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积分变换
积分变换
傅里叶( Fourier)级数展开
傅里叶(Fourier)级数展开
在工程计算中,无论是电学还是力学,经常要 和随时间而变的周期函数f()打交道.例如 具有性质f(计+T)=(),其中称作周期,而17代表单 位时间振动的次数,单位时间通常取秒,即每秒重 复多少次,单位是赫兹(Herz,或Hz)
在工程计算中, 无论是电学还是力学, 经常要 和随时间而变的周期函数fT (t)打交道. 例如: 具有性质fT (t+T)=fT (t), 其中T称作周期, 而1/T代表单 位时间振动的次数, 单位时间通常取秒, 即每秒重 复多少次, 单位是赫兹(Herz, 或Hz). t
最常用的一种周期函数是三角函数 fit=Asin(at+p) 其中a=2x/T 而Asn(+)又可以看作是两个周期函数 sinc和cosc的线性组合 Asin(at+o=asin@+ bcos at
最常用的一种周期函数是三角函数 fT (t)=Asin(wt+j) 其中w=2p/T 而Asin(wt+j)又可以看作是两个周期函数 sinwt和coswt的线性组合 Asin(wt+j)=asinwt+bcoswt t
人们发现,所有的工程中使用的周期函数都可 以用一系列的三角函数的线性组合来逼近 方波 4个正弦波的逼近 100个正弦波的逼近
人们发现, 所有的工程中使用的周期函数都可 以用一系列的三角函数的线性组合来逼近. 方波 4个正弦波的逼近 100个正弦波的逼近
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周 期内的情况即可,通常研究在闭区间[-T2,m2] 内函数变化的情况.并非理论上的所有周期函 数都可以用傅里叶级数逼近,而是要满足狄利 克雷( Dirichlet)条件,即在区间[-T2,m2]上 1,连续或只有有限个第一类间断点 2,只有有限个极值点 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函 数
研究周期函数实际上只须研究其中的一个周 期内的情况即可, 通常研究在闭区间[-T/2,T/2] 内函数变化的情况. 并非理论上的所有周期函 数都可以用傅里叶级数逼近, 而是要满足狄利 克雷(Dirichlet)条件, 即在区间[-T/2,T/2]上 1, 连续或只有有限个第一类间断点 2, 只有有限个极值点 这两个条件实际上就是要保证函数是可积函 数
第一类间断点和第二类间断点的区别 第二类间断点 第一类间断点
第一类间断点和第二类间断点的区别: 第二类间断点 第一类间断点
不满足狄氏条件的例 f(t=tgt 存在第二类间断点 f(t=sin( 在靠近0处存在着无限多个极值点 而在工程上所应用的函数,尤其是物理量的变 化函数,全部满足狄氏条件.实际上不连续函 数都是严格上讲不存在的,但经常用不连续函 数来近似一些函数,使得思维简单一些
不满足狄氏条件的例: 0 . ) 1 ( ) sin( ( ) tg 在靠近 处存在着无限多个极值点 存在第二类间断点 t f t f t t = = 而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变 化函数, 全部满足狄氏条件. 实际上不连续函 数都是严格上讲不存在的, 但经常用不连续函 数来近似一些函数, 使得思维简单一些
在区间[-T2,/2上满足狄氏条件的函数的全 体也构成一个集合,这个集合在通常的函数加 法和数乘运算上也构成一个线性空间V,此空 可的向量就是函数,线性空间的一切理论在此 空间上仍然成立.更进一步地也可以在此线性 空间κ定义内积运算,这样就可以建立元素 (即函数)的长度(范数,及函数间角度,及正交 的概念.两个函数和g的内积定义为: /g=上fOg()dt
在区间[-T/2,T/2]上满足狄氏条件的函数的全 体也构成一个集合, 这个集合在通常的函数加 法和数乘运算上也构成一个线性空间V, 此空 间的向量就是函数, 线性空间的一切理论在此 空间上仍然成立. 更进一步地也可以在此线性 空间V上定义内积运算, 这样就可以建立元素 (即函数)的长度(范数), 及函数间角度, 及正交 的概念. 两个函数f和g的内积定义为: - = 2 2 [ , ] ( ) ( )d T T f g f t g t t
