概率论与数理统计复习提纲 事件的运算 如果A,B,C为三事件,则A+B+C为至少一次发生,A+B+C为至少一次不发生, AB+BC+AC和ABC+ABC+ABC+ABC都是至少两次发生,ABC+ABC+ABC为 恰有两次发生.ABC+ABC+ABC为恰有一次发生,等等,要善于将语言翻译成事件运 算公式以及将公式翻译成语言 二,加法法则与乘法法则 如A与B互不相容,则P(A+B=P(A)+P(B) P(AB=P(A)P(BL) 而对于任给的A与B有 P(A+B=P(A)+P(B)-P(AB) 因此,P(A+B),P(A),P(B),P(AB这四个概率只要知道三个剩下一个就能够求出来 而P(AB)=P)P(B1,因此PA+B)P(A)P(B)P(BlA)只要知道三个,剩下的一个就能够 求出来 P(AB)=P(A)-P(AB)也是常用式子 三,全概率公式和贝叶斯公式 设A1,A2,构成完备事件组,则任给事件B有 P(B)=∑P(4)P(B|A)(全概率公式) P(Am IB)=P(Am)(BIAm) ∑P(4)P(B|4) ,(m=1,2,)(贝叶斯公式) 其中,最常用的完备事件组,就是一个事件A与它的逆A,即任给事件A,B有 P(B)=P(A)P(B A)+P(A)(B A) P(AIB) P(AP(B A P(A)P(B1A)+P(A)(B A) 通常是将试验想象为分为两步做,第一步的结果将导致A或者A之一发生,而这将影 响到第二步的结果的事件B是否发生的概率如果是已知第一步的各事件概率及第一步各 事件发生条件下第二步事件B发生的概率,并要求B发生的概率,就用全概率公式.而如果 是要求在第二步事件B己经发生条件下第一步各事件的概率,就用贝叶斯公式 四,随机变量及分布 1.离散型随机变量 元P(x)p(k=1,2…),性质:∑P=1 二元:P(5=x,=y)=P户=1,2,)
1 概率论与数理统计复习提纲 一，事件的运算 如果 A，B，C 为三事件，则 A+B+C 为至少一次发生, A + B + C 为至少一次不发生, AB+BC+AC 和 ABC + ABC + ABC + ABC 都是至少两次发生, ABC + ABC + ABC 为 恰有两次发生. ABC + ABC + ABC 为恰有一次发生, 等等, 要善于将语言翻译成事件运 算公式以及将公式翻译成语言.. 二, 加法法则与乘法法则 如 A 与 B 互不相容, 则 P(A+B)=P(A)+P(B) P(AB)=P(A)P(B|A) 而对于任给的 A 与 B 有 P(A+B)=P(A)+P(B)−P(AB) (1) 因此, P(A+B),P(A),P(B),P(AB)这四个概率只要知道三个,剩下一个就能够求出来. 而 P(AB)=P(A)P(B|A), 因此 P(A+B),P(A),P(B),P(B|A)只要知道三个, 剩下的一个就能够 求出来. P(AB) = P(A) − P(AB) 也是常用式子 三, 全概率公式和贝叶斯公式 设 A1,A2,…,构成完备事件组, 则任给事件 B 有 = i P B P Ai P B Ai ( ) ( ) ( | ) (全概率公式), 及 ,( 1,2,...) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( | ) = = m P A P B A P A P B A P A B i i i m m m (贝叶斯公式) 其中, 最常用的完备事件组, 就是一个事件 A 与它的逆 A , 即任给事件 A,B 有 P(B) = P(A)P(B | A) + P(A)P(B | A) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | ) ( | ) P A P B A P A P B A P A P B A P A B + = 通常是将试验想象为分为两步做, 第一步的结果将导致 A 或者 A 之一发生, 而这将影 响到第二步的结果的事件 B 是否发生的概率. 如果是已知第一步的各事件概率及第一步各 事件发生条件下第二步事件 B 发生的概率, 并要求 B 发生的概率, 就用全概率公式. 而如果 是要求在第二步事件 B 已经发生条件下第一步各事件的概率, 就用贝叶斯公式. 四, 随机变量及分布 1. 离散型随机变量 一元: P(ξ=xk)=pk (k=1,2,…), 性质: = 1 k pk 二元: P{ξ=xk, η=yj)=pij(i,j=1,2,…)
边缘分布与联合分布的关系 P=x)=∑P=p Pm=y)=∑P 2.连续型随机变量 5-9(x),Pa<5<b)=Jox)t,性质:∫o(x)bk=1 分布函数为F(x)=P(5≤x)=o(n)d,且有F'(x)=o(x) 如g(x,n=(2,则求n的概率密度函数的办法,是先求n的分布函数F(x Fn(x)=P(≤x)=P(()≤x) 然后对F小(x)求导即得n的概率密度函数 五,随机变量的数字特征 数学期望: 离散型:E5=∑xP 连续型:E5=「xo(x)dx 性质:E(+n)=EEn2E(5-m)=E5-En 方差 离散型:先计算E2=∑xP4,则D5=E52-(E5)2 k=1 连续型先计算E2=xox)k,则D5=E2-(E) 性质:如,n相互独立,则D(+n)=D+DD5m)=D5+Dn 协方差和相关系数 计算两个随机变量知和m协方差cov(2,m)和相关系数p的关键是计算(5mn) 离散型:E(5m)=∑∑xyP A cov(5, n=E(Snm-E(SE(n) covS, n7 D√Dn 六,几种常用的分布 二项分布 B(np)是指P{5=k}=C8p4(1-p)”k
2 边缘分布与联合分布的关系: (2) (1) { ) { ) j i j ij i j i ij P y p p P x p p = = = = = = 2. 连续型随机变量 ~ (x), = b a P(a b) (x)dx , 性质: ( ) = 1 + − x dx 分布函数为 − = = x F(x) P( x) (t)dt , 且有 F(x) = (x) 如 ξ~φ(x), η=f(ξ), 则求η的概率密度函数的办法, 是先求η的分布函数 Fη(x), F (x) = P( x) = P( f ( ) x) , 然后对 Fη(x)求导即得 η 的概率密度函数. 五, 随机变量的数字特征 数学期望: 离散型: = = k 1 k pk E x 连续型: + − E = x(x)dx 性质: E(+)=E+, E(−)=E−E 方差: 离散型: 先计算 = = 1 2 2 k k pk E x , 则 2 2 D = E − (E) 连续型: 先计算 ( ) , 2 2 + − E = x x dx 则 2 2 D = E − (E) 性质: 如,相互独立, 则 D(+)=D+D, D(−)=D+D 协方差和相关系数: 计算两个随机变量和的协方差 cov(,)和相关系数的关键是计算(), 离散型: = i j i j pij E() x y 则 cov(,)=E()−E()E() D D cov( , ) = 六, 几种常用的分布 二项分布 ξ~B(n,p)是指 k k n k P k Cn p p − { = } = (1− )
它描述了贝努里独立试验概型中,事件A发生k次的概率.试验可以同时进行,也可以 依次进行 超几何分布 将N个元素分为M1个和N个两类,M1+N2=N,从中任取n个,其中M1个元素的个数是 随机变量ξ,服从超几何分布,且有 P(=k)= 普阿松分布 ξ服从普阿松分布,是指其概率函数为 P(=k)=e-,k=0,1,2, 正态分布 5服从正态分布,即5qp(x)= e272,记作5N(2) 2TO 服从标准正态分布5NO,1) 性质:如果5N0,1),则a5+b~Nb,a2) 指数分布 服从指数分布,即5~g(x) x>0 0x≤0 它的分布函数为F(x) x<0 x≥0 七,统计量 假设是总体,E5=Da2,而(X1,Xn)是取自总体的样本,则 EX=,DX=a2(=1,,n) 样本均值x=元2x,样本方差S=n12(x2-x) 样本标准差S=,人1 ∑(X-X)2 EX=u, DX=- 八,最大似然估计 对于n个样本值x1x2,,xn 如总体§为连续型随机变量,5~p(x,O),则似然函数 (x1,x q(x1;6)
3 它描述了贝努里独立试验概型中, 事件 A 发生 k 次的概率. 试验可以同时进行, 也可以 依次进行. 超几何分布 将 N 个元素分为 N1 个和 N2 个两类, N1+N2=N, 从中任取 n 个, 其中 N1 个元素的个数是 一随机变量, 服从超几何分布, 且有 n N n k N k N C C C P k − = = 1 2 ( ) 普阿松分布 服从普阿松分布, 是指其概率函数为 , 0,1,2, ! ( = ) = = − e k k P k k 正态分布 服从正态分布, 即~ 2 2 2 ( ) 2 1 ( ) − − = x x e , 记作~N(, 2 ). 服从标准正态分布~N(,) 性质: 如果~N(,), 则 a+b~N(b, a 2 ) 指数分布 服从指数分布, 即 = − 0 0 0 1 ~ ( ) x e x x x 它的分布函数为 − = − 1 0 0 0 ( ) e x x F x x 七, 统计量 假设是总体, E=, D= 2 , 而(X1,…,Xn)是取自总体的样本, 则 EXi=, DXi= 2 (i=1,…,n) 样本均值 = = n i Xi n X 1 1 , 样本方差 = − − = n i Xi X n S 1 2 2 ( ) 1 1 样本标准差 = − − = n i Xi X n S 1 2 ( ) 1 1 n EX DX 2 , = = 八, 最大似然估计 对于 n 个样本值 x1,x2,…,xn 如总体ξ为连续型随机变量, ξ~φ(x;θ), 则似然函数 = = n i n i L x x x x 1 1 2 ( , ,, ; ) ( ; )
而如总体5为离散型随机变量,P(5=x)=p(x,O),则似然函数 L(x1,x2…,xn0)=p(x1;0) 则解似然方程 dIn L =0解得0的最大似然估计值 区间估计 在正态总体下,即总体5~N以2)时 如果口2为已知,则s、又一。NQ,),则在给定检验水平a时,查正态分布表求l n 使P(Uun)=a,即a(un)=1-,则置信度为1-a的置信区间为 (X-u,, X+=u) X 如果a2为未知,则T= t(n-1),其中S为样本方差的开平方(或者说测得的标 准差.查t分布表求b使f(T卜l)=a,则置信度为1-a的置信区间为 (X X 十,假设检验 在正态总体下,即总体§~M(,a)时, 在a2为已知条件下,检验假设=A选取统计量C≈F 则在H成立的条件 a/√n 下U-N(0,1)对于给定的检验水平α,査正态分布表确定临界值aa使P(U卜ua)=a,即 Φ(la)=1-根据样本观察值计算统计量U的值u与la比较,如φ>l则否定Ho,否则 接收H 如为未知,则选取统计量7≈- Vn,在h假设成立时T-(n1,对于给定的检验 水平α和样本容量n,査μ分布表确定临界值使Pη>ω)=α根据样本观察值计算统计量T 的值t与l比较,如l则否定H,否则接收Ho 如果是大样本情况下,t分布接近标准正态分布,因此又可以查正态分布表。这时,认 为样式本方差可以作为精确的方差使用。 需要重点练习的习题和例题: p5:例2.p6:例3.p226:1,2.p27:20p56:20,p59:36,37.p77:22,23.p99:1.p28:27,28,30.p56
4 而如总体ξ为离散型随机变量, P(ξ=xi)=p(xi;θ), 则似然函数 = = n i n i L x x x p x 1 1 2 ( , ,, ; ) ( ; ) 则解似然方程 0 ln = d d L 解得 θ 的最大似然估计值 ˆ 九, 区间估计 在正态总体下, 即总体ξ~N(μ,σ 2 )时, 如果 σ 2 为已知, 则 ~ N(0,1) n X U − = , 则在给定检验水平 α 时, 查正态分布表求 uα 使 P(|U | u ) = , 即 2 0 ( ) 1 u = − , 则 置 信 度 为 1−α 的 置 信 区 间 为 ( , ) u n u X n X − + 如果 σ 2 为未知, 则 ~ ( −1) − = t n S n X T , 其中S 为样本方差的开平方(或者说测得的标 准 差 . 查 t- 分布表求 tα 使 P(| T | t ) = , 则置信度为 1-α 的置信区间为 ( , ) t n S t X n S X − + . 十, 假设检验 在正态总体下，即总体ξ~N(μ,σ 2 )时, 在 σ 2 为已知条件下, 检验假设 H0: μ=μ0, 选取统计量 n X U 0 0 − = , 则在 H0 成立的条件 下 U~N(0,1), 对于给定的检验水平 α, 查正态分布表确定临界值 uα, 使 P(|U | u ) = , 即 2 0 ( ) 1 u = − 根据样本观察值计算统计量 U 的值 u 与 uα比较, 如|u|>uα则否定 H0, 否则 接收 H0. 如 σ 2 为未知, 则选取统计量 S n X T − 0 = , 在 H0 假设成立时 T~t(n-1), 对于给定的检验 水平 α 和样本容量 n, 查 t-分布表确定临界值 tα使 P(|T|>tα)=α, 根据样本观察值计算统计量 T 的值 t 与 tα比较, 如|t|>tα则否定 H0, 否则接收 H0. 如果是大样本情况下，t-分布接近标准正态分布，因此又可以查正态分布表。这时，认 为样式本方差可以作为精确的方差使用。 需要重点练习的习题和例题： p5: 例 2. p6: 例 3. p226: 1,2. p27: 20.p56:20, p59: 36,37. p77:22,23. p99: 1. p28: 27,28,30. p56:
16,19.p57:23.p164:2,3.p165:8,11.p184:1,2.p235:58
5 16,19. p57: 23. p164: 2,3. p165: 8,11. p184: 1,2. p235: 58