深圳大学：《工程数学》 积分变换 第5讲

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拉普拉斯变换

2 拉普拉斯变换

对于一个函数(1,有可能因为不满足傅氏变 换的条件,因而不存在傅氏变换 因此,首先将(1)乘上u(,这样小于零的部分 的函数值就都等于0了 而大家知道在各种函数中,指数函数e/(>0) 的上升速度是最快的了,因而e下降的速度 也是最快的 因此,几乎所有的实用函数以()乘上()再乘上 e后得到的(1()e傅氏变换都存在

3 对于一个函数j(t), 有可能因为不满足傅氏变 换的条件, 因而不存在傅氏变换. 因此, 首先将j(t)乘上u(t), 这样t小于零的部分 的函数值就都等于0了. 而大家知道在各种函数中, 指数函数e bt (b>0) 的上升速度是最快的了, 因而e -bt下降的速度 也是最快的. 因此, 几乎所有的实用函数j(t)乘上u(t)再乘上 e -bt后得到的j(t)u(t)e-bt傅氏变换都存在

f() f(tu(te- pt

4 t f(t) O t f(t)u(t)e-bt O

对函数g()u(O)e例(β>0)取傅氏变换,可得 +0 GBo)= (t)u(t)e"e Jodt -Jo f(e(B+odt=f(t)esdt 其中s=B+j0,f()=q(t)u() B 若再设F(s)=j +oO 则得F(s)=f()edt

5 对函数j(t)u(t)e-bt (b>0)取傅氏变换, 可得     + - + - + - + + - - - =       - = = + = = = = 0 0 0 ( j ) j ( ) ( ) e d j ( ) j , ( ) ( ) ( ) ( ) e d ( ) e d ( ) ( ) ( ) e e d F s f t t s F s G s f t t u t f t t f t t G t u t t s t t s t t t 则得 若再设 其中 b b  j  j b b  b  b

定义设函数当10时有定义,而且积分 f(t)edt(s是一个复参量) 在s的某一域内收敛,则由此积分所确定的函 数可写为 F(s)=f(tedt (21) 称此式为函数f1)的拉普拉斯变换式(简称拉 氏变换式),记为 F(s)=[f()] F(s)称为()的拉氏变换(或称为象函数).而(t) 称为F(s)的拉氏逆变换(或象原函数)记为 f)[F(s)也可记为fF()

6 定义 设函数f(t)当t0时有定义, 而且积分 ( )e d ( ) 0  f t s t t s是一个复参量 + - ( ) ( )e d (2.1) 0 + - F s = f t t s t 在s的某一域内收敛, 则由此积分所确定的函 数可写为 称此式为函数f(t)的拉普拉斯变换式(简称拉 氏变换式), 记为 F(s)=L [f(t)] F(s)称为f(t)的拉氏变换(或称为象函数). 而f(t) 称为F(s)的拉氏逆变换(或象原函数)记为 f(t)=L -1 [F(s)] 也可记为f(t)F(s)

0t0 根据拉氏变换的定义,有 T[u(0]=e-dt 这个积分在Re(s)>0时收敛,而且有 +oo esdt 0 S 所以[v() (Re(s)>0)

7 例1 求单位阶跃函数 的拉氏变换      = 1 0 0 0 ( ) t t u t  + - = 0 [u(t)] e dt s t L 根据拉氏变换的定义, 有 这个积分在Re(s)>0时收敛, 而且有 (Re( ) 0). 1 [ ( )] 1 0 e 1 e d 0 =  = +  = - - + -  s s u t s s t s t s t 所以 L

例2求指数函数)=e的拉氏变换(k为实数) 根据(2.1)式,有 + yIf(o]= ee sdt=l eisx'dt 这个积分在Re()k时收敛,而且有 (S-h)t e dt= (S-k) e k lo S-k 所以[e″]= f-k (re(s)>ky 其实为复数时上式也成立,只是收敛区间 为Re(s)>Re(k)

8 例2 求指数函数f(t)=ekt的拉氏变换(k为实数). 根据(2.1)式, 有   + - - + - = = 0 ( ) 0 [ f (t)] e e dt e dt kt s t s k t L (Re( ) ). 1 [e ] 1 e 1 e d 0 ( ) 0 ( ) s k s k s k s k t kt s k t s k t  - = - = - = + - - + - -  所以 L 这个积分在Re(s)>k时收敛, 而且有 其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间 为 Re(s)>Re(k)

拉氏变换的存在定理若函数f(满足 1,在仑0的任一有限区间上分段连续 2,当t)+∞时,f(1)的增长速度不超过某一指数 函数,即存在常数M0及C≥0,使得 ()≤Mec,0≤1c上一定存在,右端的积分在 Re(s)≥C1>C上绝对收敛而且一致收敛,并且在 Re(s)>c的半平面内,F(s)为解析函数

9 拉氏变换的存在定理 若函数f(t)满足: 1, 在t0的任一有限区间上分段连续 2, 当t→+时, f(t)的增长速度不超过某一指数 函数, 即存在常数M>0及c0, 使得 |f(t)|Me ct, 0tc上一定存在, 右端的积分在 Re(s)c1>c上绝对收敛而且一致收敛, 并且在 Re(s)>c的半平面内, F(s)为解析函数

Meci f(t) M O

10 M Me ct f(t) O t