深圳大学：《工程数学》 第四章 级数

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第四章级数 §1复数项级数

2 第四章 级数 §1 复数项级数

1.复数列的极限设{an}(n=1,2…,)为一复数列, 其中αn=an+in,又设a=a+ib为一确定的复数 如果任意给定≥0,相应地能找到一个正数 Na)使|an-cN时成立,则a称为复数 列{an}当n-o时的极限,记作 Im a 々个 C n→0 此时也称复数列{an}收敛于a

3 1. 复数列的极限 设{an}(n=1,2,...)为一复数列, 其中an =an+ibn , 又设a=a+ib为一确定的复数. 如果任意给定e>0, 相应地能找到一个正数 N(e), 使|an-a|N时成立, 则a称为复数 列{an}当n时的极限, 记作 a a  n n lim 此时也称复数列{an}收敛于a

定理一复数列{an}(n=1,2,)收敛于a的充要 条件是iman=a.mbn=b n→0 n→0 [证]如果 lima=a,则对于任意给定的e>0, n→00 就能找到一个正数N,当n>N时 (an +ibm)-(a+ibk nI Jan-akslcan-a)+i(b-b)kE 所以 lim a=a,同理limb,=b n→>∞ n→>0

4 定理一 复数列{an}(n=1,2,...)收敛于a的充要 条件是 a a bn b n n n     lim ,lim lim , lim . | | | ( ) ( ) | | ( ) ( ) | a a b b a a a a i b b a ib a ib n n n n n n n n n   -  -  -   -     所以 同理 则 e e [证] 如果 , 则对于任意给定的e>0, 就能找到一个正数N, 当n>N时, a a  n n lim

反之,如果 lima=a, limb=b n→) n→>O 则任给,存在N,当n>N时, <-b-b 2”n 从而有 a-a=(an-a)+i(b-b) ana+b,-bke 所以 lima=a n→00 5

5 反之, 如果 lim . | | | | | | | ( ) ( ) | 2 ,| | 2 | | , , , lim ,lim a a e a a e e e   -  -  -  -  - -  -        n n n n n n n n n n n n n a a b b a a i b b a a b b N n N a a b b 所以 从而有 则任给 存在 当 时

2.级数概念设{an}={an+ibn}(n=1,2,)为一复 数列,表达式 Cn=1+C,+…+an+ 称为无穷级数,其最前面n项的和 Sn=1+,+.+, 称为级数的部分和.如果部分和数列{sn}收敛, 则级数∑an称为收敛,并且极限ims=称 n=1 为级数的和如果数列{s}不收敛,则级数 ∑a称为发散

6 2. 级数概念 设{an}={an+ibn}(n=1,2,...)为一复 数列, 表达式        n n an a1 a2 a 1 . . { } , , lim 1 1 称为发散 为级数的和 如果数列 不收敛 则级数 则级数 称为收敛 并且极限 称         n n n n n n n s s s a a 称为无穷级数, 其最前面n项的和 sn =a1+a2+...+an 称为级数的部分和. 如果部分和数列{sn}收敛

定理二级数∑an收敛的充要条件是级数 ∑a和∑bn都收敛 n=1 证]因sn=a1+a2+.+an2=(a1+a2+…+an) +i(b1+b2+…+bn 12 其中σn=a1+a2+.+an,zn=b1+b2+.+bn分别为 ∑an和∑b的部分和,由定理 {sn}有极限存在的充要条件是{an}和{z}的极 限存在,即级数∑a和∑b,都收敛 n=1

7 定理二 级数 收敛的充要条件是级数 和 都收敛 [证] 因sn =a1+a2+...+an =(a1+a2+...+an) +i(b1+b2+...+bn)=sn+itn , 其中sn =a1+a2+...+an , tn =b1+b2+...+bn分别为 和 的部分和, 由定理一, {sn}有极限存在的充要条件是{sn}和{tn}的极 限存在, 即级数 和 都收敛.   n1 a n   n1 n a   n1 n b   n1 n a   n1 n b   n1 n a   n1 n b

定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数 项级数的审敛问题 而由实数项级数∑a和∑b收敛的必要条件 lim a=0和 lim b=0 n→00 n→>00 立即可得 lima=0,从而推出复数项级数 ∑an收敛的必要条件是lman=0

8 定理二将复数项级数的审敛问题转化为实数 项级数的审敛问题. lim 0. lim 0, lim 0 lim 0, 1 1 1                  n n n n n n n n n n n n n n a b a b a a a 收敛的必要条件是 立即可得 从而推出复数项级数 和 而由实数项级数 和 收敛的必要条件

定理三 如果∑|an收敛则∑a也收敛且不等式 2a∑|an成立 由于 C-+ n=1 而|an√a2+b2, bk?+b2

9 定理三 成立 如果 收敛 则 也收敛 且不等式              1 1 1 1 | | | | , , n n n n n n n n a a a a 2 2 2 2 1 2 2 1 | | ,| | | | , n n n n n n n n n n n a a b b a b a a b             而 由于 [证]

可知级数∑|an∑b嘟收敛因而 n=1 ∑an和∑b也都收敛,则∑a,是收敛的 而又因区a∑|a因此 k ∑|ak n→)0 1- 或∑aA∑|a k=1 k=1 10

10                                   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 | | lim lim | | | |, , . | | | | , k k k k n k k n n k k n n k k n k k n n n n n n n n n n a b a b a a a a a a a 或 而又因 因此 和 也都收敛 则 是收敛的 可知级数 及 都收敛 因而