二维非稳态晶体生长的理论分析与拉普拉斯逆变换法.pdf_大学文库

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.2001.03.021 第26卷第3期北京科技大学学报 Vol.26 No.3 2004年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jun.2004 二维非稳态晶体生长的理论分析与拉普拉斯逆变换法孙仁济”史英英”陈明文”王自东) 1)北京科技大学应用科学学院数学力学系，北京1000832)北京科技大学材料科学与工程学院，北京100083 摘要对定常速度下二维非稳态晶体生长的数学模型进行了分析，证明了解的唯一性，并运用Laplace逆变换法对该定解问题进行求解，最后给出了一个具体的例子. 关键词金属凝固：晶体生长：偏微分方程：Laplace逆变换分类号TG111.4:0781;0175.2 金属凝固过程主要是一个结晶过程，晶体首 1)解的惟一性.假设有两个函数C(x,z,), 先形成晶核，然后再逐渐长大.控制晶体生长的 C(,z,)满足上述定解问题，那么令(x,z,)= 浓度方程是一个较复杂的偏微分方程，多年来， C(x,z,)-C(x,z,),则4(x,z,)应满足定解问题许多人对此过程进行了分析和计算.例如，王自 D(oiuoiu p股器器-品东等人对控制单相合金凝固界面非线性动力学 u(x-1,2,1)=u(x+l,z,t) 方程的分析，徐鉴君用界面波方法对晶体生长 lim u(x,z,()=0 (2) 作了分析及探讨仰，最近孟凡梓，王凤英等人考虑了二维及三维稳态的数学模型，并运用F0- x,0,t）=0 u(x,z,0)=0 iCr级数展开方法得到了精确解的形式.本文在以下只需证明4(x,z,)=0. 他们的工作的基础上，利用Laplace逆变换这一用(x,z,)乘以式(2)中第一式的两端，并在特殊方法对非稳态二维晶体生长浓度控制方程 D-,×[0,z×[0,上积分，并注意到：进行了分析与计算，得到了精确解的形式，并证明了定解问题解的惟一性， ∬8idtd咖=w小∫ik= 登d小td=0, 1理论分析 ∬8dd=小小如t= 考虑定常速度下二维非稳态传质方程问题：之∫dx,zi, a器g8g-% j"kdb=∫ar= C(x-I,z,t)=C(x+l,z,t) limC(x,z,()=0 (1) ∫jz0地， Cx,0,)=gx,） Dr驶2dd C(x,z,0)=f(x,z) DSff[(uu).-vi+(wu).-uijdxdzdr- 其中，C(x,乙，)为溶质的浓度：扩散系数D,速度分量v,(<0)及周期2l均为常数：fx,z),g(x,t)是 -DJ+-u)dxdzdr+D∫，r(uau,kd 在x方向上以2！为周期的连续函数. -DfT(xrdrdr+是了arxa0a 则得到收稿日期200307-31孙仁济男.58岁，牧授 +国家重大基础研究项目(No.G2000067206_1) 2(+)dxdzdr+dz.dx-

第卷第期年 ‘ 月北京科技大学学报 ” 一 ” 。二维非稳态晶体生长的理论分析与拉普拉斯逆变换法孙仁济 ” 史英英 ” 陈明文 ” 王自东 ” 北京科技大学应用科学学院数学力学系，北京北京科技大学材料科学与工程学院，北京摘要对定常速度下二维非稳态晶体生长的数学模型进行了分析，证明了解的唯一性，并运用逆变换法对该定解问题进行求解，最后给出了一个具体的例子关键词金属凝固晶体生长偏微分方程逆变换分类号金属凝固过程主要是一个结晶过程，晶体首先形成晶核，然后再逐渐长大 ‘，，控制晶体生长的浓度方程是一个较复杂的偏微分方程，多年来，许多人对此过程进行了分析和计算例如，王自东等人对控制单相合金凝固界面非线性动力学方程的分析仪，，徐鉴君用界面波方法对晶体生长作了分析及探讨 ‘ ，，最近孟凡梓阵，，王凤英 ‘ 等人考虑了二维及三维稳态的数学模型，并运用如级数展开方法得到了精确解的形式本文在他们的工作的基础上，利用逆变换这一特殊方法对非稳态二维晶体生长浓度控制方程进行了分析与计算，得到了精确解的形式，并证明了定解问题解的惟一性解的惟一性假设有两个函数，，，，，满足上述定解问题，那么令，，，，，一，，，则，，应满足定解问题己刁、己刁刀万开十百了一认币了认飞万一下一，，，，，，以，，，，以下只需证明，，二用，，乘以式中第一式的两端，并在刀别【一，小【，，月上积分，并注意到理论分析考虑定常速度下二维非稳态传质方程问题「己、刁己头戒汗杀戒二一、沃二一丫，爪井」头井 “ 刁犷 ’ 才 “ ’ 己一一试，，不，其中，，，为溶质的浓度扩散系数，速度分量铸，姚执及周期均为常数乳厂卜，习，加，是在方向上以为周期的连续函数认攀需 “ 一丈“ 知仆需 “ 普丈买，，。二户一。，认尽骼一￡“ 知知骼 “ 昔卫矿，，，尽乎 ‘ 一工“ 丈“ 丈祭告工矿，， ”， ” 。尽硕器噜盯〔一圣卜试一肛、。，、买一廖、十、十瓮￡“ 买，，犷 · 则得到收稿日期一一孙仁济男，岁，教授国家重大基础研究项目 ‘ 琪咖暗伽分，， DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2004．03．021

北京科技大学学报年第期备知分，，一告买嵘，，别在上式两端同乘一分，然后关于从。到睿积分，得介一伞毋咭伽工，，山一分工，， ’ ，，，，山，，一，知对。，日几介，使得当对时，有，，在，则时，，守对上述，及任意给定的，有工了，，，，，、、工万，， ’ ，，， ‘几故峡买工声之，，一。由洛必达法则，有吻攀去上由户，，叫卿价一乖肋告伽工，，。旦一分一吻一会丈 ‘了， ’ ，氛‘ 一从而，，三，原问题的解是惟一的用逆变换法求解设亡，，，加，分别为，，，以，的关于的原函数，，一 ‘ 、。。、，、上，，，、一一、 ‘ 、二，一作对定解问题 ‘ 的 “ 逆变换 ‘，则嚣的原函数为一硕飞，，，其中之原定解问题的第一式至第四式变换为下面求解任，及行由得兀、一。一刃。一卜几不一、一。。上少气万。－梁代入式并整理得刁亡日刃、百乙，二专共头共一杀井一认头生汗二 “ 分 ’ 刁了 “ “ 己 ’ “ 勺一亡一，，刃，，刃，，二乙，，酬工，视为常数，由于亡伙，，是以为周期的函数，可设。 ·， ·卜塑主卜 · · 一华、 · 。 ‘ ·华将式代入中的第一式得翻 ‘一咧。〕到二一。一擎，。一 “ ’ 产 ‘ ‘ 一 ‘ 二一 ‘ ” ’ 护一月 ” 一工、了鄂斗华搜。黔叠一小一华卜，黔刃「小粤一华丫，研粤一华 “ 少气」更少气」议会一华 ’ ’· 鹦 ’ 一 ‘，‘，其特征方程为 ·‘ 一尸· 诱· 会一半 ’ 尸一音一华」会一华」 ’ 华 ’ 一 “ 将它化为的一元二次方程得尸小八会一川」。 · 一、合一华 ’ ’ · 会一华 ’ ’ · 鹦 ’ 一，，其判别式为 ‘ 一尸八合一呼丫一尸 ’ 尸合一畔争告一华黔一尸华丁 · 一、几认认。一仅 “ ，一万，，一万，则月 ’ 声、矛、，诚 ”‘，尹伽。一 “ ，。 ·月。音一华 ’」， · 华一得到与文献〕类似的结果由式解得。兀、，厅一川厂孟一 ‘ 笼二士、 △ 气 ’ 兀一兀飞－一一，卜气二甘士二二母二乙，闷戈少斌刃。「妻一华 ’ 。。一嘿上，，一。，。一，， … 气由式可求得幼若为实数，为实数，与则式为实系数方程， △ ，一普矛盾，工产故为复数，解不设一一争瓣一专禹，日。。，，， … 一 · 万代入式得华 ’ … 士” · 鹦 ‘若。丢，一争， ” 一普 ’ 一扮 · 。一浩二解二。产层二阁愁，，三三一。十，厂兀、兀，、里互土互 …主塑二立一。试民。、答，又乙因为为实数，所以有

心孙仁济等二维非稳态晶体生长的理论分析与拉普拉斯逆变换法一一口月兀、，，兀，、万一丁十口· 犷了 ‘ 试己一口。，「兀、了兀，飞全匡三垃卫卫三丝三卫。口丈十优「兀丫二几、、一 · 万一了一口· 刃试三口，，兀、飞兀、 · 万一万一一 · 一万试拭。、口‘‘ 、，吸先对式进行讨论，经过仔细分析得 · 一丫箫一 ” “哈一图 ’ ‘ ，珊一骊〔丽噜兀平卜黔一晋 ‘’ ‘，记晋刹 ’ 一音一 “ ，式 “ ” 的解为。一争咨丫不不骊兀、厄万一口。土七厂厂一一一六兰钾丝里七牛抢 ‘ 丫、梁 ‘ 同样，对式分析可得式，以及月一鄂几雁密又德可平下一鄂式的解为。一兮不乎户十户千平刀兀一 ‘乎户十厂谕其中，、，，一揣 ‘ 一，·。一啥一例 ’ 一，。， · 。，一，、。一揣 · 一。一谙一华 ’ 一 ” · 。 ” ·，。 · ，比，一孟、一 ·。一啥一华丁一一 ” 汁一“ ·，。 · ，一孟、一浩一二。， · 。，一。 · 刹下由具体计算知。一。 · ·，，音一半 ’ 一，及 ‘ 一。、浩一刹 ’ 一 · 而斋 ·。一斋一器一兮。〕一 ‘ ，斋一斋鄂一兮二扫 · 故，。。，跳，二一自。，跳，一，，峨。。。。 “ · ’ 一。氏杯尹一、。几，’ 。鳅君在以上解的过程中将视为了常数，实际上，上述系数可能与有关，一般情况下为的函数则定解问题的解可表示为。，。卜搜掣叠卜 · 。，、。。华 · ， ” ‘·华其中，。份，月伪，，凡份，分别由式，及确定将酬沐，飞不习展开成为关于的傅里叶级数以上四组解为方程的四个特征值，设巧沙山“ 一了一为澳婴丛笋畏，，、狱一，，、 · ” 几沈么，· 、下厂十、，万一， · 一华十关。课 · 阵冲﹄田同艺口。二一叮兀冬刀兀代入式中第四式及第五式有，、声、内，，‘ 九“乙，户月兀瓦一卑一又二一节 ‘ 丫 “ 十尹呼 ‘ 。二。岛二。根据中的第三式条件知，氏及氏须小于由式，及 ‘” 口，一 ” 恒成立当” 刹 ’ ‘借时，也成立那么，禹的解可表示为仕 ·’ 。氏声尹。几，斗。。 “ ·杯房其中。为任意常数，，，，将其代入式，得到的解的表达式。，几 ·‘ ，勺声眺，风 ’艺 “ 必声。一的，。，。一犷“ 众，一犷， ” 再将函数厂丈戈，，蜘，的表达式代入可解出相应的系数，这样得到刃仕，，的具体形式最后对其作关于的变换就可以得到原定解问题的解

·310 北京科技大学学报 2004年第3期 2算例由前面惟一性的证明知，这就是我们要求的惟一解. +89-8器-8% Cx-元，z,)=Cx+r,z,) 3结束语 limc(x,z,()=0 本文认真地分析和研究了定常速度下二维 C(x,0,t)=e-cosx 非稳态晶体生长的数学模型，证明了其解的惟 C(x,z,0)=e"cos(bz+x) 性，并运用Laplace逆变换方法对定解问题进行其中，求解.对于Laplace逆变换方法加以初步的分析 q=- 与探讨，从最后给出的具体例子可以看出该方法的应用是成功的受+1-+1-+ 致谢本文的部分内容与北京师范人学周美珂教授及易知l=元，Fl,g(h)=h-1),f,(z)=e"cosbz,f(z= 原地质刊矿产部北京计算中心蔡宗熹教授进行了有益的 -esinbz,,其余各项均为0.所以只需确定c,i= 讨论，在此表示衷心的感谢， 1,2,3,4,方程如下：参考文献 C+cz1=h-1) C1一C4-0 1胡汉起.金属凝固原理[M.北京：机械工业出版社， 2000 [(cne+ce)cosbz+(cec)sinb zh= 2王自东，周永利，常国威，等.控制单相合金凝固界 e"cosbz 面形态非线性动力学方程..中国科学(E),1999 f[(cne-cae)cosb z+(-cne+ce)sinbzldh= E291):1 -esinbz 3 Xu J J.Interface Wave Theory of Pattern Formation [M]. 解得c1=h-1),c2=0,c1=0,c4=0. Berlin:Springer,,1997 C(x,z,h)=6(h-1)e(cosbz cosx-sinbz sinx)= 4孟凡梓.品体生长模式中摄动方法的应用[D北京科技大学，2002 o(h-1)ecos(bz+x). 5王凤英，陈明文，孙仁济，等.三维稳态晶体生长的从而得到原定解问题的解物理本质[J].北京科技大学学报，2003,25(3)：230 C(x,z,)=f"eM(h-1)e"cos(bz+x)dh= 6拉甫伦捷夫MA,沙巴特BA,复变函数论方法（下 e "cos(bz+x) 册)[M.北京：高等教育出版社，I957 Crystal Growth Analysis in Two-dimensional Instable State Problem and Laplace Inverse Transformation Method SUN Renji",SHI Yingying",CHEN Mingwen",WANG Zidong 1)Applied Science School,University of Science and Technology Beijing.Beijing 00083.China 2)Materials Science and Engineering School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT By using Laplace inverse transformation method,a two-dimensional time-dependent partial differ- ential equation for crystal growth is analyzed and the solution is obtained.The uniqueness of the solution is proved. An example is presented. KEY WORDS metal solidification;crystal growth;partial differential equation;Laplace inverse transformation

一 · 北京科技大学学报年第期算例由前面惟一性的证明知，这就是我们要求的惟一解己日、刁刁刀子答干头于一叭头兰一，杀井二共子几口犷 ’ 分一大一兀，，工饥，，，，，，二一七，， ‘ 石艺十戈其中，。一晋。一旗乙、、，、，、，。了十 ‘ 一万十丫创十 ‘ 一万十巧易知，，，，占一，厂， “ 加抓，一 “ ，其余各项均为所以只需确定，，，，，方程如下，，长、，二咨一一 “ ‘ 〔，一一 ·… 。一、丈 ‘ 一一一 · 汗一 ‘ 解得一，，二占一，，，、二，故刃，，二占一 “ 一武一 ‘ 从而得到原定解问题的解，，一 ‘ 一 ‘ 咨一。一 ’‘ 结束语本文认真地分析和研究了定常速度下二维非稳态晶体生长的数学模型，证明了其解的惟一性，并运用逆变换方法对定解问题进行求解对于逆变换方法加以初步的分析与探讨，从最后给出的具体例子可以看出该方法的应用是成功的致谢本文的部分内容与北京师范大学周美坷教授及原地质矿产部北京计算中心蔡宗熹教授进行了有益的讨论，在此表示衷心的感谢参考文献胡汉起金属凝固原理北京机械工业出版社，王自东，周永利，常国威，等控制单相合金凝固界面形态非线性动力学方程中国科学，，白，，孟凡梓晶体生长模式中摄动方法的应用北京科技大学，王凤英，陈明文，孙仁济，等三维稳态晶体生长的物理本质北京科技大学学报，，拉甫伦捷夫，沙巴特复变函数论方法卜册〔」北京高等教育出版社，沈一竹，〕凡“ 了万” 邵声。，刀万 ’ ，洲刀罗，，，沁，罗，嗯，阶，一一