复习提纲
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,事件的运算 如果A,B,C为三事件,则A+B+C为至 少一次发生,A+B+C为至少一次不发生, AB+BC+AC和ABC+ABC+ABC+ABC都是 至少两次发生,ABC+ABC+ABC为恰有两 次发生.ABC+ABC+ABC为恰有一次发生 等等,要善于将语言翻译成事件运算公式以及 将公式翻译成语言
3 一，事件的运算 如果 A，B，C 为三事件，则 A+B+C 为至 少一次发生, A + B + C 为至少一次不发生, AB+BC+AC 和 ABC + ABC + ABC + ABC 都是 至少两次发生, ABC + ABC + ABC 为恰有两 次发生. ABC + ABC + ABC 为恰有一次发生, 等 等, 要善于将语言翻译成事件运算公式以及 将公式翻译成语言
加法法则与乘法法则 如A与B互不相容,则P(+B)=P(A)+P(B P(AB=P(A)P(B A) 而对于任给的A与B有 P(A+B=P(A+P(B)-P(AB) 因此,P(A+B),P(A),P(B)P(AB)这四个概率只要 知道三个,剩下一个就能够求出来 而P(AB)=P(A)P(BA),因此P(4+B),P(A,P(B) P(B|A)只要知道三个,剩下的一个就能够求出来 P(AB)=P(A)-P(AB)也是常用式子
4 二, 加法法则与乘法法则 如 A 与 B 互不相容, 则 P(A+B)=P(A)+P(B) P(AB)=P(A)P(B|A) 而对于任给的 A 与 B 有 P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB) 因 此, P(A+B),P(A),P(B),P(AB)这四个概率只要 知道三个,剩下一个就能够求出来. 而 P(AB)=P(A)P(B|A), 因此 P(A+B), P(A), P(B), P(B|A)只要知道三个, 剩下的一个就能够求出来. P(AB) = P(A) − P(AB) 也是常用式子
,全概率公式和贝叶斯公式 设A1,A2,,构成完备事件组,则任给事件B有 PB)=∑P(4)P(B|A) (全概率公式), 及 P(Am)P(B Am) P(Am B) (m=1,2 ∑P(4)P(B|A) (贝叶斯公式)
5 三, 全概率公式和贝叶斯公式 设 A1,A2,…,构成完备事件组, 则任给事件 B 有 = i P B P Ai P B Ai ( ) ( ) ( | ) (全概率公式), 及 ,( 1,2,...) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( | ) = = m P A P B A P A P B A P A B i i i m m m (贝叶斯公式)
其中,最常用的完备事件组,就是一个事 件A与它的逆A,即任给事件A,B有 P(B)=P(AP(B A)+P(AP(BA) P(A)P(B A) P(AlB) P(AP(B\ A+PAP(BLA
6 其 中, 最常用的完备事件组, 就是一个事 件 A 与它的逆A , 即任给事件 A,B 有 P(B) = P(A)P(B | A) + P(A)P(B | A) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( | ) P A P B A P A P B A P A P B A P A B + =
通常是将试验想象为分为两步做,第一步的结果 将导致A或者A之一发生,而这将影响到第二步 的结果的事件B是否发生的概率.如果是已知第 步的各事件概率及第一步各事件发生条件下 第二步事件B发生的概率,并要求B发生的概率 就用全概率公式.而如果是要求在第二步事件B 已经发生条件下第一步各事件的概率,就用贝叶 斯公式
7 通常是将试验想象为分为两步做, 第一步的结果 将导致 A 或者 A 之一发生, 而这将影响到第二步 的结果的事件 B 是否发生的概率. 如果是已知第 一步的各事件概率及第一步各事件发生条件下 第二步事件B发生的概率, 并要求B发生的概率, 就用全概率公式. 而如果是要求在第二步事件 B 已经发生条件下第一步各事件的概率, 就用贝叶 斯公式
四,随机变量及分布 1.离散型随机变量 元:Px)P(k=12…),性质2P=1 元:P{5=x,n=y)=P(=1,2,…) 边缘分布与联合分布的关系 P Pii- p P=y)=∑n=m2
8 四, 随机变量及分布 1. 离散型随机变量 一元: P(ξ=xk)=pk (k=1,2,…), 性质: =1 k k p 二元: P{ξ=xi , η=yj)=pij (i,j=1,2,…) 边缘分布与联合分布的关系: (2) (1) { ) { ) j i j ij i j i ij P y p p P x p p = = = = = =
2.连续型随机变量 c o(x P(a<5<b)=p(xdx 性质.」(x)dx=1 F(x)=P(≤x)=∞(t)d 分布函数为 ,且有 F"(x)=p(x)
9 2. 连续型随机变量 ~ (x) , = b a P(a b) (x)dx , 性质: ( ) = 1 + − x dx 分布函数为 − = = x F(x) P( x) (t)dt , 且有 F(x) = (x)
如~(x),n=f(2),则求n的概率密度函数的办 法,是先求n的分布函数Fn(x), Fn(x)=P(m≤x)=P((5)≤x 然后对F(x)求导即得η的概率密度函数
10 如 ξ~φ(x), η=f(ξ), 则求η的概率密度函数的办 法, 是先求η的分布函数 Fη(x), F (x) = P( x) = P( f () x) , 然后对 Fη(x)求导即得 η 的概率密度函数
五,随机变量的数字特征 数学期望 离散刑.E ∑ kpk E5=xp(x)dx 连续型 性质:E(+m)=E升+Em,E(2-m)=E2-Em, e(as=aEs
11 五, 随机变量的数字特征 数学期望: 离散型: = = k 1 k pk E x 连续型: + − E = x(x)dx 性质: E(+)=E+, E(−)=E−E E(a)=aE
