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拉氏变换的性质 本讲介绍拉氏变换的几个性质,它们在 拉氏变换的实际应用中都是很有用的 为方便起见,假定在这些性质中,凡是要 求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在 定理中的条件,并且把这些函数的增长 指数都统一地取为c.在证明性质时不再 重述这些条件
2 拉氏变换的性质 本讲介绍拉氏变换的几个性质, 它们在 拉氏变换的实际应用中都是很有用的. 为方便起见, 假定在这些性质中, 凡是要 求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在 定理中的条件, 并且把这些函数的增长 指数都统一地取为c. 在证明性质时不再 重述这些条件
1.线性性质 若a,B是常数 [1(O)]=F1(s),<[2()=F2(s), 则有 x[o1()+2(O)]=aF1(s)+BF2(S) [aF1(s)+BF2(s)]=a1()+2() 此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出
3 1. 线性性质 若a,b是常数 L [f1 (t)]=F1 (s), L [f2 (t)]=F2 (s), 则有 L [af1 (t)+bf2 (t)]=aF1 (s)+bF2 (s) L -1 [aF1 (s)+bF2 (s)]=af1 (t)+bf2 (t) 此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出
微分性质若[(O)=F(s) 则有()=sF(s)-f(0)(23) 证根据分部积分公式和拉氏变换公式 uav=uv vdu CIf(t]=Lf'(tedt=l esd f(t) + e sf(oo-Jf()de -f(0)+s f(e"dt=s/f(J-f(O) EPI(t]=sF(s)-f(o)(Re(s)>c)
4 微分性质 若L [f(t)]=F(s), 则有 L [f '(t)=sF(s)-f(0) (2.3) 证 根据分部积分公式和拉氏变换公式 [ ( )] ( ) (0) (Re( ) ) (0) ( ) e d [ ( )] (0) e ( ) ( )de [ ( )] ( ) e d e d ( ) d | d 0 0 0 0 0 f t sF s f s c f s f t t s f t f f t f t f t f t t f t u v uv v u s t s t s t s t s t b a b a b a = - = - + = - = - = = = - + - + - + - + - + - L L L 即
推论若[f()=F(s),则 [f"(t)]=sx[(O)]f(0) =S{S<[f(t)]f(0)}f(0 =s2<[()]-sf(0)f(0 f(t)]=sx/n1)()]-fn1(0) ="F(s)-sn-1f(0)-s22f(0)-..-n(0)(24) 特别,当初值(O)=f(0)=…m-(O)=0时,有 [f()]=sF(s),[f"(O=s2fF(s),… Ifn(DI-s"F(s) 此性质可以使我们有可能将的微分方程转 化为F()的代数方程
5 推论 若L [f(t)]=F(s), 则 L [f ''(t)]=sL [f'(t)]-f '(0) =s{sL [f(t)]-f(0)}-f '(0) =s 2L [f(t)]-sf(0)-f '(0) ... L [f (n) (t)]=sL [f (n-1)(t)]-f (n-1)(0) =s nF(s)-s n-1 f(0)-s n-2 f '(0)-...-f (n-1)(0) (2.4) 特别, 当初值f(0)=f '(0)=...=f (n-1)(0)=0时, 有 L [f '(t)]=sF(s), L [f ''(t)]=s 2F(s), ..., L [f (n) (t)]=s nF(s) (2.5) 此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转 化为F(s)的代数方程
例1利用微分性质求函数)=cosk的拉氏变 换 由于f(0)=1,f(0)=0,f"(O=k2 cos kt,则 [-k2 coS kt=x[f"()]=s2[f()]_s(0)-f'(0) k2Tcos kt]=s2 cos kt]-s 移项化简得 gIcos kt]=2 (Re(s)>0) S-+
6 例1 利用微分性质求函数f(t)=cos kt的拉氏变 换. 由于f(0)=1, f '(0)=0, f ''(t)=-k 2cos kt, 则 L [-k 2cos kt]=L [f ''(t)]=s 2L [f(t)]-sf(0)-f '(0). 即 -k 2L [cos kt]=s 2L [cos kt]-s 移项化简得 [cos ] (Re( ) 0) 2 2 + = s s k s L k t
例2利用微分性质,求函数()=四的拉氏变换, 其中m是正整数 由于f(0)=f(0)=.f(m-)(O)=0,而fm)(=m 所以/[m!]=[m)()=sm(t)]_m-10) Sm2f"(0)-.-fm1)(0 即 /m!!=smtm 而[m!]=m![ S 所以 att m+1 (Re(s)>0)
7 例2 利用微分性质, 求函数f(t)=t m的拉氏变换, 其中m是正整数. 由于f(0)=f '(0)=...=f (m-1)(0)=0, 而f (m) (t)=m! 所以L [m!]=L [f (m) (t)]=s mL [f(t)]-s m-1 f0)- s m-2 f '(0)-...-f (m-1)(0) 即 L [m!]=s mL [t m] (Re( ) 0). ! [ ] ! [ !] ! [1] 1 = = = + s s m t s m m m m m L L L 所以 而
此外,由拉氏变换存在定理,还可以得到象函 数的微分性质: 若c 2.6) 和F()(s)=(-1)f(),Re(s)>C.(2.7) 这是因为对于一致绝对收敛的积分的积分和 求导可以调换次序 F(s)= es dt d s d d f(test=- tf(redt o d
8 此外, 由拉氏变换存在定理, 还可以得到象函 数的微分性质: 若L [f(t)]=F(s), 则 F '(s)=L [-tf(t)], Re(s)>c. (2.6) 和 F(n) (s)=L [(-t) n f(t)], Re(s)>c. (2.7) 这是因为对于一致绝对收敛的积分的积分和 求导可以调换次序 + - + - + - = = - = = 0 0 0 ( ) e d ( ) e d d d ( ) e d d d ( ) d d f t t t f t t s f t t s F s s s t s t s t
例3求函数f)= t sin kt的拉氏变换 因为[1/=~h s<+k 根据上述微分性质可知 d k 2ks [ t sin ki小 dss2+k2(s2+k2)2 同理可得 d gIt cos kt ds s2+k 2 k S (s2+k2)2s2+k2(s2+k2)2(s2+ k—k
9 例3 求函数f(t)=t sin kt的拉氏变换. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 1 2 ( ) 2 d d [ cos ] ( ) 2 d d [ sin ] [sin ] s k s k s k s s k s k s k s s k s s t k t s k k s s k k s t k t s k k k t + - = + - - = + - + = = + = - + = + = - + = L L L 同理可得 根据上述微分性质可知 因为
3.积分性质若<[()=F(s) 贝 f(tdt=F(s) (28) 证设h()=f()dt,则有 h'(t)=f(t),且h(0)=0 由上述微分性质,有 [h(t)]=s[h(t)]-h(0)=s[h(t)], f(O)dr|=1[()2=-F()
10 3. 积分性质 若L [f(t)]=F(s) ( ) 1 ( ) 1 ( )d [ ( )] [ ( )] (0) [ ( )], , ( ) ( ), (0) 0 ( ) ( )d , ( ) (2.8) 1 ( )d 0 0 0 F s s f t s f t t h t s h t h s h t h t f t h h t f t t F s s f t t t t t = = = - = = = = = L L L L L L 即 由上述微分性质 有 且 证 设 则有 则
