全概率定理和贝叶斯定理
2 全概率定理和贝叶斯定理
例5市上供应灯泡中,甲厂产品(4)占70%,乙 厂(4)占30%,甲,乙厂的产品合格率分别为 95%,80%,B表示产品合格,求总合格率P(B) 解由于B=AB+AB为二互斥事件之和 P(4)=70%P(A)=30% P(B|A)=95% P(B|A)=80% 则P(AB)=P(AP(B|A)=0.7×0.95=0.665 P(AB)=P(AP(B|A)=0.3×0.8=0.24 P(B)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB) P(AP(B A)+P(AP(BA) 0.7×0.95+0.3×0.8=0.665+0.24=0905
3 解 由于B=AB+AB为二互斥事件之和 例5 市上供应灯泡中, 甲厂产品(A)占70%, 乙 厂(A)占30%, 甲,乙厂的产品合格率分别为 95%, 80%, B表示产品合格, 求总合格率P(B) 0.7 0.95 0.3 0.8 0.665 0.24 0.905 ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( | ) 0.3 0.8 0.24 ( ) ( ) ( | ) 0.7 0.95 0.665 ( | ) 95% ( | ) 80% ( ) 70% ( ) 30% P A P B A P A P B A P B P AB A B P AB P A B P A B P A P B A P AB P A P B A P B A P B A P A P A 则
还可以进一步计算,如果买到一合格品,此 合格品是甲厂生产的概率P(AB): P(A\B)=P(AB) P(B) P(AP(B A P(AP(B A)+P(A)P(B A 0.7×0.95 0.665 ≈0.735 0.7×0.95+0.3×0.80.905
4 还可以进一步计算, 如果买到一合格品, 此 合格品是甲厂生产的概率P(A|B): 0.735 0.905 0.665 0.7 0.95 0.3 0.8 0.7 0.95 ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( ) ( | ) P A P B A P A P B A P A P B A P B P AB P A B
例410个考签中有4个难签,3人参加抽签(不放 回,甲先,乙次,丙最后,设事件A,B,C分别表示 甲乙丙各抽到难签,求乙抽到难签的概率P(B) 解利用B=AB+AB,且AB与AB互斥,得 4312 (A P(AB)=P(AP(B A 10 10990 6424 P(AB)=P(A)P(B A) 10990 P(B)=P(AP(B A+P(AP(B A) 1224364 =0.4 90909010
5 例4 10个考签中有4个难签, 3人参加抽签(不放 回), 甲先, 乙次, 丙最后,设事件A,B,C分别表示 甲乙丙各抽到难签, 求乙抽到难签的概率P(B) 解 利用B=AB+AB, 且AB与AB互斥, 得 0.4 10 4 90 36 90 24 90 12 ( ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) 90 24 9 4 10 6 ( ) ( ) ( | ) 90 12 9 3 10 4 , ( ) ( ) ( | ) 10 4 ( ) P B P A P B A P A P B A P AB P A P B A P AB P A P B A n m P A
从形式上看事件B是比较复杂的, 仅仅使用加法法则或乘法法则无法计算其概 率.于是先将复杂的事件B分解为较简单的事 件AB与AB;再将加法法则与乘法法则结合起 来,计算出需要求的概率.把这个想法一般化 得到仝概率定理,又称全概率公式
6 从形式上看事件B是比较复杂的, 仅仅使用加法法则或乘法法则无法计算其概 率. 于是先将复杂的事件B分解为较简单的事 件AB与AB; 再将加法法则与乘法法则结合起 来, 计算出需要求的概率. 把这个想法一般化, 得到全概率定理, 又称全概率公式
全概率定理如果事件A1,42构成一个完备 事件组,并且都具有正概率,则对任意一事件 B有P(B)=∑P(A)P(B|A) 证由于A1,42,两两互不相容,因此, A1B,A2B,…,也两两互不相容.且 B=B9=BC∑1)=∑BA 由加法法则和乘法法则得 P(B)=∑P(AB)=∑P(4)P(B|A,)
7 全概率定理 如果事件A1 ,A2 ,…构成一个完备 事件组, 并且都具有正概率, 则对任意一事件 B有 i P B P Ai P B Ai ( ) ( ) | i i i i i i i i i P B P A B P A P B A B B B A BA ( ) ( ) ( ) ( | ) ( ) 由加法法则和乘法法则 得 证 由于A1 ,A2 ,…两两互不相容, 因此, A1B,A2B,…也两两互不相容. 且
全概率定理的图形理解 如图所示,事件B的面积为B与各个事件A相交 的面积之和 B
8 全概率定理的图形理解 如图所示, 事件B的面积为B与各个事件Ai相交 的面积之和. A1 A2 A3 A4 B
仝概率定理解题的思路 用全概率定理来解题的思路,从试验的角度考虑问 题,一定是将试验分为两步做,将第一步试验的各 个结果分为一些完备事件组A1A2,An2然后在 这每一事件下计算或给出某个事件B发生的条件 概率,最后用全概率公式综 A 试 试 验 B
9 用全概率定理来解题的思路, 从试验的角度考虑问 题, 一定是将试验分为两步做, 将第一步试验的各 个结果分为一些完备事件组A1 , A2 ,…,An , 然后在 这每一事件下计算或给出某个事件B发生的条件 概率, 最后用全概率公式综合 全概率定理解题的思路 试 验 1 试 验 2 … A1 A2 An B
例612个乒乓球都是新球,每次比赛时取出3 个用完后放回,求第3次比赛时取到的3个球都 是新球的概率 解假设A0,41,42,43为第一次取到0个,1个,2个,3 个新球,当然,因为一开始都是新球,因此第 次只能取到3个新球,即43为必然事件,而 A0,A1,A2都是不可能事件 再假设B,B1B2,B3为第二次取到0个,1个,2个3 个新球,当第二次取球的时候,12个乒乓球中 必然有3个旧球,而B0,B1,B2,B3构成完备事件组 并能够求出它们的概率,再假设C3为最后取到 3个新球,则针对C3使用全概率公式 10
10 例6 12个乒乓球都是新球, 每次比赛时取出3 个用完后放回, 求第3次比赛时取到的3个球都 是新球的概率 解 假设A0 ,A1 ,A2 ,A3为第一次取到0个,1个,2个,3 个新球, 当然, 因为一开始都是新球, 因此第一 次只能取到3个新球, 即A3为必然事件, 而 A0 ,A1 ,A2都是不可能事件. 再假设B0 ,B1 ,B2 ,B3为第二次取到0个,1个,2个3 个新球, 当第二次取球的时候, 12个乒乓球中 必然有3个旧球, 而B0 ,B1 ,B2 ,B3构成完备事件组, 并能够求出它们的概率, 再假设C3为最后取到 3个新球,则针对C3使用全概率公式
则有: 1223P(B人 333 27 P(B0) 12 220 CC108 84 P(B2) P(B3) C3220 12 220 综合就是P(B) (i=0,2,3) 12 39—3 84 56 P(C3|B0)= P(C31|B)=x3 12 220 C3220 12 P(C3 B2 35 C320 220P(C1\B3)=3 C3220
11 则有: 220 20 , ( | ) 220 35 ( | ) 220 56 , ( | ) 220 84 ( | ) ( ) ( 0,1,2,3) , 220 84 , ( ) 220 108 ( ) , 220 27 , ( ) 220 1 ( ) 3 12 3 6 3 3 3 12 3 7 3 2 3 12 3 8 3 3 1 12 3 9 3 0 3 12 3 9 3 3 12 3 9 3 3 12 1 3 2 9 2 3 12 2 3 1 9 3 1 12 3 3 0 C C P C B C C P C B C C P C B C C P C B i C C C P B C C P B C C C P B C C C P B C C P B i i 综合就是 i
