义 以电容电压为变量，电路方程为： 从中得特征方程：
P=~R±训R2-4LCpx R 特征根为 2L 上式表明特征根仅与电路参数和结构有关,而与激励和初始储能无关。当R、 L、C的参数不同,特征根为不同的形式。下面分三种情况讨论 R>2 (1)当 时,特征根为两个不相等的负实根,电路处于过阻尼状 此时方程的解为:4=4q27+492 由初始条件:40)=sS=0 dt ko'y 22-B1 A1+A2=U0 得:(24+242=0 P-P ( Pes 因此电容电压为 P-P (e 电流为: dt I(P-P) u,=l n}2 (e-e2) 电感电压为 (2-B) 图7.2给出了电容电压、电流和电感电压随时间变化的波形,从中可以看出 电容电压和电流始终不改变方向,且最终衰减至零,说明电容始终在释放能量, 称过阻尼放电。能量的转换过程如图7.3所示。 图7.2表明拦=ta时,i取得最大值,t=2tm时,a为极小值。通过对电流 求导,可计算时间t。即 图
特征根为： 上式表明特征根仅与电路参数和结构有关，而与激励和初始储能无关。当 R、 L、C 的参数不同，特征根为不同的形式。下面分三种情况讨论。 （1）当 时，特征根为两个不相等的负实根，电路处于过阻尼状 态。 此时方程的解为： 由初始条件： ， 得： 即： 因此电容电压为： 电流为： 电感电压为： 图 7.2 给出了电容电压、电流和电感电压随时间变化的波形，从中可以看出， 电容电压和电流始终不改变方向，且最终衰减至零，说明电容始终在释放能量， 称过阻尼放电。能量的转换过程如图 7.3 所示。 图 7.2 表明 t=tm时，iC取得最大值，t=2tm 时，uL为极小值。通过对电流 求导，可计算时间 tm。即： 图 7.2
p e (1 1-2 R 图7.3 (2).R4C时,特征根为两个共轭复根,电路处于振荡放电状态 令 6=2%=y2co=a2-8x 则特征根为: P=-8±a 电容电压的t的通解形式为 u=Aen'+AePt=e(AeA+Ae-ja 经常把上式写成三角函数形式:4= Ae sin(ax+B 故把ω称为振荡频率。 通解中待定常数A,b根据初始条件确定,即: l(0)=C→ Asin B=Uo (0=0>A0sin B+A@cosB=0 A 月= actg 联立求解以上方程得: 由于a、ω0、δ、b满足图7.4所示的三角关系
→ → 图 7.3 （2） 当 时，特征根为两个共轭复根，电路处于 振荡放电状态。 令： 则特征根为： 电容电压的 uC 的通解形式为： 经常把上式写成三角函数形式： 故把 ω 称为振荡频率。 通解中 待定常数 A ， b 根据初始条件确定，即： 联立求解以上方程得： 由于 ω、ω０、δ、b 满足图 7.4 所示的三角关系:
A 所以 ve - 5t sin du (at+ 则 02p2 图7.5 图7.5给出了电容电压和电流随时间变化的波形,从中可以看出,波形呈 衰减振荡的状态,在整个过渡过程中电容电压和电流周期性的改变方向,表明储 能元件在周期性的交换能量,处于振荡放电。在半个周期里能量的转换过程如图 7.6所示 0<ot<阝 0t<丌 Bx阝<o< R 图7.6 若BC振荡回路中的电阻R=0,则产生等幅振荡放电。此时有 6=0 1 6= u =u,=U sin(at +90) R=2 (3)当 时,特征根为两相等的负实根,电路处于临界阻尼状态。 特征根为:=名=-R 2L 方程的通解为:4=4+4e
所以 则 图 7.4 图 7.5 图 7.5 给出了电容电压和电流随时间变化的波形，从中可以看出，波形呈 衰减振荡的状态，在整个过渡过程中电容电压和电流周期性的改变方向，表明储 能元件在周期性的交换能量，处于振荡放电。在半个周期里能量的转换过程如图 7.6 所示。 图 7.6 若 RLC 振荡回路中的电阻 R=0 ，则产生等幅振荡放电。此时有： （3）当 时，特征根为两相等的负实根，电路处于临界阻尼状态。 特征根为： 方程的通解为：
40)=U0→A1 0)=0→A(-o)+A2 根据初始条件得 A 解得 A=U06 =U0e-0+6) Ue01-6t) 从以上诸式可以看出,电压和电流具有非振荡的性质,其波形类似于图7.2, 波形呈衰减状态,然而,这种过程是振荡与非振荡过程的分界线,所以称为临界 阻尼状态,这时的电阻称为临界电阻。 总结以上分析过程得用经典法求解二阶电路零输入响应的步骤: 1)根据基尔霍夫定律和元件特性列出换路后的电路微分方程,该方程为二阶 线性齐次常微分方程; 2)由特征方程求出特征根,并判断电路是处于衰减放电还是振荡放电还是临 界放电状态,三种情况下微分方程解的形式分别为: 特征根为两个不相等的负实根,电路处于过阻尼状态: y()=42+Ae2 特征根为两个相等的负实根,电路处于临界阻尼状态 ()=Ae2+A把 特征根为共轭复根,电路处于衰减振荡状态: n(at +B) y(0+) 3)根据初始值(dt确定积分常数从而得方程的解 以上步骤可应用于一般二阶电路 例7-1图示电路在t<0时处于稳态,t=0时打开开关,求电容电压t并画出其
根据初始条件得： 解得： 从以上诸式可以看出，电压和电流具有非振荡的性质，其波形类似于图 7.2， 波形呈衰减状态，然而，这种过程是振荡与非振荡过程的分界线，所以称为临界 阻尼状态，这时的电阻称为临界电阻。 总结以上分析过程得用经典法求解二阶电路零输入响应的步骤： 1)根据基尔霍夫定律和元件特性列出换路后的电路微分方程，该方程为二阶 线性齐次常微分方程； 2)由特征方程求出特征根，并判断电路是处于衰减放电还是振荡放电还是临 界放电状态，三种情况下微分方程解的形式分别为： 特征根为两个不相等的负实根，电路处于过阻尼状态： 特征根为两个相等的负实根，电路处于 临界阻尼状态： 特征根为共轭复根，电路处于衰减 振荡状态： 3）根据初始值 确定积分常数从而得方程的解。 以上步骤可应用于一般二阶电路。 例 7-1 图示电路在 t＜0 时处于稳态，t=0 时打开开关, 求电容电压 uC并画出其
变化曲线。 200 10Q 例 图(a) 解:求解分三步: (1)首先确定电路的初始值。 由t<0的时稳态电路,即把电感短路,电容断路, 得初值为:uc(0-)=25V,i(0)=5A (2)开关打开,电路为RC串联零输入响应问题,以电容电压为变量的微 分方程为 LC +C出 +L.=0 带入参数得特征方程为:50P2+2500P+106=0 解得特征根:P=-25139 由于特征根为一对共轭复根,所以电路处于振荡放电过程,解的形式为 =Ae23si(139+B) (0) (3)确定常数,根据初始条件 得 有:4=356 B=17 即:4=356e-28(139+176) 电压随时间的变化波形如图(b)所示。 例7-2图示电路为RC振荡电路,试讨论k取不同值时输出电压的零输入响应 情况 R AL+ Oky 图例7-2
变化曲线。 例 7 — 1 图（ a ） （ b ） 解：求解分三步： （1）首先确定电路的初始值。 由 t＜0 的时稳态电路，即把电感短路，电容断路， 得初值为：uＣ(0－ )=25V ，iL(0－ )=5A （2）开关打开，电路为 RLC 串联零输入响应问题，以电容电压为变量的微 分方程为： 带入参数得特征方程为： 50P 2 +2500 P +106=0 解得特征根： 由于特征根为一对共轭复根，所以电路处于振荡放电过程，解的形式为： （3）确定常数，根据初始条件 得： 有： 即： 电压随时间的变化波形如图（b）所示。 例 7-2 图示电路为 RC 振荡电路，试讨论 k 取不同值时输出电压 u2的零输入响应 情况。 图例 7-2
21=2+l3 +c 解:对节点A列写KCL方程: R 列写KⅥL方程 R(a+ca1)+J(3+C“)=2-1 对方程两边微分,整理得:+()幽-=0 特征方程为 3-k,3-k 特征根为 2RC 3-k 令 2RC RC P=-±6 则 下面进行讨论: (1)芒820,为衰减振荡 当k=3时有d=0,为等幅振荡 当35
解：对节点 A 列写 KCL 方程： 列写 KVL 方程： 对方程两边微分，整理得： 特征方程为 ： 特征根为： 令： 则： 下面进行讨论： （1）若 ，特征根为一对共轭复根，电路为振荡情况，此时有： ，|3 - k|＜2 ， 1＜k＜5 当 1＜k＜3 时有 d＞0 ，为衰减振荡； 当 k=3 时有 d = 0 ，为等幅振荡； 当 3＜k＜5 时有 d＜0 ，为增幅振荡。 （2）若 ，特征根为两个负实根，电路为阻尼情况，此时有： ， , k＜1 , k＞5
§7.2二阶电路的零状态响应和阶跃响应 1.零状态响应和阶跃响应 二阶电路的初始储能为零,仅由外施激励引起的响应称为二阶电路的零状态 响应。二阶电路在阶跃激励下的零状态响应成为二阶电路的阶跃响应。零状态响 应和阶跃响应的求解方法相同。现以图7.6所示BC串联电路为例说明求解方 法 图中激励为阶跃电压,因此电路的初始储能为: L(0)=k(03)=0,i(0)=i(0)=0。 图7.6 t>0后,根据KⅥL和元件的VCR得以电容电压为变量的电路微分方程: Lc ds+ RC-+u=E dt 特征方程为;LCP+RCP+1=0 方程的通解求法与求零输入响应相同 令方程中对时间的导数为零,得方程的特解:=B 则a的解答形式为:4=E+41+42(1千2) u =E+Ae+Ate (R=R=-8 E+Ae sin( at+p) E± l0+)=0 由初值(()=0 确定常数 电路在阻尼状态和振荡状态时电容电压随时间的变化波形如图7.7所示,表
§7.2 二阶电路的零状态响应和阶跃响应 1．零状态响应和阶跃响应 二阶电路的初始储能为零，仅由外施激励引起的响应称为二阶电路的零状态 响应。二阶电路在阶跃激励下的零状态响应成为二阶电路的阶跃响应。零状态响 应和阶跃响应的求解方法相同。现以图 7.6 所示 RLC 串联电路为例说明求解方 法。 图中激励为阶跃电压，因此电路的初始储能为: uC(0－ )=uC(0+ )=0，iL(0－ )=iL(0+ )=0。 图 7.6 t＞0 后，根据 KVL 和元件的 VCR 得以电容电压为变量的电路微分方程： 特征方程为； 方程的通解求法与求零输入响应相同。 令方程中对时间的导数为零，得方程的特解 : 则 uC的解答形式为： 由初值 确定常数 电路在阻尼状态和振荡状态时电容电压随时间的变化波形如图 7.7 所示，表
明电容电压从零上升最后稳定在E值 E 图7.7 2.二阶电路的全响应 如果二阶电路具有初始储能,又接入外施激励,则电路的响应称为二阶电路 的全响应。全响应是零状态响应和零输入响应的叠加,可以通过把零状态方程的 解带入非零的初始条件求得全响应 例7-3图示电路在t<0时处于稳态,=0时打开开关,求电流i的零状态 响应 0.5 1 0 2-i 例7-3图(a) 解:(1)列写微分方程,由KCL得: 0.5 0.5(2-)×2=2:-2 2(2-)=2i1+引t++2 由KⅥL得: 8=+12=12 整理以上两个方程得:d 方程为二阶非齐次常微分方程。解答形式为: (2)求通解i 特征方程为:P2+8P+12=0
明电容电压从零上升最后稳定在 E 值。 图 7.7 2．二阶电路的全响应 如果二阶电路具有初始储能，又接入外施激励，则电路的响应称为二阶电路 的全响应。全响应是零状态响应和零输入响应的叠加，可以通过把零状态方程的 解带入非零的初始条件求得全响应。 例 7-3 图示电路在 t＜0 时处于稳态， t=0 时打开开关 , 求电流 i 的零状态 响应。 例 7 — 3 图（ a ） （ b ） 解：（1）列写微分方程，由 KCL 得： 由 KVL 得： 整理以上两个方程得： 方程为二阶非齐次常微分方程。解答形式为： （2）求通解 i' 特征方程为：