习题4一颗骰子连掷4次,点数之和为2,估计 P(10<518 解假设与,,3,与为1,2,34次掷得的点数,则 1+2+3+4,而例1中已求得 E51=7/2,D5;=35/12 因此EE=14,D5=35/3,√D2=3416 用切贝谢夫不等式 P(-E5k4)≥l35 0.271 3×16
2 习题4 一颗骰子连掷4次, 点数之和为x, 估计 P(10<x<18). 解 假设x1 ,x2 ,x3 ,x4为1,2,3,4次掷得的点数. 则 x=x1+x2+x3+x4 , 而例1中已求得 0.271 3 16 35 (| | 4) 1 14, 35/ 3, 3.416 7 / 2, 35/12 = − − = = = = = x x x x x x x P E E D D E i D i 用切贝谢夫不等式 因此
第八章参数估计
3 第八章 参数估计
可题的提出 人们经常遇到的问题是如何选取样本以及根 据样本来对总体的种种统计特征作出判断 实际工作中碰到的随机变量(总体)往往是分 布类型大致知道,但确切的形式并不知道,亦 即总体的参数未知.要求出总体的分布函数 F(x)(或密度函数(x),就等于要根据样本来 估计出总体的参数这类问题称为参数估计
4 问题的提出 人们经常遇到的问题是如何选取样本以及根 据样本来对总体的种种统计特征作出判断。 实际工作中碰到的随机变量(总体)往往是分 布类型大致知道, 但确切的形式并不知道, 亦 即总体的参数未知. 要求出总体的分布函数 F(x)(或密度函数j(x)), 就等于要根据样本来 估计出总体的参数. 这类问题称为参数估计
估计量的优劣标准 设为总体中要被估计的一个未知参数,例如 期望值或方差等, 0(X1,X2,…Xn)是6的估计量它是容量为n 的样本的函数,例如样本平均数X样本方差 s2等等.人们总希望估计量能够代表真实参数, 根据不同要求有三种常用的标准
5 估计量的优劣标准 设q为总体中要被估计的一个未知参数, 例如 期望值或方差等, . . . , , ( , , , ) . ˆ 2 1 2 根据不同要求 有三种常用的标准 等等 人们总希望估计量能够代表真实参数 的样本的函数 例如样本平均数 及样本方差 是 的估计量 它是容量为 S X q X X Xn q n
)一致估计 般情况≠日,但希望当n→∞时, 日—>.这就是说,希望当样本容 量n无限增大时,估计值θ在真值附 近的概率趋近于1. 定义8.1如果当n→∞时,O依概率收 敛于,即任给E>0, lim P(e-| 则称为参数的的一致估计
6 (一) 一致估计 . ˆ | ) 1, ˆ , 0,lim (| ˆ 8.1 , 1. ˆ , . , ˆ , , ˆ 则称 为参数 的一致估计 敛于 即任给 定义 如果当 时 依概率收 近的概率趋近于 量 无限增大时 估计值 在真值附 这就是说 希望当样本容 一般情况 但希望当 时 q q q q q q q q q q q − = → ⎯→ → → P n n n n P
)无偏估计 根据样本推得的估计值与真值可能不同,然而, 如果有一系列抽样构成各个估计,很合理地会 要求这些估计的期望值与未知参数的真值相 等,它的直观意义是样本估计量的数值在参数 的真值周围摆动,而无系统误差 定义82如果EB=战成立,则称估计 6为参数θ的无偏估计
7 (二) 无偏估计 根据样本推得的估计值与真值可能不同, 然而, 如果有一系列抽样构成各个估计, 很合理地会 要求这些估计的期望值与未知参数的真值相 等, 它的直观意义是样本估计量的数值在参数 的真值周围摆动, 而无系统误差. . ˆ , ˆ 8.2 为参数 的无偏估计 定义 如果 成立 则称估计 q q Eq =q
例1从总体取一样本(X12,…,X),E=p Da2,试证明 X及S2分别是及σ的无偏估计 证容易证明EX=p,DX=a2/n 而∑(X1-)2|=E∑(X2-2XX+2 E>X2-2X>X,+nX =E∑X2-2nx2+nx2|=∑x2-nX2
8 例1 从总体x中取一样本(X1 ,X2 ,...,Xn ), Ex=m, Dx=s2 , 试证明 = − = − + = − + = − + − = = = = = = = = 2 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 ( ) ( 2 ) , / . E X nX nX E X nX E X X X nX E X X E X X X X EX DX n X S n i i n i i n i i n i i n i i i n i 而 i 证 容易证明 及 分别是 及 的无偏估计 m s m s
+)=xm EH2-mE2=m(a2+2)-a2-n2 (n-1) 其中EX2=DX+(EX)2=a2+12 EX= DX+(EX)
9 即 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 ( )( ) ( 1) ( ) ( ) m s s m s s m s m = + = + = + = + = − = − = + − − = − − = = =n EX DX EX EX DX EX n EX nEX n n E X X E X nX i i i ni i ni i ni i 其中
因此 ES=En-12C EECX-X (n-1)o2=a 所以S2为无偏估计
10 因此 . ( 1) 1 1 ( ) 1 1 ( ) 1 1 2 2 2 1 2 1 2 2 所以S 为无偏估计 n n E X X n X X n E S E n i i n i i − s = s − = − − = − − = = =
(三)有效估计 定义8.3设硎和都是的无偏估计 若样本容量为n,6)的方差小于的方 差,则称θ是比θ有效的估计量.如果 在硝)的一切无偏估计量中,的方差达 到最小,则称为有效估计量 实际上,样本平均数X是总体期望值 的有效估计量
11 (三) 有效估计 . , . ˆ , ˆ , . ˆ ˆ , ˆ ˆ , , ˆ ˆ 8.3 的有效估计量 实际上 样本平均数 是总体期望值 到最小 则 称为 的有效估计量 在 的一切无偏估计量中 的方差达 差 则称 是比 有效的估计量 如果 若样本容量为 的方差小于 的方 定义 设 和 都是 的无偏估计 X n q q q q q q q q q q q
