第十四章网络函数 、教学基本要求 1、理解网络函数的的定义和极点、零点的概念 2、掌握网络函数的零点、极点与冲激响应的关系; 3、掌握网络函数的零点、极点与频率响应的关系; 4、了解卷积定理,能利用卷积定理求电路的响应。 二、教学重点与难点 教学重点:1.网络函数的的定义和极点、零点的概念 2.网络函数的零点、极点与冲激响应的关系 3.网络函数的零点、极点与频率响应的关系。 教学难点:1.零点、极点与冲激响应的关系 2.零点、极点与频率响应的关系 三、本章与其它章节的联系: 本章以第13章为基础,是叠加定理(第4章)的一种表现。冲激响应可 参见第6章和第7章。频率响应可参见第9章, 四、学时安排 总学时:4 教学内容 学时 1.网络函数的定义和极点、零点的概念;网络函数的零点、极点与冲激响应 2 的关系 2.网络函数的零点、极点与频率响应的关系;卷积定理 2 五、教学内容 §14.1网络函数的定义 1.网络函数的定义 电路在单一的独立激励下,其零状态响应r(t)的象函数R(s)与激励e(t) 的象函数E(s)之比定义为该电路的网络函数H(s),即: R(S H(s)=B() 2.网络函数的类型
第十四章 网络函数 一、教学基本要求 1、理解网络函数的的定义和极点、零点的概念； 2、掌握网络函数的零点、极点与冲激响应的关系； 3、掌握网络函数的零点、极点与频率响应的关系； 4、了解卷积定理，能利用卷积定理求电路的响应。 二、教学重点与难点 教学重点：1. 网络函数的的定义和极点、零点的概念； 2. 网络函数的零点、极点与冲激响应的关系； 3. 网络函数的零点、极点与频率响应的关系。 教学难点：1. 零点、极点与冲激响应的关系 2. 零点、极点与频率响应的关系 三、本章与其它章节的联系： 本章以第 13 章为基础，是叠加定理（第 4 章）的一种表现。冲激响应可 参见第 6 章和第 7 章。频率响应可参见第 9 章。 四、学时安排 总学时：4 教 学 内 容 学 时 1．网络函数的定义和极点、零点的概念；网络函数的零点、极点与冲激响应 的关系 2 2．网络函数的零点、极点与频率响应的关系；卷积定理 2 五、教学内容 §14.1 网络函数的定义 1. 网络函数的定义 电路在单一的独立激励下，其零状态响应 r(t) 的象函数 R(s)与激励 e(t) 的象函数 E(s)之比定义为该电路的网络函数 H(s)，即： 2 ．网络函数的类型
设图14.1中,(为激励电压、4⑨为激励电流:U2()为响应电压、2(9 为响应电流。根据激励B()可以是独立的电压源或独立的电流源,响应R(s) 可以是电路中任意两点之间的电压或任意一支路的电流,故网络函数可以有以下 几种类型 1(s) 12(s) U1(s) U2(s) 图14.1 驱动点阻抗:B()=1()4();驱动点导纳:B()=4()/1() 转移阻抗:()=U2(5)/H1();转移导纳:H(s)=l2(s)/1() 电流转移函数:H(5)=2()/(9);电压转移函数:H)=U2()/1(s)。 注意: (1)根据网络函数的定义,若E(s)=1,即e(t)=6(t),则R(s)=(s), 即网络函数就是该响应的象函数。所以,网络函数的原函数h(t)为电路的单位 冲激响应,因此如果已知电路某一处的单位冲激响应b(t),就可通过拉氏变换 得到该响应的网络函数。 (2)网络函数仅与网络的结构和电路参数有关,与激励的函数形式无关 因此如果已知某一响应的网络函数∥s),它在某一激励E(s)下的响应R(s) 就可表示为 R(s=H(sE(s) 例14-1图示电路中,已知4()=6()时,1(=(0=2cost,求4()=B2 时
设图 14.1 中， 为激励电压、 为激励电流； 为响应电压、 为响应电流。 根据激励 可以是独立的电压源或独立的电流源，响应 可以是电路中任意两点之间的电压或任意一支路的电流，故网络函数可以有以下 几种类型： 图 14.1 驱动点阻抗： ； 驱动点导纳： ； 转移阻抗： ； 转移导纳： ； 电流转移函数： ； 电压转移函数： 。 注意： （1）根据网络函数的定义，若 E(s)=1 ，即 e(t)=δ(t)，则 R(s)=H(s) ， 即网络函数就是该响应的象函数。所以，网络函数的原函数 h(t) 为电路的单位 冲激响应，因此如果已知电路某一处的单位冲激响应 h(t) ，就可通过拉氏变换 得到该响应的网络函数。 （2）网络函数仅与网络的结构和电路参数有关，与激励的函数形式无关， 因此如果已知某一响应的网络函数 H(s) ，它在某一激励 E(s) 下的响应 R(s) 就可表示为 R(s)=H(s)E(s) 例 14－1 图示电路中，已知 时， 。求 时
1(s) 2(s) U1(s) U2(s) 例14-1图 解:网络函数H2(s)=[h( +2 E 当4()=B时+1() s+2 所以 a)=H(s)U1(s)= (s+2)2+1 )={41(6)]=Be 例14-2图示电路激励i(t)=8(t),求冲击响应h(t),即电容电压t(t) 例14-2图(a) 解:电路的运算图如图(b)所示,有 I)⊥1C R Uds) 例14-2图(b)
例 14-1 图 解： 网络函数 = 当 时， 所以 例 14－2 图示电路激励 i(t)=δ(t) ，求冲击响应 h(t) ，即电容电压 uC(t) 。 例 14-2 图（a） 解： 电路的运算图如图（b）所示，有： 例 14-2 图（b）
H()=(s)U(s) r()1 sc s+ R )=2()=L[H(S)=L 注意:∥(s)仅取决于网络的参数与结构,与输入E(s)无关,因此网络函 数反映了网络中响应的基本特性。 例14-3图(a)所示电路激励为3()=6(),响应为求阶跃响应 S1(t)S2() (s)2 2H u 1a()2a3{a) 14F 例14-2图(a) 例14-2图(b) 解:电路的运算图如图(b)所示,有: 1 4s+4 rs(3)4 +1+ 1s2+5s+6 U2()2sU2(s) r()2+2s$+58+6 U()=1()(s)2(32+58+6) U2()=H2(S)(S)= s(+58+6 2 S() S()=4e-2-4e
注意：H(s) 仅取决于网络的参数与结构，与输入 E(s)无关，因此网络函 数反映了网络中响应的基本特性。 例 14－3 图（a）所示 电路激励为 ，响应为 求阶跃响应 。 例 14-2 图（a） 例 14-2 图(b) 解： 电路的运算图如图（b）所示，有：
§142网络函数的极点和零点 网络函数的f(s)的分母和分子都是s的多项式,故一般形式为 H() N(s)bs+b +bo D(s)a,S 2-1 (-z1)(x8-z2)…(-2) ∏I(-z1) H (-p1)(-p2)…(8-p1)…(x-p2 ∏I(-p) 其中,历是一个常数,z1(i=1,2,…,m)是W(s)=0的根,p(j=1,2,…,n 是D(s)=0的根。 当s=z1时,H(s)=0,故z(i=1,2,…,m)称为网络函数的零点 当s=n时,(s)=∞,故p(j=1,2,…,n)称为网络函数的极点。 在复平面(也称为s平面)中,B(s)的零点用“O”表示,极点用 ×”表示,构成网络函数的零、极点分布图如图14.2所示 图14.2 H(8) 例14-4已知网络函数 s3+432+6+3,绘出其极零点图。 解:N()=2-128+16=2(8-2)-4 即H()的零点为:21=2,2=4 D()=32+42+6+3=(+1(++j)(s+ 即 (s) 的极点为 pI 零极点图如例14-4图所示
§14.2 网络函数的极点和零点 网络函数的 H(s) 的分母和分子都是 s 的多项式，故一般形式为 其中，H0 是一个常数，zi(i=1,2,…, m ) 是 N(s)=0 的根， pj(j =1,2,…, n ) 是 D(s)=0 的根。 当 s =zi时， H(s)=0 ，故 zi( i =1,2,…, m ) 称为网络函数的零点； 当 s =pj时， H(s)=∞ ，故 pj( j=1,2,…, n ) 称为网络函数的极点。 在复平面（也称为 s 平面）中， H(s) 的零点用“ ○ ”表示，极点用 “ × ”表示，构成网络函数的零、极点分布图如图 14.2 所示。 图 14.2 例 14－4 已知网络函数 ， 绘出其极零点图。 解： 即 的零点为： 即 的极点为： 零极点图如例 14-4 图所示
例14-4图 §143零点、极点与冲激响应 (s)和E(s)一般为有理分式,因此可写为 R(S=H(SE(S N(s P(s) D(s)() 式中 H(sN(()=e) D Qs),而M(、D()、P()、g()都是s的多 项式。用部分分式法求响应的原函数时,D()Q()=0的根将包含D()=0和 =0的根 令分母D(s)=0,解出根p,(i=1,…,n) 同时,令分母(s)=0,解出根p,(j=1,…,m)。那么 B R(s)= 则响应的时域形式为 (=DIR(sI Ae 其中响应 中包含D()=0的根,属于自由分量或瞬态分量:响应 ∑B, 中包含Q()=0的根(即网络函数的极点),属于强制分量。因此, 自由分量是由网络函数决定的,强制分量是由强制电源决定的。 可见,D(s)=0的根对决定R(s)的变化规律起决定性的作用。由于单位冲
例 14 — 4 图 §14.3 零点、极点与冲激响应 H(s) 和 E(s) 一般为有理分式，因此可写为 式中 ， ，而 、 、 、 都是 s 的多 项式。用部分分式法求响应的原函数时， 的根将包含 和 的根。 令分母 D(s)=0，解出根 pi,( i=1,…, n )， 同时，令分母 Q(s)=0，解出根 pj,(j=1,…, m ) 。那么， 则响应的时域形式为： + 其中响应 中包含 的根，属于自由分量或瞬态分量；响应 中包含 的根（即网络函数的极点），属于强制分量。因此， 自由分量是由网络函数决定的，强制分量是由强制电源决定的。 可见，D(s)=0 的根对决定 R(s) 的变化规律起决定性的作用。由于单位冲
激响应h(t)的特性就是时域响应中自由分量的特性,所以分析网络函数的极点 与冲激响应的关系就可预见时域响应的特点。若网络函数为真分式且分母具有单 根,则网络的冲激响应为: h(=D[H(6)= ]=∑A 上式说明 (1)若H()的极点P都位于负实轴上,为负实根时,e为衰减指数 函数,则A(将随t的增大而衰减,称这种电路是稳定的;若有一个极点P为 正实根时,e”为增长的指数函数,则h()将随t的增长而增长;而且|2越 大,衰减或增长的速度越快,称这种电路是不稳定的。 (2)当极点P为共轭复数时,由于A()是以指数曲线为包络线的正弦 函数,其实部的正或负确定增长或衰减的正弦项 (3)当P为虚根时,则将是纯正弦项。 图14.3画出了网络函数的极点分别为负实数、正实数、虚数以及共轭复数 时,对应的时域响应的波形。 注意:P仅由网络的结构及元件值确定,因而将P称为该网络变量的自 然频率或固有频率 图14.3
激响应 h(t) 的特性就是时域响应中自由分量的特性，所以分析网络函数的极点 与冲激响应的关系就可预见时域响应的特点。若网络函数为真分式且分母具有单 根，则网络的冲激响应为： 上式说明： （1） 若 的极点 都位于负实轴上，为负实根时， 为衰减指数 函数，则 将随 t 的增大而衰减，称这种电路是稳定的；若有一个极点 为 正实根时， 为增长的指数函数，则 将随 t 的增长而增长；而且 越 大，衰减或增长的速度越快，称这种电路是不稳定的。 （2） 当极点 为共轭复数时，由于 是以指数曲线为包络线的正弦 函数，其实部的正或负确定增长或衰减的正弦项。 （3） 当 为虚根时，则将是纯正弦项。 图 14.3 画出了网络函数的极点分别为负实数、正实数、虚数以及共轭复数 时，对应的时域响应的波形。 注意： 仅由网络的结构及元件值确定，因而将 称为该网络变量的自 然频率或固有频率。 图 14.3
例14-5已知网络函数有两个极点分别在s=0和s=1处,一个单零点在s=1 处,且有 imh()=10 求H(s)和h()。 解:由已知的零、极点可知: FG)=(-1) (+1) 所以 h()=工[F()=∠yk(x-1) =-k+2k (s+1) 由于 lim h(t)=10 解得:k=10 所以 10(s-1) H() §144零点、极点与频率响应 令网络函数H(s)中复频率s等于jo,分析H(jo)随o变化的情况, 就可预见相应的网络函数在正弦稳态情况下随ω变化的特性 对于某个固定的,H(j)通常为一个复数,可表示为 H(a)=|Ga)p=(a() 式中,H(叫为网络函数在频率o处的模值,H(a随频率O变化的关系 为幅度频率响应,简称幅频特性; q=a[H(a)随频率a变化的关系为相位频率响应,简称相频特性。 由于 o-z H(ja)=HoI
例 14－5 已知网络函数有两个极点分别在 s=0 和 s=-1 处，一个单零点在 s=1 处，且有 ，求 H(s) 和 h(t)。 解： 由已知的零、极点可知： 所以 由于 ， 解得： k =-10 所以 §14.4 零点、极点与频率响应 令网络函数 H(s) 中复频率 s 等于 jω ，分析 H(jω) 随 ω 变化的情况， 就可预见相应的网络函数在正弦稳态情况下随 ω 变化的特性。 对于某个固定的，H (jω ) 通常为一个复数，可表示为 / 式中， 为网络函数在频率 ω 处的模值， 随频率 ω 变化的关系 为幅度频率响应，简称幅频特性； 随频率 ω 变化的关系为相位频率响应，简称相频特性。 由于：
所以幅频特性为: TIKjo-z) H(a= Ho IIkjo-p) 相频特性为 arg[A(o)]-2arg(jo-z)-2argjo-p, 若已知网络函数的极点和零点,则按上式便可计算对应的频率响应,同时还 可通过s平面上零极点位置定性描绘出频率响应。 例14-6定性分析图(a)所示RC串联电路以电压t为输出时电路的频率响 例14-6图(a) 解:网络函数 U2(s) RC H()可()5+ 极点为 令 H(j0)= C Ho 1J-n1 或写为: HOiO (s)的极点分布见图(b)所示。 由图(b)可得图(c)所示的幅频特性和(d)所示的相频特性
所以幅频特性为： 相频特性为： 若已知网络函数的极点和零点，则按上式便可计算对应的频率响应，同时还 可通过 s 平面上零极点位置定性描绘出频率响应。 例 14－6 定性分析图（a）所示 RC 串联电路以电压 uC 为输出时电路的频率响 应。 例 14-6 图（a） 解： 网络函数 ， 极点为 令 s → jω ，则 或写为： H(s)的极点分布见图(b)所示。 由 图 (b) 可 得 图 (c) 所 示 的 幅 频 特 性 和 (d) 所 示 的 相 频 特 性
F (b) §145卷积 1.拉氏变换的卷积定理 (1)卷积积分 f1(t)*f2()=f2(t)*f1(t) 5f(5f(-5)5 (-5)(5)d5 (2)卷积定理 若[f(]=(s)L[(t)=E2( 则4()*()=F(s)2() 2.应用卷积定理求电路响应 设E(s)表示外施激励,Hs)表示网络函数,响应R(s)为 R(SF H(S? E(s) 求R(s)的拉氏反变换,得到网络零状态响应的时域形式 r(t)=L1R()=L[H()E()=k()*e() e(5)(-)d2=k(5)e(t-5d5 这里e()是外施激励的时域形式,h()是网络的冲激响应 例14-7已知图示电路24=06,冲击响应加()=5e,求l2() 电阻网络 例14-7图 解法1 0.61,K2 s+1s+2s+1s+2
(b) (c) (d) §14.5 卷 积 1．拉氏变换的卷积定理 (1)卷积积分 (2）卷积定理 若 则 2. 应用卷积定理求电路响应 设 E(s) 表示外施激励，H(s) 表示网络函数，响应 R(s) 为 R(s)= H(s)? E(s) 求 R(s) 的拉氏反变换，得到网络零状态响应的时域形式 这里 e(t) 是外施激励的时域形式， h(t) 是网络的冲激响应。 例 14－7 已知图示电路 ，冲击响应 。 例 14-7 图 解法 1： K1 =3 , K2 =-3