深圳大学：《工程数学》 积分变换 第4讲

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卷积定理与相关函数

2 卷积定理与相关函数

卷积的概念 若已知函数f(,f2(,则积分 +OO flof2(t-tdr 称为函数(0)与(0)的卷积,记为(O)%f( f1()*/2()=f(z)2(-)dz

3 卷积的概念 若已知函数f1 (t), f2 (t), 则积分  + − ( ) ( − )d 1 2 f f t 称为函数f1 (t)与f2 (t)的卷积, 记为f1 (t)*f2 (t)  + − ( ) ( ) = ( ) ( − )d 1 2 1 2 f t f t f f t

卷积的图示 fi(t √2(D f(-) f(t-)

4 卷积的图示 f1 () f2 () O  f2 (−) O  O t  f2 (t−)

个函数卷积自己的图示 (x)

5 一个函数卷积自己的图示

在积分 +oo f(z)2(t-)d 中,令L=t-,则t,d=-d,贝 f(O)*()=f(C)(-)dr fi(t-u(u)du f2(l)1(t-l)du=f2(t)*f1(t) 即卷积满足交换律

6 在积分 中, 令u=t−, 则=t−u, du=−d, 则  + − ( ) ( − )d 1 2 f f t ( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( )d 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 f u f t u u f t f t f t u f u u f t f t f f t = − =  = − − =  = −    + − − + + −    即卷积满足交换律

下证卷积满足结合律,即 f1()2(t)]*3(2)=()+[2(1)*3(O) 为此,令 g()=f()*1()=」f(D(=)dz s()=/2()*f()=f2(t-v)/3(v)dv 则[(O)*厂2(O)*厂()=g()*/() =g()/3(t=l)d f1(z)(-)dz/3(t=l)d

7 下证卷积满足结合律, 即 [f1 (t)*f2 (t)]*f3 (t)=f1 (t)*[f2 (t)*f3 (t)] 为此, 令   + − + − =  = − =  = − s t f t f t f t v f v v g t f t f t f f t ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d 2 3 2 3 1 2 1 2    则    + − + − + − −     = − = − = f f u f t u u g u f t u u f t f t f t g t f t ( ) ( )d ( )d ( ) ( )d [ ( )* ( )]* ( ) ( )* ( ) 1 2 3 3 1 2 3 3   

交换二重积分的次序,得 /()*f2(1)*f3() f1(z)/2(-)dz|/3(t-)dn ∫yA(=10-0r 令=t-u,则=t-, +oO 上式=f(z)f2(-y-)f3(v)dvdz f(z)(t-r)dz=f1(t)*()= f1(1)*[2()*f(O)

8 交换二重积分的次序, 得 令v=t−u, 则u=t−v,       + − + − + − + −     = − − −     = −         ( ) ( ) ( )d d ( ) ( )d ( )d ( ) ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 f f u f t u u f f u f t u u f t f t f t ( )  ( ) ( ) ( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d 1 2 3 1 1 1 2 3 f t f t f t f s t f t s t f f t v f v v =   = − =  =     = − −    + − + − + −    上式   

例1证明 f()+[2()+3(O)]1(t)*2()+f1(1)*3(1) 证根据卷积的定义 f()*[力2()+f3(t f(olfa(t-t)+f(t-t]dt + + f()(-)dz+f(r)/3(t-)dz =f1(t)*2(t)+f1(1)*方3(1)

9 例1 证明 f1 (t)*[f2 (t)+f3 (t)]=f1 (t)*f2 (t)+f1 (t)*f3 (t) 证 根据卷积的定义 ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) ( )d ( ) ( )d ( )[ ( ) ( )]d ( ) [ ( ) ( )] 1 2 1 3 1 2 1 3 1 2 3 1 2 3 f t f t f t f t f f t f f t f f t f t f t f t f t =  +  = − + − = − + −  + =    + − + − + −          

任给函数f(),都有(1)*(1)=),这是因为 f(1)*δ(t)=|f(t-z)6(z)dz=f( 因此,单位脉冲函数)在卷积运算中起着类 似数的运算中的1的作用

10 任给函数f(t), 都有f(t)*d(t)=f(t), 这是因为 f (t) (t) = f (t − ) ( )d = f (t)  + − d  d   因此, 单位脉冲函数d(t)在卷积运算中起着类 似数的运算中的1的作用