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拉氏逆变换
拉氏逆变换
前面主要讨论了由已知函数(t)求它的象函数 F(s),但在实际应用中常会碰到与此相反的问 题,即已知象函数F()求它的象原函数()本 节就来解决这个问题. 由拉氏变换的概念可知,函数(的拉氏变换 实际上就是(()e的傅氏变换
前面主要讨论了由已知函数f(t)求它的象函数 F(s), 但在实际应用中常会碰到与此相反的问 题, 即已知象函数F(s)求它的象原函数f(t). 本 节就来解决这个问题. 由拉氏变换的概念可知, 函数f(t)的拉氏变换, 实际上就是f(t)u(t)e-bt的傅氏变换
因此,按傅氏积分公式,在f1)的连续点就有 f(tu(t)e r +oo 2兀 f(o)u(r)e re jo dt ejo do (B+jOt dT 2丌 edo f(r)e 2兀 F(B+joedo, t>0 等式两边同乘以e,则 (0)-1f(+jo)e+)d,>0 2丌
因此, 按傅氏积分公式, 在f(t)的连续点就有 ( j ) e d , 0 2 1 e d ( ) e d 2 1 ( ) ( ) e e d e d 2 1 ( ) ( ) e j 0 j ( j ) j j = + = = + - + - + - + + - + - - - - F t f f u f t u t t t t t b b b b ( j )e d , 0 2 1 ( ) ( j ) = + + - + f t F t t b b 等式两边同乘以e bt , 则
f(t)= F(B+joe( (B+j) dot>o 2丌 令月+j=s,有 1 cB+ f(t) F(s)eds,t>0(2.16) 2丌j-j0 右端的积分称为拉氏反演积分,它的积分路线 是沿着虚轴的方向从虚部的负无穷积分到虚 部的正无穷.而积分路线中的实部B有一些 随意,但必须满足的条件就是e/(O)u()的0到 正无穷的积分必须收敛计算复变函数的积分 通常比较困难,但是可以用留数方法计算
右端的积分称为拉氏反演积分, 它的积分路线 是沿着虚轴的方向从虚部的负无穷积分到虚 部的正无穷. 而积分路线中的实部b则有一些 随意, 但必须满足的条件就是e -bt f(t)u(t)的0到 正无穷的积分必须收敛. 计算复变函数的积分 通常比较困难, 但是可以用留数方法计算. ( ) e d , 0 (2.16) 2 j 1 ( ) j , ( j ) e d , 0 2 1 ( ) j j ( j ) = + = = + + - + - + f t F s s t s f t F t s t b b b b b 令 有
定理若s1,s2,…,Sn是函数F(s)的所有奇点适 当选取β使这些奇点全在Re(s)的范围内 且当s=>∞时,F(s))0,则有 I cB +100 2xj-j∞ F("ds=∑Res()e] k=1 S-S k 即 f(0=ERes F(S)e")t>0(2.17) k
定理 若s1 , s2 , ..., sn是函数F(s)的所有奇点(适 当选取b使这些奇点全在Re(s)<b的范围内), 且当s→时, F(s)→0, 则有 ( ) Res ( ) e , 0 (2.17) ( ) e d Res ( ) e 2 j 1 1 1 j j = = = = = = + - f t F s t F s s F s s t n k k s s s t n k k s s s t 即 b b
什么叫一个复变函数fs)的奇点?那就是此函 数没有定义的点,或者说是取值无穷大的点 例如函数 st f(S)= S(S-2)(S+3) 在0,2,-3处有三个奇点,可记为s1=0,s2=2, S2=-3
什么叫一个复变函数f(s)的奇点?那就是此函 数没有定义的点, 或者说是取值无穷大的点. 例如函数 ( 2)( 3) e ( ) - + = s s s f s s t 在0, 2, -3处有三个奇点, 可记为s1=0, s2=2, s3=-3
假设s是fs)的一个奇点,则(s)总可以在s处 展开为罗朗级数,形式为: + f()=∑cn(S- 1三-00 其中-1次方项(s)1的系数c=1就称为s)在s0 点处的留数,记作 Reslf(s),sol=c-1 或 Reslf(s)]=c S=S
假设s0是f(s)的一个奇点, 则f(s)总可以在s0处 展开为罗朗级数, 形式为: + =- = - n n n f (s) c (s s ) 0 其中-1次方项(s-s0 ) -1的系数c-1就称为f(s)在s0 点处的留数, 记作 Res[f(s),s0 ]=c-1 或 1 Res ( ) 0 - = f s = c s s
围绕着八s)的奇点s的附近绕一圈环的积分就 等于 5f(s)ds=∑cn(-s)ds fc,(s-So)ds=2of(s-so)"ds =-00 1=-00 2z_=2T j Reslf(s) 其中C是只围绕S转一圈的任意闭合曲线
围绕着f(s)的奇点s0的附近绕一圈环的积分就 等于 2 j 2 jRes ( ) ( ) d ( ) d ( )d ( ) d 0 1 0 0 0 c f s c s s s c s s s f s s c s s s s s n C n n n C n n C n n n C = - + =- + =- + =- = = = - = - = - 其中C是只围绕s0转一圈的任意闭合曲线
如果函数s)有s152…,Sn共n个奇点,闭合曲线 C包围了这n个奇点,则 f f(s)ds=2r jXRes[f(s)I k=1 k 虚轴 SIX X S 实轴
如果函数f(s)有s1 ,s2 ,...,sn共n个奇点, 闭合曲线 C包围了这n个奇点, 则 = = = n k C s s f s s f s k 1 ( )d 2 j Res ( ) 实轴 虚轴 s1 s2 s3
