深圳大学：《工程数学》 积分变换 第2讲

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习题一1.试证:若1满足傅氏积分定理的条 件,则有 f(t)= a(o)cos ot do+ b(o)sin at do 0 其中 1 a(or?i -oo(r)cos dt b(o)= f(t)sin at dt 元

习题一 1. 试证: 若f(t)满足傅氏积分定理的条 件, 则有 0 0 f t a t b t ( ) ( )cos d ( )sin d ,       + + = +   1 ( ) ( )cos d , 1 ( ) ( )sin d . a f b f           + − + − = =   其中

证由第8页1.6式 1()=1/ f(acos a(t-r)dt do 丌J0 cos a(t-T)=cos at cos Ot+sin at sin at 得1+ f(r)cos a(t-tdt +0 1—元 f(acos at cos atdt+ 1一元 f(osin at sin at dt

证 由第8页1.6式 0 cos ( ) 1 f t f ( ) ( ) d d    t    + + −   =     −   cos ( ) cos cos sin sin       t t t − = + 得 cos 1 ( )cos ( ) 1 ( )cos d 1 ( )sin sin d f t d f f t t                + − + − + − − = +   

f(t)= f(t)coso(t-t)drdo 0兀 +0 f(t)sin ar d t sin at a() b()

即 a() 0 1 f t( ) d f t ( )cos ( )    d   + − +   −     =   1 ( )cos d 1 ( )si s n d co sin t f t f           + − + − +   b()

2.证:当)为奇函数 f(t)= a(o)cos at do+ b(o)sin at do 0 1 +0o a(o)= fo (t)cos atdt=o 元 奇函数 0)-xJ。f(r) sin tdt b(0) + 偶函数 f(sin atdt 丌J0

2. 证: 当f(t)为奇函数 0 0 0 ( ) ( )cos d ( )sin d , 1 ( ) d 0 1 ( ) d 2 ( ) ( )cos ( si )si d n n f f f t a t b t a b f                       + + + − + − + = + = = = =      奇函数 偶函数

当()为偶函数 +0 f(t)= a()cos atd@+ b(o)sin at d o, 0 a(o) f(tcos atdt 2 + 偶函数 f(r)cos atdt T JO b(0) f(rsin atdt=o 奇函数

当f(t)为偶函数 0 0 0 ( ) ( )cos d ( )sin d , 1 ( ) d 2 d 1 ( ) ( )cos ( )cos ( )sin d 0 f t a b b f a f t t f                       + + + − + + − = + = = = =      偶函数 奇函数

习题一3 设f(t) 「1||1 则因为f(t)为偶函数 0|t|> 根据第2题的结果有 10=25 Sr/(r)cos or dr co or do + cos tdt cos at do 90 2 rto sIn a cos atdo 丌0a

习题一 3.                 cos d 2 sin cos d cos d 2 ( ) cos d cos d 2 ( ) 2 , ( ) 0 | | 1 1 | | 1 ( ) 0 0 1 0 0 0 t t f t f t f t t t f t      + + + + =     =     =      = 根据第 题的结果有 设 则因为 为偶函数

函数的图形为 f(t

函数的图形为 −1 o 1 t f(t) 1

可得 z|t1 因此可知当t=O时,有 +oo sin x +∞ dx=l sinc(x)d x 0 0 2

可得 2 d sinc( )d sin 0 , 0 | | 1 | | 1 | | 1 d sin cos 0 0 4 2 0        = = =       =  =    + + + x x x x x t t t t t 因此可知当 时 有

普阿松积分公式 I=edt=T, 证I2 +x2-y2x, 作极坐标变换,令x= rcos e,y=rsiO, 积分元为rlr,则 2丌+∞ e rrde=n 2+00

普阿松积分公式          = − = = = = = = = = + − + − + − + − + − − − + − −       | 0 0 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 , , cos , sin , , , r r r x y t e I e rdrd e dr rdrd x r y r I e dydx I e dt 积分元为 则 作极坐标变换 令 证