概率论第三章习题参考解答 1.如果ξ服从0-1分布,又知§取1的概率为它取0的概率的两倍,求§的期望值 解:由习题二第2题算出ξ的分布率为 P l/3 2/3 因此有E5=0×P(=0)+1×P(=1)2/3 2.矩形土地的长与宽为随机变量5和n,周长(-25+2n,5与n的分布律如下表所示 长度§ 0.5 0.2 宽度n 19 而求出的周长的分布律如下表所示 周长 100 P 0.09 0.27 0.35 023006 求周长的期望值,用两种方法计算,一种是利用矩形长与宽的期望计算,另一种是利用周长 的分布计算 解:由长和宽的分布率可以算得 E5=29×P(5=29)+30×P(5=30)+31×P(5=31) =29×0.3+30×0.5+31×0.2=299 En=19×P(n=19)+20×P(n=20)+21×P(n=21) =19×0.3+20×0.4+21×0.3=20 由期望的性质可得 Ec=2(E5+En)=2×(299+20)=998 而如果按ξ的分布律计算它的期望值,也可以得 E=96×0.09+98×0.27+100×0.35+102×0.23+104×006=998 验证了期望的性质 4.连续型随机变量ξ的概率密度为 kx200) 0其它 又知E=0.75,求k和a的值。 解:由性质(x) 得|(x)x= kxdx= a+1 即k=a+1 又知 E=Jx0x)=x=a+2x“6=a+2=075 得k=0.75a+1.5 由(1)与(2)解得
概率论第三章习题参考解答 1. 如果ξ服从 0-1 分布, 又知ξ取 1 的概率为它取 0 的概率的两倍, 求ξ的期望值 解：由习题二第 2 题算出ξ的分布率为 ξ 0 1 P 1/3 2/3 因此有 Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)=2/3 2. 矩形土地的长与宽为随机变量ξ和η, 周长 ζ=2ξ+2η, ξ与η的分布律如下表所示: 长度ξ 29 30 31 P 0.3 0.5 0.2 而求出的周长 ζ 的分布律如下表所示: 周长 ζ 96 98 100 102 104 P 0.09 0.27 0.35 0.23 0.06 求周长的期望值, 用两种方法计算, 一种是利用矩形长与宽的期望计算, 另一种是利用周长 的分布计算. 解: 由长和宽的分布率可以算得 Eξ=29×P(ξ=29)+30×P(ξ=30)+31×P(ξ=31) =29×0.3+30×0.5+31×0.2=29.9 Eη=19×P(η=19)+20×P(η=20)+21×P(η=21) =19×0.3+20×0.4+21×0.3=20 由期望的性质可得 Eζ=2(Eξ+Eη)=2×(29.9+20)=99.8 而如果按 ζ 的分布律计算它的期望值, 也可以得 Eζ=96×0.09+98×0.27+100×0.35+102×0.23+104×0.06=99.8 验证了期望的性质. 4. 连续型随机变量ξ的概率密度为 = 0 其它 0 1 ( , 0) ( ) kx x k a x a 又知 Eξ=0.75, 求 k 和 a 的值。 解: 由性质 + − (x)dx = 1 得 1 1 1 ( ) | 1 0 1 1 0 = + = + = = + + − a k x a k x dx k x dx a a 即 k=a+1 (1) 又知 0.75 2 2 ( ) | 1 0 2 1 0 1 = + = + = = = + + + − a k x a k E x x dx k x dx a a 得 k=0.75a+1.5 (2) 由(1)与(2)解得 宽度η 19 20 21 P 0.3 0.4 0.3
0.25a=0.5,即a=2,k=3 6.下表是某公共汽车公司的188辆汽车行驶到发生一次引擎故障的里程数的分布数列若表 中各以组中值为代表从188辆汽车中,任意抽选15辆,得出下列数字:90,50,150,110,90 90,110,90,50,110,90,70,50,70,150.(1)求这15个数字的平均数;(2)计算表39中的期望 并与(1)相比较 第一次发生引擎故障里数车辆数第一次发生引擎故障里数车辆数 0~20 100~120 40-60 16 160~180 80~100 解:(1)15个数的平均数为 (90+50+150+110+90+90+110+90+50+110+90+70+50+70+150/15=9133 (2)按上表计算期望值为 (10×5+30×11+50×16+70×25+90×34+10×46+130×33+150×16+170×2)/188 =96.17 两种种子各播种300公顷地,调查其收获量,如下表所示,分别求出它们产量的平均值 (计算时以组中值为代表) 公顷产量(kg4350-46504650-49504950-52505250-550 种子甲公顷数 种子乙公顷数 23 解:假设种子甲的每公顷产量数为§,种子乙的每公顷产量数为n,则 E5=(4500×12+4800×38+5100×40+5400×10/100=4944 En=(4500×23+4800×24+5100×30+5400×23)/100=4959 8.一个螺丝钉的重量是随机变量,期望值为10g,标准差为1g.100个一盒的同型号螺丝钉 重量的期望值和标准差各为多少?(假设各个螺丝钉的重量相互之间独立) 解:假设这100个螺丝钉的重量分别为§1,52,…,510,因此有 E5=10,D=102=12=1,(P=1,2,,100),设§为这100个螺丝钉的总重量,因此 则ξ的数学期望和标准差为 Ef=E ∑E5;1=100×10=10008)=1kg 21=√100×1=10 9.已知100个产品中有10个次品,求任意取出的5个产品中次品数的期望值 解:假设ξ为取出5个产品中的次品数,又假设5为第i次取出的次品数即,如果第i次取 到的是次品,则§=1否则§=0,r=1,2,34,5,§服从0-1分布而且有 P{5=0}=90/100,P{5=1}=10/100,=1,2,3,45
0.25a=0.5, 即 a=2, k=3 6. 下表是某公共汽车公司的 188 辆汽车行驶到发生一次引擎故障的里程数的分布数列.若表 中各以组中值为代表. 从 188 辆汽车中, 任意抽选 15 辆, 得出下列数字: 90, 50, 150, 110, 90, 90, 110, 90, 50, 110, 90, 70, 50, 70, 150. (1)求这 15 个数字的平均数; (2) 计算表 3-9 中的期望 并与(1)相比较. 第一次发生引擎故障里数 车辆数 第一次发生引擎故障里数 车辆数 0~20 5 100~120 46 20~40 11 120~140 33 40~60 16 140~160 16 60~80 25 160~180 2 80~100 34 解: (1) 15 个数的平均数为 (90+50+150+110+90+90+110+90+50+110+90+70+50+70+150)/15 = 91.33 (2) 按上表计算期望值为 (10×5+30×11+50×16+70×25+90×34+110×46+130×33+150×16+170×2)/188 =96.17 7. 两种种子各播种 300 公顷地, 调查其收获量, 如下表所示, 分别求出它们产量的平均值 (计算时以组中值为代表). 公顷产量(kg) 4350~4650 4650~4950 4950~5250 5250~5550 总计 种子甲公顷数 12 38 40 10 100 种子乙公顷数 23 24 30 23 100 解: 假设种子甲的每公顷产量数为ξ, 种子乙的每公顷产量数为η, 则 Eξ=(4500×12+4800×38+5100×40+5400×10)/100=4944 Eη=(4500×23+4800×24+5100×30+5400×23)/100=4959 8. 一个螺丝钉的重量是随机变量, 期望值为 10g, 标准差为 1g. 100 个一盒的同型号螺丝钉 重量的期望值和标准差各为多少?(假设各个螺丝钉的重量相互之间独立) 解: 假设这 100 个螺丝钉的重量分别为ξ1, ξ2,…, ξ100, 因此有 Eξi=10, Dξi=102=12=1, (i=1,2,…,100), 设ξ为这 100 个螺丝钉的总重量，因此 = = 100 i 1 i ，则ξ的数学期望和标准差为 D D D g E E E g k g i i i i i i i i 100 1 10 100 10 1000( ) 1 100 1 100 1 100 1 100 1 = = = = = = = = = = = = = = 9. 已知 100 个产品中有 10 个次品，求任意取出的 5 个产品中次品数的期望值. 解: 假设ξ为取出5 个产品中的次品数, 又假设ξi 为第 i 次取出的次品数, 即, 如果第 i 次取 到的是次品, 则ξi=1 否则ξi=0, i=1,2,3,4,5, ξi 服从 0-1 分布,而且有 P{ξi=0}=90/100, P{ξi=1}=10/100, i=1,2,3,4,5
因此,E5=10/100=1/10, 因为5=∑5 10.一批零件中有9个合格品和3个废品,在安装机器时,从这批零件中任取一个,如果取出 的是废品就不再放回去.求取得第一个合格品之前,已经取出的废品数的数学期望和方差 解:假设在取到第一个合格品之前己取出的废品数为5,则可算出 hs=0}=9 0.75 12 39 P{=l}= =0.2045 P{=2} 299 0.041 121110220 P5=3}=3.2 =00045 121110220 因此有 E5=0.2045+0.041×2+0.0045×3=03 E22=02045+0041×4+0.0045×9=0.409 D2=E52-(E5)2=0.409=009=0319 1l.假定每人生日在各个月份的机会是同样的,求3个人中生日在第一个季度的平均人数 解:设三个随机变量§、(=1,2,3),如果3个人中的第i个人在第一季度出生,则ξ=1,否则 2=0,则ξ服从0-1分布,且有 P(2=1)=1/4,因此E2=14,(=1,2,3) 设5为3个人在第一季度出生的人数,则§=51+22+, 因此E=E(1+2+3)=3E=34=0.75 e x>0 12.ξ有分布函数F(x)= 求E及D§ 其它 n x>o 解:因§的概率密度为q(x)=F'(x) 其它,因此 Es=xo(x)dx=xAe dx=xd"ar
因此, Eξi=10/100=1/10, 因为 = = 5 i 1 i 因此有 0.5 10 1 5 5 1 5 1 = = = = = i= i i E E i E 10. 一批零件中有9个合格品和3个废品, 在安装机器时, 从这批零件中任取一个, 如果取出 的是废品就不再放回去. 求取得第一个合格品之前, 已经取出的废品数的数学期望和方差. 解: 假设在取到第一个合格品之前已取出的废品数为ξ, 则可算出 0.0045 220 1 10 1 11 2 12 3 { 3} 0.041 220 9 10 9 11 2 12 3 { 2} 0.2045 11 9 12 3 { 1} 0.75 12 9 { 0} = = = = = = = = = = = = = = P P P P 因此有 ( ) 0.409 0.09 0.319 0.2045 0.041 4 0.0045 9 0.409 0.2045 0.041 2 0.0045 3 0.3 2 2 2 = − = = = = + + = = + + = D E E E E 11. 假定每人生日在各个月份的机会是同样的, 求 3 个人中生日在第一个季度的平均人数. 解: 设三个随机变量ξi,(i=1,2,3), 如果 3 个人中的第 i 个人在第一季度出生, 则 ξi=1, 否则 ξi=0, 则 ξi 服从 0-1 分布, 且有 P(ξi=1)=1/4, 因此 Eξi=1/4, (i=1,2,3) 设ξ为 3 个人在第一季度出生的人数, 则ξ=ξ1+ξ2+ξ3, 因此 Eξ=E(ξ1+ξ2+ξ3)=3Eξi=3/4=0.75 12. ξ 有分布函数 − = − 0 其它 1 0 ( ) e x F x x , 求 Eξ及 Dξ. 解: 因ξ的概率密度为 = = − 0 其它 0 ( ) ( ) e x x F x x , 因此 ( ) 1 1 ( ) 0 0 0 0 0 = − + = − = = = = − + − + − + − + − + − + − x x x x x x e e dx e E x x dx x e dx x d e
=x(x) x2he-idx=[x l(- +2xe dx==ES D5=E5-(E5) K0)若En存在,求证对于任何实 数a都有P{2≥a}≤e如·Ee 证:分别就离散型和连续型两种情况证 在ξ为离散型的情况 假设P(5=x)=P,则 P{5≥a)=∑p≤∑ex-p,s∑ep1=Ee-]=eEe 在§为连续型的情况 假设§的概率密度为(x),则
( ) 2 0 0 2 0 2 0 2 2 2 2 2 2 ( ) | = − + = = = = = − + − + − + − + − + − x e x e dx E E x x dx x e dx x d e x x x x 2 2 2 2 2 2 1 1 ( ) D = E − E = − = 13. − = 0 其它 | | 1 1 1 ~ ( ) 2 x x x , 求 Eξ和 Dξ. 解: 因 φ(x)是偶函数, 因此 Eξ=0, 则 Dξ=Eξ2 -(Eξ) 2=Eξ2 因此有 − = = = + − 1 0 2 2 2 2 1 ( ) 2 dx x x D E x x dx 令 x = sin ,dx = cosd 则上式= 2 1 1 sin 2 2 1 2 2 cos 2 1 sin 1 2 | | 2 0 2 0 2 0 2 0 2 = + = + = d d 即 Dξ=1/2=0.5 16. 如果ξ与η独立, 不求出 ξη 的分布直接从ξ的分布和η的分布能否计算出 D(ξη), 怎样 计算? 解: 因ξ与η独立, 因此ξ2 与η2 也独立, 则有 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 D( ) = E( ) − E( ) = E E − E E 17. 随机变量η是另一个随机变量ξ的函数, 并且η=e λξ(λ>0), 若Eη存在, 求证对于任何实 数 a 都有 P a e Ee a − { } . 证: 分别就离散型和连续型两种情况证. 在ξ为离散型的情况: 假设 P(ξ=xi)=pi, 则 P a p e p e p E e e Ee a a i i x a x a i x a x a i i i i i − − = − − { ) = = [ ] = ( ) 1 ( ) ( ) 在ξ为连续型的情况 假设ξ的概率密度为 φ(x), 则
P5≥a}=o(x)dseo(x)t≤ (x)dx= ee 证毕 18.证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4 证:设ξ为一次试验中事件A发生的次数,当然最多只能发生1次,最少为0次,即§服从 0-1分布,P(5=1}=P()=p,P{=0}=1-p=q 则D=p(1-p) p-p 19.证明对于任何常数c,随机变量§有 5=E(5-c)2-(Ec)2 证:由方差的性质可知D(5-c)=D 而 D(5-c)=E(-c)-[E(2-c) 证毕 20.(5,n)的联合概率密度(xy)=e+(xy>0),计算它们的协方差cov(2n 解:由p(xy)=e(xy>0)可知5与n相互独立,因此必有con(2n)=0 21.袋中装有标上号码1,22的3个球,从中任取一个并且不再放回,然后再从袋中任取一球 以§,n分别记为第一,二次取到球上的号码数,求ξ与n的协方差 解:可以求出§与n的分布律如下表所示 l/3 而由于对称性5与n的边缘分布率一样,P{5=2}=P{n=2}=2/3,P{5=1}=P(7=1}=1/3 E5=En=1×-+2 m)=∑∑P5==八 则cov(,m)=E(5m)-E5 22.(,n)只取下列数组中的值
P a x dx e x dx e x dx Ee e Ee x a a a a x a a − − + − − + − + = = = ( ) ( ) ( ) { } ( ) ( ) ( ) 证毕. 18. 证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过 1/4. 证: 设ξ为一次试验中事件 A 发生的次数, 当然最多只能发生 1 次, 最少为 0 次, 即ξ服从 0-1 分布, P{ξ=1}=P(A)=p, P{ξ=0}=1-p=q, 则 4 1 2 1 4 1 2 1 2 4 1 4 1 (1 ) 2 2 2 D = p − p = p − p = − + p − p = − p − 19. 证明对于任何常数 c, 随机变量ξ有 Dξ=E(ξ-c) 2 -(Eξ-c) 2 证: 由方差的性质可知 D(ξ-c)=Dξ, 而 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] E c E c D c E c E c = − − − − = − − − 证毕. 20. (ξ,η)的联合概率密度 φ(x,y)=e -(x+y) (x,y>0), 计算它们的协方差 cov(ξ,η). 解: 由 φ(x,y)=e -(x+y) (x,y>0)可知ξ与η相互独立, 因此必有 cov(ξ,η)=0. 21. 袋中装有标上号码1,2,2的3个球, 从中任取一个并且不再放回, 然后再从袋中任取一球, 以ξ, η分别记为第一,二次取到球上的号码数, 求 ξ 与 η 的协方差. 解: 可以求出ξ与η的分布律如下表所示 η ξ 1 2 1 0 1/3 2 1/3 1/3 而由于对称性ξ与η的边缘分布率一样,P{ξ=2}=P{η=2}=2/3, P{ξ=1}=P{η=1}=1/3, Eξ=Eη= 3 5 3 2 2 3 1 1 + = 3 8 3 1 4 3 1 2 3 1 ( ) { , } 2 2 1 2 1 = = = = + + = i= j= E ijP i j 则 9 1 3 5 3 8 cov( , ) ( ) 2 2 = E − E E = − = − 22. (ξ , η)只取下列数组中的值：
(00)(-1,1)(-1,=) (20) 且相应的概率依次为1/6,1/3,1/12,5/12.求§与n的相关系数p,并判断5与7是否独立? 解:ξ与n的联合分布表及各边缘分布计算表如下表所示 1/3 01/121/3|5/12 0 0 1/6 5/120 05/12 7/21/121/3 因此E=-1×+0×+2 1212 525 E2=1×-+4× 1212 D5=E22-(E)2=2-25275 12144144 En=0 En 9123108 Dn=En2-(Em33716937×12-169275 1081296 1296 1296 E(5) 则cov(5,m)=E(m)-E5·En= 相关系数尸=Cov(5,n) 432 221×12×36221 -0.804 DE√D 275275 432×275 1441296 23.(ξ,n)的联合概率分布如下表所示,计算5与n的相关系数p,并判断5与n是否独立? -1 l/81/8 l/81/8 解:由上表的数据的对称性可知§与n的边缘分布一样,算出为 P(=1)=P(7=1)= P(5=0)=P(n=0)=28
) (2,0) 3 1 (0,0) (−1,1) (−1, 且相应的概率依次为 1/6, 1/3, 1/12, 5/12. 求ξ与η的相关系数 ρ, 并判断ξ与η是否独立? 解: ξ 与η的联合分布表及各边缘分布计算表如下表所示: η ξ 0 1/3 1 pi (1) -1 0 1/12 1/3 5/12 0 1/6 0 0 1/6 2 5/12 0 0 5/12 pj (2) 7/12 1/12 1/3 因此 12 5 12 5 2 6 1 0 12 5 E = −1 + + = 12 25 12 5 4 12 5 1 2 E = + = 144 275 144 25 12 25 ( ) 2 2 D = E − E = − = 36 13 3 1 1 12 1 3 1 12 7 E = 0 + + = 108 37 3 1 12 1 9 2 1 E = + = 1296 275 1296 37 12 169 1296 169 108 37 ( ) 2 2 = − D = E − E = − = 36 13 3 1 12 1 3 1 E( ) = − − = − 则 432 221 36 12 13 17 36 13 12 5 36 13 cov( , ) ( ) = − = E − E E = − − = − 相关系数 0.804 275 221 432 275 221 12 36 1296 275 144 275 432 221 cov( , ) = − = − = − − = = D D 23. (ξ,η)的联合概率分布如下表所示, 计算ξ与η的相关系数 ρ, 并判断ξ与η是否独立? η ξ -1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 解: 由上表的数据的对称性可知ξ与η的边缘分布一样, 算出为 P(ξ=-1)=P(η=-1)=3/8 P(ξ=0)=P(η=-0)=2/8
P(5=1)=P(7=1)=3/8 由对称性可知E=EF=-1×+1×==0 E(5m)=111 因此conv(2,n)=E()-E(E()=0 则 而P(2=0,=0)=0≠P{=0}P{=0}=1/16 因此与n不独立.这是一个随机变量间不相关也不独立的例子 24.两个随机变量§与n,已知D2=25,Dr=36,p=0.4,计算D+n)与D(2-n) 解 D(5+m)=E[5+n-E(+m)= EIG-E5)+(-E)] DE+Dn+2 cov(s, n) DE+Dn+2D5Dnpe =25+36+2×5×6×04=85 5-m)=E[5-n-E(5-m)]= =E[(-E5)-(-Em) DE+Dn-2 cov(s, n D+Dn-2√D√DnPa 25+36-2×5×6×04=37
P(ξ=1)=P(η=1)=3/8 由对称性可知 Eξ=Eη= 0 8 3 1 8 3 −1 + = . 0 8 1 8 1 8 1 8 1 E( ) = − − + = 因此 cov(ξ,η)=E(ξη)-E(ξ)E(η)=0 则 ρ=0 而 P(ξ=0,η=0)=0≠P{ξ=0}P{η=0}=1/16 因此ξ与η不独立. 这是一个随机变量间不相关也不独立的例子. 24. 两个随机变量ξ与η, 已知 Dξ=25, Dη=36, ρξη=0.4, 计算 D(ξ+η)与 D(ξ-η). 解: 25 36 2 5 6 0.4 37 2 2cov( , ) [( ) ( )] ( ) [ ( )] 25 36 2 5 6 0.4 85 2 2cov( , ) [( ) ( )] ( ) [ ( )] 2 2 2 2 = + − = = + − = + − = − − − − = − − − = = + + = = + + = + + = − + − + = + − + = D D D D D D E E E D E E D D D D D D E E E D E E