第五章大数定律与中心极限定理
2 第五章 大数定律与中心极限定理
切贝谢夫不等式 设随机变量ξ有期望值E及方差D2,则任给 E>0,有 P(S-ESPESUS D P(-Ee)≥1
3 切贝谢夫不等式 设随机变量x有期望值Ex及方差Dx, 则任给 e>0, 有 2 2 (| | ) 1 (| | ) e x x x e e x x x e D P E D P E − − −
示意图 px) <DE& Es ES+E
4 示意图 Ex−e Ex Ex+e j(x) x Dx/e 2
证如ξ是离散型随机变量,那么 P(-E6)=∑P(=xk)=∑pk lxK -Esc El|≥E (xk -Es) 2 pk (xk-Es DE pk
5 证 如x是离散型随机变量, 那么 2 2 2 | | 2 2 | | | | ( ) ( ) (| | ) ( ) e x e x e x x x e x x e x e x e D p x E p x E P E P x p k k k x E k k x E k x E k k k k = − − − = = = − − −
如果ξ是连续型随机变量,ξx),则 P(-E6)=(x)x x-e5>E (x-E2)2 E stoo(x-E5? p(xdr D
6 如果x是连续型随机变量, x~j(x), 则 2 2 2 | | 2 2 | | ( ) ( ) ( ) ( ) (| | ) ( ) e x j e x j e x x x e j x e x e D x dx x E x dx x E P E x dx x E x E = − − − = + − − −
例1设ξ是掷一颗骰子所出现的点数,若给定 E=1,2,实际计算P(-E4,并验证切贝谢夫 不等式成立 解因P(=k)=1/6,(k=1,2,3,4,5,6) 1+2+3+4+5+67 Es E21+4+9+16+25+3691 6 6 D=E22-(E2)2 9149182-14735 12 D352 E=1: =P(-1) D535351 P 4×12483
7 例1 设x是掷一颗骰子所出现的点数, 若给定 e=1,2, 实际计算P(|x−Ex|e), 并验证切贝谢夫 不等式成立. 解 因P(x=k)=1/6, (k=1,2,3,4,5,6) | 2) 2 7 (| 3 1 48 35 4 12 35 2 : | 1) 2 7 (| 3 2 12 35 1: 12 35 12 182 147 4 49 6 91 ( ) 6 91 6 1 4 9 16 25 36 , 2 7 6 1 2 3 4 5 6 2 2 2 2 2 = = − = = = = = − = − = − = − = = + + + + + = = + + + + + = x e x e x e x e x x x x x P D P D D E E E E
例2设电站供电所有10000盏电灯,夜晚每 盏灯开灯的概率都是0.7,而假定开关时间彼 此独立,估计夜晚同时开着的灯数在6800与 7200之间的概率
8 例2 设电站供电所有10000盏电灯, 夜晚每一 盏灯开灯的概率都是0.7, 而假定开关时间彼 此独立, 估计夜晚同时开着的灯数在6800与 7200之间的概率
解令为同时开灯的数目,则点B(1000,0.7) 7199 P(68005<7200)=∑c600×0.7×0.300 k=6801 如果用切贝谢夫不等式估计 E5=np=10000×0.7=7000 D5=mpq=10000×0.7×0.3=2100 P{6800<5<7200}=P(5-7000k200 2100 ≈0.95 200 可见只要有供应7200盏灯的电力就够用
9 解 令x为同时开灯的数目, 则x~B(10000, 0.7) 0.95 200 2100 1 {6800 7200} (| 7000 | 200) 10000 0.7 0.3 2100 10000 0.7 7000 : (6800 7200) 0.7 0.3 2 7199 6801 10000 10000 − = − = = = = = = = = − x x x x x P P D npq E np P C k k k k 如果用切贝谢夫不等式估计 可见只要有供应7200盏灯的电力就够用
大数定律的概念 例1掷一颗骰子,出现1点的概率是1/6,在掷的 次数比较少时,出现1点的频率可能与1/6相差 很大,但是在掷的次数很多时,出现1点的频率 接近1/6是必然的 例2测量一个长度a,一次测量的结果不见得 就等于a,量了若干次,其算术平均值仍不见得 等于a,但当测量次数很多时,算术平均值接近 于a几乎是必然的
10 大数定律的概念 例1 掷一颗骰子, 出现1点的概率是1/6, 在掷的 次数比较少时, 出现1点的频率可能与1/6相差 很大, 但是在掷的次数很多时, 出现1点的频率 接近1/6是必然的. 例2 测量一个长度a, 一次测量的结果不见得 就等于a, 量了若干次, 其算术平均值仍不见得 等于a, 但当测量次数很多时, 算术平均值接近 于a几乎是必然的
算术平均值 在相同条件下对某一个随机变量进行反复地 试验,计划试验n次,就试验方案而言,这样的 试验将产生出相互独立且同样分布的n个随机 变量,52,…,n.将这n个随机变量加起来除以n 称做这n个随机变量的算术平均值, 记作=5++…+5_1 ∑5 n 例如2=2 2 1+52+53+94+5 s ,等等 5 当然,算术平均值仍然是随量
11 算术平均值 在相同条件下对某一个随机变量进行反复地 试验, 计划试验n次, 就试验方案而言, 这样的 试验将产生出相互独立且同样分布的n个随机 变量x1 ,x2 ,...,xn . 将这n个随机变量加起来除以n 称做这n个随机变量的算术平均值, , . , , 5 , 2 1 1 2 3 4 5 5 1 2 2 1 1 2 当 然 算术平均值仍然是随机变 量 例 如 等 等 记 作 x x x x x x x x x x x + + + + = + = = + + + = = n i i n n n n