深圳大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第11讲 二元随机变量

元随机变量

2 二元随机变量

定义2.5如果每次试验的结果对应着一组确 定的实数(与,2,…,m,它们是随试验结果不同 而变化的n个随机变量,并且对任何一组实数 x1x2,…xm,事件"1≤x1,2xx2,…,mn≤xn"有确定 的概率,则称n个随机变量的整体(,2…,m) 为一个n元随机变量(或n元随机向量) 定义2.6称n元函数 F( n)=P(51≤x1,2 on-n )∈R 为n元随机变量的分布函数

3 定义 2.5 如果每次试验的结果对应着一组确 定的实数(x1 ,x2 ,…,xn ), 它们是随试验结果不同 而变化的n个随机变量, 并且对任何一组实数 x1 ,x2 ,…,xn , 事件"x1x1 ,x2x2 ,…,xnxn " 有确定 的概率, 则称n个随机变量的整体(x1 ,x2 ,…,xn ) 为一个n元随机变量(或n元随机向量) 定义 2.6 称n元函数 F(x1 ,x2 ,…,xn )=P(x1x1 ,x2x2 ,…,xnxn ) (x1 ,x2 ,…,xn )Rn 为n元随机变量的分布函数

汪意 事件"51≤x12≤x2,,n≤xn表示n个事件 xx1},{2x2},…,(n≤xn}的交事件,即 {51x1}0{2x2.{nxn 如前所述,n个事件的交事件通常不好计算,要 利用乘法法则来进行计算.即利用公式 P(A1A2…,An)=P(1)P(A241)P(3|41A2) P(AMAA2.An-1)

4 注意 事件"x1x1 ,x2x2 ,…,xnxn "表示n个事件 {x1x1},{x2x2},…,{xnxn}的交事件, 即 {x1x1}{x2x2}…{xnxn} 如前所述, n个事件的交事件通常不好计算, 要 利用乘法法则来进行计算. 即利用公式 P(A1A2…An )=P(A1 )P(A2 |A1 )P(A3 |A1A2 )… …P(An |A1A2…An-1 )

)离散型 1.联合分布 定义2.7如果二元随机变量(,)所有可能取 的数对为有限或可列个,并且以确定的概 率取各个不同的数对,则称(2,m)为二元离 散型随机变量

5 (一)离散型 1. 联合分布 定义 2.7 如果二元随机变量(x,h)所有可能取 的数对为有限或可列个, 并且以确定的概 率取各个不同的数对, 则称(x,h)为二元离 散型随机变量

为了直观,可以把(ξ,m)所有的可能取值及相 应概率列成表,称为(,m)的联合概率分布表 y2 y P11 p1 P21 22 P pi2 pI

6 为了直观, 可以把(x,h)所有的可能取值及相 应概率列成表, 称为(x,h)的联合概率分布表 x h y1 y2 … yj … x1 p11 p12 … p1j … x2 p21 p22 … p2j … … … … … … … xi pi1 pi2 … pij … … … … … … …

也可以用一系列等式来表示二元离散型随机 变量(,)的联合概率分布 P{5=x,7=%分}=P(,=1,2, 这都被称作与)的联合分布律,具有性质: (1)P≥0

7 也可以用一系列等式来表示二元离散型随机 变量(x,h)的联合概率分布. P{x=xi ,h=yj}=pij (i, j=1,2,…) 这都被称作x与h的联合分布律, 具有性质:  =  i j i j i j p p (2) 1 (1) 0

例1同一品种的5个产品中,有2个正品,每次 从中取1个检验质量,不放回地抽取,连续2次, 己"=0"表示第次取到正品,而"E="为第k 次取到次品(k-1,2)写出(1,)的联合分布律

8 例1 同一品种的5个产品中, 有2个正品, 每次 从中取1个检验质量, 不放回地抽取, 连续2次, 记"xk=0"表示第k次取到正品, 而"xk=1"为第k 次取到次品(k=1,2). 写出(x1 ,x2 )的联合分布律

解按乘法公式有 P{951=0,52=0} P(1=0}P(2=0|5=0}=×=0.1 23 P151=0,2=1}=×n=0.3 32 P{51=1,92=0}=x×=0.3 32 P151=1,52=1}=× 4 0.3

9 解 按乘法公式有 0.3 4 2 5 3 { 1, 1} 0.3 4 2 5 3 { 1, 0} 0.3 4 3 5 2 { 0, 1} 0.1 4 1 5 2 { 0} { 0 | 0} { 0, 0} 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 = = =  = = = =  = = = =  = = = = =  = = = = x x x x x x x x x x x P P P P P P

列成概率分布表为 0 0.1 0.3 0.3 0.3

10 列成概率分布表为 x2 x1 0 1 0 0.1 0.3 1 0.3 0.3

边缘分布与联合分布的关系 元随机变量(,)中,分量ξ或m)的概率分 布称为(,)的关于或m)的边缘分布.如果 已知(,n)的联合分布为 P15=x,7=y}=P(,=1,2…) P=x)=∑P(=x,=y)=∑mn=2 P(=y)=∑P(=x,7=y1)=∑P=p/2

11 边缘分布与联合分布的关系 二元随机变量(x,h)中, 分量x(或h)的概率分 布称为(x,h)的关于x(或h)的边缘分布. 如果 已知(x,h)的联合分布为 P{x=xi ,h=yj}=pij (i, j=1,2,…) 则 ( 1,2,...) ( ) ( , ) ( 1,2,...) ( ) ( , ) (2) (1) = = = = = = = = = = = = = =     j P y P x y p p i P x P x y p p j i i j i j i j i j i j j i i j x x h x x h