多元地质统计学的基本理论与方法

D0I:10.13374/i.issn1001053x.1992.02.001 北京科技大学学报 第14卷第2期 Vo1.14No,2 1992年3月 Journal of University of Science and Technology Beijing March 1992 多元地质统计学的基本理论与方法 候景儒·潘汉军·张树泉· 摘要：研究多元地质统计学涉及以下方面的若干问题：(1)多元地质统计学的基本假 设，包括：协同区城化变量、互变异函数、互协方差以及协同区城化变量的二阶平稳假设和 内蕴假设，(2)协同区域化矩阵：(3)协同区域化的线性模型，()多元地质统计学的 最佳估计方法，包括用协同克立格法对区城化变量的估计、空间分量的估计以及区域化因子 的估计。 关键词：多元地质统计学，因子克立格法，协同克立格法，空间结构，空间分量，区域化 因子 Basic Theory and Methods of Multivariate Geostatistics Hou Jingru Pan Hanjun'Zhang Shuquan' ABSTRACT:This paper studied some problems of multivariate geostatistics which involve four parts:1,Basic hypothesis of multivariate geostatistics, include coregionalized variable,cross-variogram,cross-covariance,the statio- narity of order 2 and the intrinsic hypothesis of coregionalized variables;2, coregionalization matrices;3,Linear model of coregionalization;4,The best estima ted methods for multivariate geostatistics include estimation of the regionalized variables with cokriging,estimation of the spatial components and estimation of the regionalized factors. KEY WORDS:multivariate geostatistics,factor kriging,cokriging,spacial structure,spacial components,regionalized factor 1991一11一14收稿 ·地质系(Department of Geology) 115

第 14 卷第 2 期 1 9 92 年 s 月 北 京 科 技 大 学 学 报 J o u r n a l o f U n i v e r s i t y o f S e i e n e e a n d T e e h n o l o g y B e i j i n g V o l 。 1 4 N o 。 2 枯a r e h 1 9 9 2 口 , 曰 多元地质统计学的基本理论与方法 候 景儒 . 潘汉 军 ` 张树泉 . 卜 中 摘 要 : 研究 多元地 质统计学涉及以下方面的若千向题: (l ) 多元地质统计学的墓本假 设 , 包括 : 协 同 区域化变量 、 互 变异 函数 、 互协方差 以及协 同区域化 变量 的二阶乎稳假设和 内蕴假设 , ( 2) 协 同区域化 矩阵 ; ( 3) 协 同区 域化的 线性模 型 , ( 4 ) 多元地质统计 学 的 最佳 佑计方 法 , 包括用协同克立格法对区域化变 量的估计 、 空 间分量 的估计 以及 区域化 因子 的佑计 。 关键 词 : 多元地质统计学 , 因子克立格法 , 协 同克立格法 , 空间结构 , 空间分最 , 区域化 因子 B a s i e T h e o r y a n d M e t h o d s o f M u l t i v a r i a t e G e o s t a t i s t i e s H o “ J i n 夕; u . P a n H a n i “ n , Z h a n 夕 S h “ 叮赵 a ” , 嘴 A B S T R AC T : T h i s p a p e r s t u d i e d s o m e p r o b l e m s o f m u l t i v a r i a t e g e o s t a t i s t i e s w h i e h i n v o l v e f o u r p a r t s : 1 , B a s ; e h y p o t h e s i s o f m u l t i v a r i a t e g e o s t a t i s t i e s , s n e l u d e e o r e g i o n a l i z e d v a r i a b l e , e r o s s 一 v a r i o g r a m , e r o s s 一 e o v a r i a n e e , t h e s t a t i o - n a r i t y o f o r d e r 2 a n d t h e i n t r i n s i c h v p o t h e s i s o f c o r e g i o n a li z e d v a r i a b l e s ; 2 , e o r e g i o n a l i z a t i o n m a t r i e e s ; 3 , L i n e a r m o d e l o f e o r e g i o n a l i z a t i o n ; 4 , T h e b e s t e s t i xn a * e d m e t h o d s f o r m u l t i v a r i a t e g e o s t a t i s t i e s i n e l u d e e s t i m a t i o n o f t h e r e g i o n a l i z e d v a r i a b l e s w i t h c o k r i g i n g , e s t i m a t i o n o f t h e s p a t i a l e o m p o n e n t s a n d e s t i m a t i o n o f t h e r e g i o n a l i z e d f a e t o r s . K E Y W O R D S : m u l t i v a r i a t e g e o s t a t i s t i e s , f a e t o r k r i g i n g , e o k r s g i n g , s p a e i a l s t r u e t u r e , s p a e i a l e o m p o n e n t s , r e g i o n a l i z e d f a e t o r 1 9 9 1一 1 1一 1 4 收稿 · 地质系 ( D e P a r t m e n t O f G e o l o g y ) 1 1 5 DOI: 10. 13374 /j . issn1001 -053x. 1992. 02. 001

传统的多元统计分析方法及数据处理方法几乎没有考虑到多元信息的空间特征。即便是 趋势面分析方法，在解释自然现象或变量的空间变化特征时也不能令人满意。例如趋势面分 析给出剩余图无法表示该剩余值是由几个地质过程或几期矿化迭加而成的。在物化探数据 中，观测值常被认为由背景和异常两部分组成，但不能指出所谓的背景值相对于多大空间 尺度而言，也不能指出异常值是否是由若干个独立的作用综合形成的。地质统计学是以区域 化变量理论为基础，以变异函数为基本工具，研究那些在空间分布上既有随机性又有结构性 的自然现象的科学。区域化变量定义为以空间点x的3个直角坐标(x,x,x)为自变量 的随机场Z（x,x。,×m)=Z(x),它是一种在空间上具有数值的实函数，对区域化变量 的结构性及随机性的研究更符合一些自然现象（包括地质现象）的特殊性，从而能更有效地 解决有关问题。但是传统地质统计学只限于对单变量的研究，而且没有充分考虑到空间尺度 对区域化变量研究的影响。近年来逐步形成的多元地质统计学就是为了解决这些问题对线性 地质统计学的改进。所谓多元地质统计学是以协同区域化理论为基础，以互变异函数为基本 工具，研究那些定义于同一空间域中、既具有统计相关又具有空间位置相关的多元信息空间 结构的地质统计学，其主要方法是因子克立格法(Factor Kriging)。 1多元地质统计学的基本假设 设有一个随机函数集{Z:(x),一1,2，·，N,}和这些随机函数的一个现实，即区城化 变量{Z,(x)=1,2…,N}。 假设有涉及N,个区域化变量的样本集，并位于N个点处： {Z,(xa),i=1,2…,N,a=1,2,…N},式中xa为点坐标的矢量。 则，每一个区域化变量Z:(x)的期望： E〔Z,(x)门=m,（常数)(i=1,2,…,N,) (1) 对于每一个区域化变量Z,(x)和Z(x)的互协方差函数为： ECz:(x)-Z,(×+h)]-m:m;=C(h);(,j=1,21…,N) (2) 对于每一个区域化变量Z:(x)和Z;(x)的互变异函数为： r(h)=是ECZ,(x+)-Z,()]〔Z,(x+)-Z,(x)》 (3) 当协同区域化变量的增量的均值及互变异函数存在且与其位置无关时，称该协同区域化 变量服从内蕴假设： ECZ,(x)-Z,(x+h)]=0 r,(h)=2ECZ,(x+)-Z,(x)Z(x+h-Z,(x)》 当协同区域化变质Z,(x)的期望及互协方差函数存在且平稳时，称该协同区域化变量服 从二阶平稳假设： 116

传统的 多元统计分析方法及数据 处理方 法几乎没有考虑到多元信息 的空 间特征 。 即便是 趋势面分析方法 , 在解释 自然现象或变量的空 间变化特征时也不能令人满意 。 例如趋势面分 析给 出剩余 图无法表示该剩余值 是由几个地质过程或几期矿化迭加 而成的 。 在物 化 探 数 据 中 , 观测值常被认 为由背景和异常两部分组成 , 但不能指出所谓 的背景 值相对于 多 大 空 间 尺度而言 , 也不能指出异常值是否是 由若干个 独立的作用综合形成的 。 地 质统计学是以区域 化变量理论为基础 , 以变异函数 为基本工具 , 研究那些在空间分 布上 既有随机性又有结构性 的 自然现 象的科学 。 区域化变量定义为以空间点 ` 的 3个直角 坐 标 x( 。 , x , , x 刃 为 自 变 量 的 随机场 Z x( 。 , ` 。 , , 二 ) = z ( x) , 它 是一种在空间上具有数值 的 实函 数 , 对 区 域 化 变 量 的结构性 及随机性的研究更符合一些 自然现象 ( 包括地质现象 ) 的 特殊性 , 从而能 更有效地 解决有关问题 。 但是传统地质统计学只限于对单变量的研究 , 而且没有充分考虑到空间尺度 对区域化变量研究的影响 。 近年来逐步形成的 多元地 质统计学就 是为了解决这些问题对 线性 地 质统计学 的改进 。 所谓 多元地质统 计学 是 以协 同区域化理论为 基础 , 以互变异函数为基本 工具 , 研究那些 定义于同一空间域中 、 既具有统 计相关 又具 有空 间位置相关的 多元信息空间 结构的地 质统计学 , 其主要方法是因子克立格法 ( F a c t or K r i g in g ) 。 吟 1 多元地质统计学的基本假设 ` ; 设有一个随机函数集 ( Z ` (幻 , -1 1 , 2 , 一 , N , }和 这些随机 函数的 一个 现 实 , 即区 域化 变量 { Z 。 ( ` ) ` = 1 , 2… , N 。 } 。 假设有涉及N , 个区域化变量的 样本集 , 并位子 N 个点处 : { 2 . ( 二 。 ) , ` = i , 2… , N , , a = 1 , 2 , … N } , 式 中二 。 为点坐标的 矢量 。 则 , 每一个区域化变 量Z ` (哟 的 期望 : E 〔Z ` (二 )〕 = 。 , (常数 ) ( ￡= 1 , 2 , … , N , ) ( 1 ) 对于每一个区域化变 量Z ` (幻 和 Z , ( x ) 的互协方差 函数为 : E 〔 z ` (二 ) 一 Z , ( x + h ) 〕 一 阴 ` nt 了 = C ` , ( h ) ; ( i , j = l , 2 : … , N , ) ( 2 ) 对于每一个 区域化变 量Z ` ( 幻和 Z , (劝 的 互变异函数为 : 1 ~ , _ , . , 、 一 、 _ _ 。 , . 。 ~ 、 r , ] ( 九 ) = 细 下厂 乙 左仁乙 , ( x + 1 ) 一 乙 ` ( x ) J . 〔乙 , 吸x + . ) 一 乙 , ` ( x ) J 全 ( 3 ) 当协同区域化变量 的增量的 均值 及互 变异函数存 在且 与 其位置无关 时 , 称该协同 区域化 变量服 从内蕴假设 : E 〔 Z ` ( 二 ) 一 Z ` ( 劣 + h ) 〕 = 0 1 一 _ ~ . 、 _ _ _ _ _ _ . ~ r ; , ( n ) = 、 下一 乙 戈〔乙 ` ( 戈 + h ) 一 乙 , ( 二 ) 〕 . 〔乙 1 ( x + h 一 乙 , (劣 ) 〕全 ` 当协同区域化变质Z ` (劝 的期望及互 协方差 函数存 在且平稳时 , 称 该协同 区域化 变量服 从二阶平稳假设 : 1 1 6

E〔Z,(x))=m: C:(h)=E[Z;(x).Z;(x+h)]-m:mj 互协方差与互变异函数之间有如下关系式： rh)=C(o)-2C,(4+C.h)1 (4) (4)式中：C,(o)=ECZ,(x)Z,(x)门-m:m, (5) C(h)=ECZ:(x+h)Z;(x))-mim; (6) C:(h)=E〔Z,(x+h)Z:(x)门-m;m, (7) 化 显然，(5)式为直接协方差，(6).(7)式为互协方差函数。 理论上，诸区域化变量当相距很远时（即h→∞）不相关，而在k方向上距离为h,时区 城变量Z(×:)与Z(x)的相关系数可写成： ri(k)=r(h)/Vri(h)ri(h) (8) 只要变异函数矩阵是半固定的，就有： -1≥r:(k)≤+1 2协同区域化矩阵及协同区域化的线性模型 在线性地质统计学中，一个变异函数可以由若干个变异性结构组成，或者说，把变异函 数曲线分解成若千个结构。同样，这里也可以把变异函数模型看成是5+1个系数：；与基 本变异函数g.(h)的线性组合： y,(h)=∑i9.(h) (9) -0 式中的u表示变异结构的数目，为yo(h),y,(h),y2(h),…y.(h)。注意，g.(h)必须是条件 负定，而且对于确定的“，系数b;的矩阵必须是半正定的。这样，以权系数之和为零的数 据的线性组合的方差将是正的。 (9)式中每一个基本变异函数9.(h)均具有清楚的物理定义，其变程（例如可以指示某一 地质作用的平均规模)把变异函数分解成若干结构的思想((9)式所示)是十分有用的。 它可以分析由这些结构定义的，在该空间尺度上各区域化变量之间的相关关系，且可以用由 系数b:;组成的诸N。×N。矩阵B。来描述。这些矩阵称之为“协同区城化”矩阵 B.=〔b,) (10) 不同空间结构g.(h)的相关系数r:(u)是： r,(u)=b;/√b,b, (11) 117

E 〔Z 。 ( x ) 〕 = 阴 ` C ; , ( h ) = E 〔Z ` ( 二 ) . 2 5 ( 劣 + h ) 〕 一 m ; m , 互 协方差 与 互变异函数之 间有如下关系式 : 、 , Z, 矛、 . 产 产任J 、声, 丹abt` 了口、 了扭了J f、了. 、 ~ 、 , 、 1 _ 。 _ . 、 ~ r , , 叹八 ) = U ` 八 0 ) 一 一 石产 L七 l , 吸拄 ) + U ; ` 戈月 ) 少 ` ( 4 )式 中 : C ` , ( o ) = E 〔Z ` (二 ) Z , (二 ) 〕 一 。 ` 。 , C ` , ( h ) = E 〔Z ` (劣 + h ) Z , (二 ) 〕 一 m . 拢 , C 了` ( h ) = E 〔 2 2 (男 + h ) Z ` (二 ) 〕 一 m , m ; 显然 , ( 5) 式 为直接协方差 , (6 ) 。 ( 7) 式为互协方差 函数 。 理论上 , 诸区域化变量当相 距很远时 ( 即h , o ) 不相关 , 域 变量 Z (二 ` ) 与 Z (二 , ) 的相 关系 数可写成 : r ` , (寿) = r 。 , ( h 。 ) /丫 r , 。 ( h * ) r , , ( h 。 ) 只 要变异函数矩阵是半固定的 , 就有 : 一 i ) r ` , ( k ) 镇 + 1 而在 掩方向上距离为 h 。 时区 ( 8 ) 2 协同区域化矩阵及协同区域化的 线性模型 在线性地 质统计学中 , 一个变异函数可 以 由若干个变异性结构组成 , 或者说 , 把 变异函 数曲线分解 成若干个结构 。 同样 , 这里 也可 以把 变异函数模型 看成是 : + 1 个 系 数 句 , 与 基 本变异函数 g 。 ( h) 的线性组合 : , ` , ( h ) 二 习 b : , , 。 ( h ) ( 9 ) 式中的 。 表示变异结构的数 目 , 为 夕。 ( h) , v : ( h ) , 为 h( ) , : 夕 : ( h ) 。 注 意 , 夕 。 ( h) 必须 是条 件 一 负定 , 而且对于 确定的 u , 系数 b ` 下的矩 阵必须是半正定的 。 这 样 , 以权 系数之和为零的 数 , 据的 线性组合的方差将是正的 。 ( 9) 式 中每一个基本变异函数 9 . h( )均具有清楚的物理定义 , 其变程 (例如可 以指示某一 地 质作用 的平均 规模 ) 把变异函数分解成若千结构的思 想 ( ( 9) 式所示 ) 是 十 分 有 用 的 。 它可 以分析由这些结 构定义的 , 在该空间尺度上各区 域化变量之间的相关关 系 , 且可 以用 由 系数 b ` 了组 成的诸 N 。 X N 。 矩阵 B 。 来描述 。 这些矩 阵称之为 “ 协 同区域化 ” 矩阵 B . = 〔 6 ; :〕 ( 1 0 ) 不 同空 间结构 g , ( h) 的相关系数 r ; , ( 的是 : , ` , ( 。 ) 二 b : , /召 瓦灭诀 ~ ( 1 1 ) 1 1 7

(i,i=1,2,…,N):(u=0,1,2,…,s) 当用相应的协方差C,(h)和K.(h)来代替(9)式中的r:,(h)和g.(h)时，(9)式可改写为： C()=∑6，K.() (12) 0 (12)式表示，可以把互协方差模型看成是s+1个系数b,:与基本协方差函数K,(h)的线性组 合0 在这里还要特别强调地指出，如果某一自然现象（如矿床）是多元随机过程的总和， (例如某一个矿床是由不同尺度（或期次）的矿化形成的)。而当这些多元随机过程的变异 函数9.()在试验变异函数曲线上有所反映时，这种多元随机过程才能被识别。 关于协同区域化的线性模型可以表述如下： 设有一组彼此具有一定程度相关性的随机函数{Z,（x)；i=1,2,…,N}被分解成一组不 相关的随机函数{y(x);4=0,1,2,…,s；p=1,2…,N,}· NV Z,(x) aiy"(x) (13) 0 (式(13)中p=1,2,…,N,其中有m<N,个是重要的)。 也就是说，可以找到一组变换系数a把Z:(x)变成另一组变量y(x),或把-组区域化变 量分解为不同尺度(“=0,1,2，s)上的区城化变量y(x)的线性组合，而每一尺度上的y(x) 对应于式(9)表示的空间结构。 了多元地质统计学的最优估计方法 在多元地质统计学研究中，根据多元空间信息可以估计下列3个量：(1)，应用协同克立 格法估计任一待估点（或区域）的某一区域化变量2，(x)的估计量Z,(x);(2),估计任一待 估点（或域)上某一区域化变量Z,(x)在不同空间尺度4(“=0,1,2，…，s)的条件下的空间分 量Z,"(x)的估计量Z:(x)；（3),研究在给定的空间尺度“上多元信息的基本情况，即估计任 一待估点（或域）的区域化因子y(x)。 下边将分别讨论其估计方法。 3.1区域化变量的协同克立格估计 有一组由N。个在统计上及空间位置上彼此相关的区域化变量{2：(x),=1,2,,N,}, 在二阶平稳下的期望值为： E{Z,(x)}=m: (i=1,2,…,V) 互协方差为： C,(h)=E{Z,(x+h)Z,(x)}-m,m1 互变异函数为： 118

( 萝, j = 1 , 2 , … , N 。 ) : ( “ = 0 , 1 , 2 , … , s ) 当用相 应的协方差 c 、 , ( h )和 K 。 ( h ) 来代替 ( 9 ) 式中的 r ` , ( h ) 和夕 。 ( h ) 时 , ( 9 ) 式可改写 为 : c , , ( h ) = 名 b ` : K 。 ( h ) ( 1 2 ) ( 1 2) 式表示 , 可 以把互协方 差模型看成是 : + 1个系数 b 。 亨与基本协 方差函数 K 。 ( h) 的线 性 组 合 。 在这里还要特别强调地指出 , 如果 某一 自然现象 ( 如矿床 ) 是多元随机过 程 的1总 和 , ( 例如某一个矿床是由不同尺度 ( 或期次 ) 的矿化形成的 ) 。 而当这些多元随机过程的 变异 函数 g 。 ( h) 在试验变异函数 曲线上有 所反映时 , 这种多元随机过程 才能 被识 别 。 关于 协同 区域化的 线性模型可以表述如下 : 设有 一组彼此具有 一定程度相关性的随机函数 <z ; (幻 ; f = 1 , 2 , 一 , N 。 } 被分解成一组不 相 关的随机 函数 {川 ( x) ; 。 = 。 , 1 , 2 , … , : ; p = 1 , .2 · , N , 卜 S 万 r z ` ( 二 ) 二 名 习 a : , , , “ ( “ ) ( 1 3 ) . 盛 O 户 . 1 ( 式 ( 1 5 ) 中 P = i , 2 , … , N 。 , 其 中有 。 < N 。 个是重要 的 ) 。 也就是说 , 可以找 到一组变换系数 武 ,把 Z , (劝 变成另一组变量 玛 ( 幻 , 或把一组区 域 化 变 量分解为不 同尺度( 。 二 O , 1 , 2 , … : ) 上的 区域化变量 y 二(幻 的 线性组合 , 而每一尺度上的琳 (二 ) 对应于式 ( 9) 表示的空间结构 。 3 多元地质统计学的最优估计方法 在多元地 质统 计学研究中 , 根据 多元空间信息可 以估计下列 3 个量 : ( 1 ) , 应用协 同克立 格法估计任 一待估点 ( 或区域 ) 的 某一区 域化变量 Z ` 〔哟 的估计量 Z ` ’ (川 多 ( 2) , 估计任一待 估点 ( 或域 ) 上某 一区域 化变量 Z ` ( 幻 在不同空间尺度 “ ( “ = 0 , 1 , 2 , … , “ ) 的 条件下的空间分 量Z ` “ ( x) 的 佑计量Z 梦(川 ; ( 3 ) , 研究在给定 的 空间尺度 u 上多元信息 的基本情况 , 即估计任 一待估点 ( 或域 ) 的区域化 因子 y 二( x) 。 下边将分别讨论其估计方法 。 3 。 1 区域 化变 t 的协 同克立格估 计 有一组 由 N 。 个 在统 计上及空 间位置上彼此相 关 的区域化 变 量{ Z ` ( x) , i = 1 , 2 , … , N 。 } , 在二阶平稳下的 期望值为 : E {Z ` ( 二 ) } 二 二 ` ( f 二 1 , 2 , … , N 。 ) 互协方差 为 : C , , ( h ) = E {Z 、 ( 劣 + h ) 一 Z , (戈 ) } 一 。 , m , 互变异函数为 : 1 1 8

r(a)=合ECz,(x+h)-Z,x门-(Z,x+)-2:x)} 设i0为i=1,2,…,N,中某一特定要估计的变量值。现在要估计支撑V(x。)上Z,。(x) 的平均值Z,。的估计量Z?,。’即Z,。是所有i个协同区域化变量的全部有用信息的线性组 合： (14) ai-l 式中=1,2，"，N,为变量数影4，=1,2，，n,为第i个变量的样品数：Z。,为第a个样品 第i个变量的信息值；：为第α个样品第个变量的权系数，求解。，的协同克立格方程 组是： 日，cw-Cw) n,0 0=1 (27) (15) g40-1 (i≠io) 相应的协同克立格方差是： v。=C0.10(W10,Vo)+0- 分分，co(w） (16) -14i-1 应当指出，在二阶平稳下式(17)成立： .,)）=C,(0)-2C,(h)+Ch) (17) 只有当C(h)=C,(h)时，下式才成立 y;(h)=C,(0)-C,(h) (18) 3.2空间分量的估计 可以把一组协同区城化变量{Z,(x),=1,2,…,N}分解成若干个结构变量Z(x), Z()=Z ( (19) 言年04=1 119

1 ~ ` _ ~ , . ~ 、 _ _ ~ , . 、 , , ` _ 、 r , , ( h ) = 一石一 乙 悦L乙 。 ( 劣 + 作 ) 一 乙 , ( 戈 ) j . L乙 了 ( 劣 + n ) 一 乙 八 x ) J 矛 ` 设 i0 为 i = 1 , 2 , … , N , 中某一特定要估计的 变量值 。 现在要估计支 撑 犷 ( ` 。 ) 上 Z ` 。 (幻 的平均 值Z 。 , 。 的估计 量Z , * 。 , 即 Z , , 。 是所有 ` 个协 同区域化变量的全部有用信息 的线 性 组 合 : N r . ` Z , ; 。 二 习 名 祝 ` aZ ; ` , l a ` 一 1 ( 1 4 ) 式中 ` 二 1 , 2 , … , N , 为 变量数 , a ` 二 1 , 2 , … , n ` 为 第 ` 个 变 量的样品数; Z 。 . 为 第 a 个 样 品 第 i 个 变量的信息值 ; 几 。 ` 为第 a 个样品第 i 个变量的权系数 , 求解 几 。 , 的协 同克 立格方 程 组 是 : 习 “ , , 万 ` , ( t, 。 ` , ” , , ) 一 。 , · 厅 , 。 , ( 犷 ! 。 v 一 夕` 圈 1 久 。 , o “ 1 a . 二 1 , 2 , … , n , f 二 l , 2 , 一 , N 。 ( 15 ) 。 ` 0 一 1 几 。 , = o ( 了若 1 0 ) 相 应的 协 同克立格方差是 : N二 ` 二 { 。 = 式 。 一 ` V ` 。 , 犷 ` 。 ’ · “ ` 。 一 买 。 双 “ 一 万 , 。 · `V , 。 , 一 , “ ” , 应 当指出 , 在二阶平稳下式 ( 17) 成立 : ~ , _ 、 l _ ~ . _ ~ 夕 ; , L九 ) = ` , , t o ) 一 、 不一 〔` , ` ( h ) + U , 八 h ) J ` ( 17 ) 只有当 C ` , ( h ) = C 了` ( h )时 , 下式才 成 立 v , ( h ) = C , s ( o ) 一 C ` , ( h ) ( 1 8 ) 3 。 2 空 间分 t 的估 计 可 以把一组协 同区域 化变量 { Z ; ( 幻 , Z ; ( x ) 二 E i = l , 2 , ~ , N , }分解成若 干个结 构 变 量 Z 二(川 , a 乙Z 之( x ) ( 1 9 ) 、 ; 叫E 王1 9

设0为i=1,2,…,N,中某一具体要估计的变量值，现在要估计任一点支撑x,上任一 空间结构4(u=0,1,…,s)条件下的Z(x)的估计量Z°(x),而2°(x。)可表示为所有个 协同区域化变量在空间结构“条件下的全部有用信息的线性组合： 含(x0)=三∑1Z: (20) 式(20)中的符号含义与式(14)相同，式(20)表示在点支撑x。上第0个变量(0是=1,2， ,N#个变量中的要估计的主要变量)第4个结构的空间分量的估计量。 如前所述，（或(9)所示)，将互变异函数分解成用4作为标记的若干个空间结构： .,)=yh=6g.() (21) 式(21)中的变异函数的各个分量y:(h)对应于式(19)中的正交空间分量Z(x)。 下边的问题是在以u(u=0,1,s)作为标记的空间结构条件下求式(20)中的权系数元。， 可以通过求解下列协同克立格方程组来求权系数，： Ny i ∑∑C(x,xai）+:=C:0.(x010,xa) j-1 8i-1 :0 1：0=1 (ae=1,2,,t, (22) i=1,2,…Nr) 401 ∑1.=0 (≠i0) ai-1 相应的协同克立格方差是： NP ax0,=C00(x0i0,x0f0）+410-∑ac,0:(xg0,xt) (23) I-1 a-1 式(24)，(25)与式(17)，(18)的区别在于前者的协同克立格方程组中的互协方差函数是定义 于以“作为标记的空间结构条件下。 3.3区域化因子的估计一因子克立格法 对于区域化因子的估计主要是因子克立格法，它是一种新的综合了主成分分析与克立格 技术的地质统计学方法。区城化因子反映了在给定空间尺度4(4=0,1，·，s)上多元信息的基 本情况。 为了讨论方便，先研究在单变量条件下区域化因子的估计。 令Z(x)为服从二阶平稳的区域化变量，而且可以把Z(x)表示为彼此正交的区域化因子 y"(x)的线性组合： 120

设 i0 为 i = 1 , 2 , 一 , N 二 中某一具体要估计的 变量值 , 现在要估 计任一点 支撑 x 。 上任 一 空 间结 构 。 ( 。 二 。 , 1 , 一 , : ) 条件下的 Z ? (幻 的 估计量 z ? ( x 。 ) , 而 Z ? ( “ 。 ) 可表示为所有 `个 协 同区域化 变量在空间结构 “ 条件 下的全部有用信息 的线 性组合 : N 犷 Z `夕x( 0) 二 E ` = 1 习 又一 Z · ` ( 2 0 ) u ` = 1 式 ( 20 ) 中的 符号含义 与式 ( 14) 相 同 , 式 ( 2 0) 表 示在点支撑 “ 。 上第 ’,0 个变 量 (’l0 是 f = 1 , 2 , … , N 二 个变量中的要估计 的主要变 量) 第 “ 个结构的空 间分 量的估计 量 。 如前所述 , ( 或 ( 9) 所示) , 将互变异函数分 解成用 u 作为标记 的若干个 空间结 构 : , ` , ( h ) 一 习 , ` , ( h ) 二 习 b `今, 。 ( h ) ( 2 1) 式 ( 2 1) 中的 变异函数的 各个分量 夕 ;了( h) 对应于式 ( 19 )中的正交空间分量 z ; (幻 。 下边的问题是在以 “ ( “ 二 o , 1 , … : ) 作为标记的 空间结构条件下求式 ( 20 ) 中的权系数 久 。 , , 可以通 过求解下列协 同克立格方程 组来求 权系数 久 。 ; : E 久, , C ` 孚( “ 。 . , x , , ) + 声 ` = C 。 言 . ` ( “ 。 . 。 , x 。 ; ) 刀 了= i 介乙 ” 了 D 乙e ` o 一 1 ( a ` = 1 , 2 , 一 , n ` f = 1 , 2 , … 万 。 ) ( 2 2 ) 2 1 1 . …1 一 1 乙 几 。 . = 0 ( f笋 10 ) 相应 的协同克立格 方差是 : a x 战 。 = C ` 。 ’ ` 。 ( x 。 , 。 , x 。 , 。 ) + ; ; 。 一 E 乙 几 · , e ` 乞 ` ( ` 。 ` 。 , , 。 , ) 1 0 1 口 了 · i ( 2 3 ) 式 ( 24 ) , ( 2 5) 与式之17 ) , ( 1 8 ) 的 区别在 于前者的协 同克立格方程组中的互协方差函数是定 义 于以 。 作为 标记的空 间结构条件下 。 3 。 3 区 域 化因子 的估 计一 因子 克 立格 法 对于 区域化因子 的估计主要是 因子克立格法 , 它 是 一种新的综合 了主 成分分析与 克立格 技术 的地 质统计学方 法 。 区 域化因子反映了 在给定空间尺度 “ ( 。 = 0 . 1 , 一 , s )上 多元信息 的基 本情况 。 为了讨论方便 , 先研究 在单变量条件下区域化因 子的估计 。 令 Z ( 幻 为服从 二阶平稳 的 区域化变量 , 而且可 以把 Z (x ) 表 示为彼此正 交的 区域化 因子 y . ( 二 ) 的线性组合 : 1 2 0

2(x)=2 a.y"(x) (26) g=0 由于y(x)彼此正交，因而有： C。.CY(x),Y,(x+h)门=C.,.(h)=0 (27) (u,v,=0.1,,s) 对应y“()有一个协方差函数，从而相对于区域化变量Z(x)的协方差函数C(h)可分解为： C(h)=∑aC.(h) (28) -0 式中的a是对应空间结构的基本值的平方。 现在，我们要在给定空间结构u(“=0,1,…,s)条件下，估计得活点x。上的区域化因子 y.(x。)的估计量(x。),它可表示为如下线性组合： =月，2，） (29) 其无偏条件是：ECy(xo)-y.(x。)门=0， 由或26)知：BC2(门=2，BC(x门=m 类似地有：E2门=户a.EC:w门=m 据29)式有：Ec2w门-月a,(空，2，)门=m 无偏条件可改写为： 1，E〔Z(x,)门-ECy.(x)门=0 a-1 即 m…∑-ECy.(x,)门=0 a-1 这样，权系数1应满足的谱遍条件为： ∑8.=0 (30) aa E〔y(x)门=0 (31) 当m=0时，无需(30)式条件。因(31)式为结构变量的剩余，m=0是肯定的。当m卡0时，必 须将m分解并给予不同y.(x)，这时，应把(31)式看成是滤出局部均值m后的结构变量的剩 余。这时，(26)式变为： Z(x)=∑y.(x)+m y=0 121

Z ( 二 ) 一 习 a . , · ( x ) ( 2 6 ) 由于 y “ (幻 彼此正 交 , 因而 有 : C 。 。 〔Y 。 (劣 ) , Y 。 ( x + h ) 〕 = C . , 。 ( h ) = 0 ( 2 7 ) ( u , 刀 , = 0 。 1 , 一 , s ) 对应 夕 “ ( x) 有 一个协方 差函数 , 从而相对 于 区域化变量 Z ( x) 的协方差函数 C ( h) 可 分解为 : C ( h ) = 习 a 若C 。 ( h ) ( 2 8 ) 式中的 。 艺是对应空间结构 的基本值的 平方 。 现在 , 我 们要在给定空间结构 “ ( 。 = 。 , 1 , 一 , : ) 条件下 , 估计得活点 二 。 上 的 区域 化 因 子 y 。 (二 。 ) 的估计量” x( 。 ) , 它可 表示为如下 线性组合 : 夕 , ( “ 。 ) = 习 久 。 Z (二 。 ) ( 2 9 ) 其无 偏条件是 : E 〔 y 份( “ 。 ) 一 y “ ( x 。 )〕 二 。 , 由式 ( 2 6 ) 知 : E 〔Z ( x ) 〕 = 习 a . E 〔 , · ( 二 )〕 = m 类似 地 有 : E 〔 Z · ( x )〕 = 习 。 . E 〔 y 份( x )〕 = 二 据 ( 2 9 ) 式有 : E 〔2 . ( x )〕 无偏条件可改写 为 : 二 E 〔虽 “ · Z `X · , 〕 = m 。 · 习ō ó二 公几 。 E 〔 Z ( x 。 )〕 一 E 〔, 。 ( x 。 )〕 = 0 。 · 名久 d 一 E 〔, . (二 。 )〕 = o 这 样 , 权系数礼应满足 的普遍条件为 : 习久 。 = 。 E 〔y . (劣 ) 〕 = 0 ( 3 0 ) ( 3 1 ) / | | 厂、1 1 、 当二 = 0时 , 无 需 ( 30 )式条件 。 因 ( 31 ) 式为结构变量的剩余 , m = 。是肯定的 。 当 , 今 。时 , 必 须 将。 分解并给予不同夕 . (幻 , 这时 , 应把 ( 3 1 ) 式看 成是滤出局部均值 m 后 的结构变量 的剩 余 。 这时 , ( 2 6) 式变为 : Z ( 二 ) = E y . ( x ) + 川 1 2王

类似地：2(x)=∑y(x)+m (32) u=0 当y(x)是y.(×)的估计量时，其估计方差c层是： 02=E{Cy.(xo)-y(x)〕2} =C(x。,xa)-2a.□.C(x。,x.) +∑已1，C(x.,*） (33) a-1月-1 令F=0-2红（工。-0），并分别对，及求偏导，经整理，得到对每一y(x)求：的 克立格方程组： C.(x,x）-4=a.C.(x0,) Be1 （a=1,2,…n) (34) ：=0 =1 多变量条件下区域化因子的估计问题。因篇幅有限，本文不再讨论。 4结 论 (1)多元地质统计学是对传统地质统计学的改进，它是以协同区域化理论为基础，研究 那些定义于同一空间域中、既有统计相关又具空问位置相关的多元信息空间结构的地质统计 学。 (2)多元地质统计学是把变异函数模型表征为s+1个系数b:与具有清楚物理意义的基 本变异函数9.(h)的线性组合，即把变异函数分解成若干个空间结构，然后分析由这些结构 定义的空间尺度上区域化变量的相关关系。该相关关系是由协同区域化矩阵B。=〔b:]来表 示。 (3)多元地质统计学的基本手段是协同立格法，主要方法是因子克立格法，其研究内容 为：①，考虑多元信息之间的相关关系应用协同克立格法估计任一待估域某一区域化变量 Z,(x)的估计量；②，估计任一待估域某一区域化变量在不同空间尺度(4=0.1，…，s)上空 间分量z:(x)的估计量；③估计任一待估域区域化因子g(x),研究在给定空间尺度4(u=0, 1,2,…,s)下多元信息的基本情况。 参考文献 1A.G.儒尔奈耳著；侯景儒等译。矿业地质统计学。北京：治金工业出版社，1982 2侯景儒，黄竞先编译。地质统计学的理论与方法。北京：地质出版社，1990 3侯景儒等。北京科技大学学报，1991,13(2)：95 4 Hans Wackernagel,Geostatistical Techniques for Interpreting Multivariate Spacial Information Quantitative Analysis of Mineral and Energy Resou- rces,New York:1988:393-409 122

类似地 : Z ’ ( x ) = 习 夕于( x ) + m . ( 3 2 ) 当” ( 二 。 ) 是 夕 。 ( x 。 ) 的估计量时 , 其估计方差 , 尝是 : 。 馨= E (〔夕 。 (二 。 ) 一 夕宁( 二 。 )〕 “ } = C ( x 。 , “ 。 ) 一 Z a 。 兄 几 。 C ( ` 。 , x 。 ) + 乙 乙 久 。 又, c ( , 。 , “ , ) ( 3 3 ) a 二 1 刀一 1 令 F 二 a ; 一 2召 。 一 。 ) , 并分另。对 , 。 及 , 求偏 导 , 经整理 , 得 到对每一 夕: ( 二 )求 “ : 的 克立格方程组 : 乙 l 乙 久芬C 。 ( x 。 , 二 , ) 一 群 = a “ C 。 ( x 。 , x 。 ) 口忿 1 乙 七 = 0 口 = 1 ( a = 1 , 2 , 一 n ) ( 3 4 ) 多变 量条件下 区域化 因子的 估计问题 。 因篇幅 有限 , 本文不再讨论 4 结 论 ( 1) 多元地质统 计学是对 传统地质统计学的 改进 , 它 是以 协同区域化理论为基础 , 研究 那些定义 于 同一空间域 中 、 既有统 计相 关又具空间位置相关的 多元信息 空间结构的地质统计 学 。 ( 2) 多元地 质统计学是把变异函数模型表征为 : + 1个系数句 , 与具 有清楚物理意义 的 基 本变 异函数 g 。 ( h) 的线 性组 合 , 即把变异 函数分 解成若干个空间结构 , 然后分析 由这 些结构 定义的 空间尺度上 区域 化变量 的相 关关 系 。 该相 关关系是 由协同区域 化矩阵 B 。 = 〔句 ,〕来 表 示 。 ( 3) 多元地质统计 学的基本手 段是 协同立 格法 , 主要方法 是因子克立格法 , 其研究内容 为 : ① , 考虑多元信 息 之间的相 关关系应用协 同克立格法估计任一待估域某一区 域 化 变 量 Z ` x( ) 的估计量 ; ② , 估计任 一待估域某一区域化变量在不 同空间尺 度u( u = 。 。 1 , … , : )上 空 间分 量群 (幻 的 估计量 ; ③估计任一待估域区 域化因子 买 (幻 , 研究 在给定空 间 尺 度u( u 二 o , 1 , 2 , … , : ) 下 多元信息 的基本情况 。 参 考 文 献 A . G . 儒 尔奈耳著 ; 侯景儒等译 . 矿业地 质统计学 . 北京 : 冶金工业 出版社 , 1 9 8 2 侯景儒 , 黄 竞先编译 。 地质统计学的 理论与方法 . 北京 : 地质出版社 , 1 9 9。 侯景 儒等 。 北京 科技大学 学报 , 1 9 9 1 , 1 3 ( 2 ) : 9 5 H a n s W a c k e r n a g e l 。 G e o s t a t i s t i e a l T e e h n i q u e s f o r I n t e r p r e t i n g M u l t i v a r i a t e S p a e i a l I n f o r m a t i o n Q u a n t i t a t i v e A n a l y s i s o f M i n e r a l a n d E n e r g y R e s o u - r e e s , N e w Y o r k ; 1 9 8 8 : 3 9 3一 4 0 9 1 2 2