概率
2 概率
每一个事件都有它的发生概率 即给定事件A,存在着一个正数P与之对应,称 之为事件A的概率,记作P(4)或P{A} 最高的发生概率为1,表示必然发生 最低的概率为0,表示不可能发生 而一般的随机事件的概率介于0与1之间 这里只是概率的数学上的规定,其实就是任何 个事件到实数轴上的[0,1区间的映射 但怎样获得切合实际的一个事件的概率呢?
3 每一个事件都有它的发生概率 即给定事件A, 存在着一个正数P 与之对应, 称 之为事件A的概率, 记作P(A)或P{A}. 最高的发生概率为1, 表示必然发生. 最低的概率为0, 表示不可能发生. 而一般的随机事件的概率介于0与1之间. 这里只是概率的数学上的规定, 其实就是任何 一个事件到实数轴上的[0,1]区间的映射. 但怎样获得切合实际的一个事件的概率呢?
概率的统计定义 概率的统计定义并非严格的数学上的定义,而 只是大数定律的一个描述 在n次重复试验中,如果事件A发生了m次,则 m/n称为事件A发生的频率.同样若事件B发生 了k次,则事件B发生的频率为km.如果A是必 然事件,有m=n,即必然事件的频率是1,当然 不可能事件的频率为0.如果A与B互不相容, 则事件A+B的频率为(m+k)/m,它恰好等于两个 事件的频率的和mm+mn,这称之为频率的可 加性
4 概率的统计定义 概率的统计定义并非严格的数学上的定义, 而 只是大数定律的一个描述. 在n次重复试验中, 如果事件A发生了m次, 则 m/n称为事件A发生的频率. 同样若事件B发生 了k次, 则事件B发生的频率为k/n. 如果A是必 然事件, 有m=n, 即必然事件的频率是1, 当然 不可能事件的频率为0. 如果A与B互不相容, 则事件A+B的频率为(m+k)/n, 它恰好等于两个 事件的频率的和m/n+k/n, 这称之为频率的可 加性
定义1.1 在不变的条件下,重复进行n次试验,事件A发 生的频率稳定地在某一常数p附近摆动,且 般说来,m越大,摆动幅度越小,则称常数p为事 件A的概率,记作P(4) 但这不是概率的数学上的定义,而只是描述了 个大数定律
5 定义1.1 在不变的条件下, 重复进行n次试验, 事件A发 生的频率稳定地在某一常数p附近摆动, 且一 般说来, n越大, 摆动幅度越小, 则称常数p为事 件A的概率, 记作P(A). 但这不是概率的数学上的定义, 而只是描述了 一个大数定律
历史上的掷硬币试验 试验者抛掷次数正面出现次正面出现频 数m 率 nm/n 德摩尔根2048 1061 0.518 蒲丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊24000 12012 0.5005 维尼 30000 14994 0.4998
6 历史上的掷硬币试验 试验者 抛掷次数 n 正面出现次 数m 正面出现频 率m/n 德.摩尔根 2048 1061 0.518 蒲丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016 皮尔逊 24000 12012 0.5005 维尼 30000 14994 0.4998
概率的稳定性是概率的经验基础 但并不是说概率决定于经验.一个事件发生的 概率完全决定于事件本身的结构,指试验条件, 是先于试验而客观存在的 概率的统计定义仅仅指出了事件的概率是客 观存在的,但并不能用这个定义计算P(A).实 际上,人们是采取一次大量试验的频率或一系 列频率的平均值作为P(A)的近似值的例如,对 个妇产医院6年出生婴儿的调查中,可以看 到生男孩的频率是稳定的,约为0.515
7 概率的稳定性是概率的经验基础 但并不是说概率决定于经验. 一个事件发生的 概率完全决定于事件本身的结构, 指试验条件, 是先于试验而客观存在的. 概率的统计定义仅仅指出了事件的概率是客 观存在的, 但并不能用这个定义计算P(A). 实 际上, 人们是采取一次大量试验的频率或一系 列频率的平均值作为P(A)的近似值的.例如,对 一个妇产医院6年出生婴儿的调查中, 可以看 到生男孩的频率是稳定的, 约为0.515
新生儿性别统计表 新生儿新生儿分 类数频率(%) 出生年份总数n男孩数m女孩数m男孩女孩 197736701883178751.314869 197842502177207351.2248.78 1979405521381917527347.27 198058442955288950.564944 198163443271307351564844 198272313722350951474853 6年总计313941614615248514848.52
8 新生儿性别统计表 出生年份 新生儿 总数n 新生儿分类数 频率(%) 男孩数m1 女孩数m2 男孩 女孩 1977 3670 1883 1787 51.31 48.69 1978 4250 2177 2073 51.22 48.78 1979 4055 2138 1917 52.73 47.27 1980 5844 2955 2889 50.56 49.44 1981 6344 3271 3073 51.56 48.44 1982 7231 3722 3509 51.47 48.53 6年总计 31394 16146 15248 51.48 48.52
概率的古典定义(概率的古典概型) 有一类试验的特点是 1,每次试验只有有限种可能的试验结果 2,每次试验中,各基本事件出现的可能性完全 相同 具这两个特点的试验称为古典概型试验 在古典概型的试验中,如果总共有n个可能的 试验结果,因此每个基本事件发生的概率为 1/m,如果事件A包含有m个基本事件,则事件A 发生的概率则为m/m
9 概率的古典定义(概率的古典概型) 有一类试验的特点是: 1,每次试验只有有限种可能的试验结果 2,每次试验中,各基本事件出现的可能性完全 相同. 具这两个特点的试验称为古典概型试验. 在古典概型的试验中, 如果总共有n个可能的 试验结果, 因此每个基本事件发生的概率为 1/n, 如果事件A包含有m个基本事件, 则事件A 发生的概率则为m/n
定义12 若试验结果一共由n个基本事件E1,E2…,E2组 成,并且这些事件的出现具有相同的可能性, 而事件A由其中某m个基本事件E1E2,E组 成,则事件A的概率可以用下式计算 P(4)=有利于A的基本事件数_m 试验的基本事件总数n
10 定义 1.2 若试验结果一共由n个基本事件E1 ,E2 ,…,En组 成, 并且这些事件的出现具有相同的可能性, 而事件A由其中某m个基本事件E1 ,E2 ,…,Em组 成, 则事件A的概率可以用下式计算: n A m P A = = 试验的基本事件总数 有利于 的基本事件数 ( )
简单的例 掷一枚硬币的试验,基本事件为正面和反面, 而且由于硬币的对称性,因此出现正面和反面 的概率一样,都是1/2 掷一次骰子的试验,基本事件有6个,因此每个 基本事件的概率为1/6,则 P{奇数点}=36-1/2, P{小于3}=P{1,2}=2/6=1/3 等等
11 简单的例 掷一枚硬币的试验, 基本事件为正面和反面, 而且由于硬币的对称性, 因此出现正面和反面 的概率一样, 都是1/2. 掷一次骰子的试验, 基本事件有6个, 因此每个 基本事件的概率为1/6, 则 P{奇数点}=3/6=1/2, P{小于3}=P{1,2}=2/6=1/3 等等