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傅氏变换的性质
2 傅氏变换的性质
这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质,为了叙 述方便起见,假定在这些性质中,凡是需要求 傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条 件,在证明这些性质时,不再重述这些条件
3 这一讲介绍傅氏变换的几个重要性质, 为了叙 述方便起见, 假定在这些性质中, 凡是需要求 傅氏变换的函数都满足傅氏积分定理中的条 件, 在证明这些性质时, 不再重述这些条件
线性性质设F1(o)=.[f() F2(o)=.[2(O),ax,B是常数,则 [f1(t)+()]=aF1(O)+BF2()(1.13) 这个性质的作用是很显然的,它表明了函数线 性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换的线 性组合.它的证明只需根据定义就可推出 同样,傅氏逆变换亦具有类似的线性性质,即 [aF1(o)+BF2(o)]=of()+B2(t)(1.14)
4 线性性质 设F1 (w)=F [f1 (t)], F2 (w)=F [f2 (t)], a,b是常数, 则 F [af1 (t)+bf2 (t)]=aF1 (w)+bF2 (w) (1.13) 这个性质的作用是很显然的, 它表明了函数线 性组合的傅氏变换等于各函数傅氏变换的线 性组合. 它的证明只需根据定义就可推出. 同样, 傅氏逆变换亦具有类似的线性性质, 即 F -1 [aF1 (w)+bF2 (w)]=af1 (t)+bf2 (t) (1.14)
2.位移性质 [f(t±o)=e1/0.%Lf(t)(1.15) 证由傅氏变换的定义,可知 +OO Af(±)=f(±t)edt (令t士10=1)=「f(u)elod e-p。f(l-d=cm,[( 同理有 [F(O千O0)=f()e0
5 2. 位移性质 [ ( )] [ ( )] (1.15) 0 0 f t t e f t j t F F w = j t t u t u t t F f t f u u f t t t u f u u f t t f t t t 0 0 0 0 [ ( )] ( ) e e ( ) e d e [ ( )] ( ) ( ) e d [ ( )] ( ) e d 0 1 j j j j ( ) 0 j 0 0 w w w w w w w w - + - - + - - + - - = = = = = = F F F 同理有 令 证 由傅氏变换的定义, 可知
微分性质如果f)在(-∞,+∞)上连续或只有有 限个可去间断点,且当团)+∞时,f(t)->0,则 [f(O)]=az[() (1.17) 证由傅氏变换的定义,并利用分部积分可得 +oO If"(切)]=|f"(t) e Jot +oO =f(t) o +jo f(t)e Jodt =j0[f() 推论 [fm()]=(fo)y/[f()].(1.18)
6 微分性质 如果f(t)在(-, +)上连续或只有有 限个可去间断点, 且当|t|→+时, f(t)→0, 则 F [f '(t)]=jwF [f(t)]. (1.17) 证 由傅氏变换的定义, 并利用分部积分可得 j [ ( )] ( ) e j ( ) e d [ ( )] ( ) e d j j j f t f t f t t f t f t t t t t F F w w w w w = = + = + - - + - - + - - 推论 F [f (n) (t)]=(jw) nF [f(t)]. (1.18)
同样,我们还能得到象函数的导数公式,设 [t)]=F(o),则 d do F()=.[-j4f()] 般地,有 d F(O)=(-j)[t"f(t) d
7 同样, 我们还能得到象函数的导数公式, 设 F [f(t)]=F(w), 则 ( ) ( j) [ ( )] d d , ( ) [ j ( )]. d d F t f t F t f t n n n n F F = - = - w w w w 一般地 有
本书中的积分的记号有不严格的写法,即 L。f(d的意思其实是nf()da 即我们看到f()d时必须将它理解为 f(udu 例如edt eau=e 且有 dtf(dt dt f(udu=f(t)
8 本书中的积分的记号有不严格的写法, 即 ( )d ( ) d d ( )d d d e d e d e e e ( )d ( )d ( )d ( )d , f u u f t t f t t t t u e f u u f t t f t t f u u t t t t t u t u t t t t t t = = = = = - = - - - - - - - - - - 且有 例如 即我们看到 时必须将它理解为 的意思其实是
4.积分性质 如果当→+时,g(O)=f(dt→0 则f(0dt [f(切).(1.19 证因为 dt f(tdt=f(t) If(]=jo. f(t)dt
9 4. 积分性质 = = = → + = → - - - - t t t t f t f t t f t t f t t f t t f t t g t f t t [ ( )] j ( )d ( )d ( ), d d [ ( )]. (1.19) j 1 ( )d , ( ) ( )d 0 F F F F w w 证 因为 则 如果当 时
例2求微分积分方程 ax(t)+bx(t)+c x(t)dt=h(t) 的解,其中-∞<<+∞,a,b,c均为常数 根据傅氏变换的微分性质和积分性质,且讠 [x(O=X(ω),[h(t)]=H(o 在方程两边取傅氏变换,可得 d()+bX(0)+X()=H() H() X() b+j/aa、C
10 例2 求微分积分方程 ax (t) bx(t) c x(t)dt h(t) t + + = - + - = + + = w w w w w w w w w w c b a H X X H c aj X bX j ( ) ( ) ( ) ( ) j ( ) ( ) 的解, 其中-<t<+, a,b,c均为常数. 根据傅氏变换的微分性质和积分性质, 且记 F [x(t)]=X(w), F [h(t)]=H(w). 在方程两边取傅氏变换, 可得
