3.3条件期望
2 3.3 条件期望
例1两封信随机投向1,2,3,4四个信箱,与与代 表头两个信箱里的信数目,求在第2个邮箱里 有一封信条件下第一个邮箱内信数的平均数 解因已经计算出 k 1-k P{51=k|52=1} (k=0,1 因此,在22=1条件下,的平均值应为 E{51|2=1}=0×+1 33
3 例1 两封信随机投向1,2,3,4四个信箱, x1 ,x2代 表头两个信箱里的信数目, 求在第2个邮箱里 有一封信条件下第一个邮箱内信数的平均数. 解 因已经计算出 3 1 3 1 1 3 2 { | 1} 0 , 1 , ( 0,1) 3 2 3 1 { | 1} 1 2 2 1 1 1 2 = = + = = = = = = − x x x x x x E P k k k k 因此 在 条件下 的平均值应为
对于二元离散型随机变量(:,m),在取某 个定值,比如x,的条件下,求m的数学期望 称此期望为给定x时n的条件期望,记作 E{m2x},有 E{|=x}=∑vP=y15=x} 同样地定义给定n=y时关于与的条件期望为 E{5|m=y}=∑xP{5=x1|7=y}
4 对于二元离散型随机变量(x,h), 在x取某一 个定值, 比如x=xi的条件下, 求h的数学期望, 称此期望为给定x=xi时h的条件期望, 记作 E{h|x=xi}, 有 = = = = = = = = = i j i i j j j i j j i E y x P x y y E x y P y x { | } { | } { | } { | } x h x h h x h x h x 同样地定义给定 时关于 的条件期望为
对于二元连续型随机变量,定义 E(n15)=yo(y|)dy E(5In)=xo(xl y)dx 其中yx)及xb)分别是在x条件下关于n 的条件概率密度和在n-y条件下关于的条件 概率密度.当然这个定义假定各式都是有意义 的
5 对于二元连续型随机变量, 定义 + − + − = = E x x y x E y y x y ( | ) ( | )d ( | ) ( | )d x h h x 其中(y|x)及(x|y)分别是在x=x条件下关于h 的条件概率密度和在h=y条件下关于x的条件 概率密度. 当然这个定义假定各式都是有意义 的
34方差、协方差 ()方差的概念
6 3.4 方差、协方差 (一) 方差的概念
先看两个例子 设甲,乙两炮射击弹着点与目标的距离分别 为ξ1,(为简便起见,假定它们只取离散值), 并有如下分布律 80859095100 P0.20.20.20.20.2 2 8587.59092.595 P0.20.20.20.20.2 则两炮有相同的期望值(E=90,÷=1,2),但比较 两组数据可知乙炮较甲炮准确.弹着点集中
7 先看两个例子 设甲,乙两炮射击弹着点与目标的距离分别 为x1 ,x2 (为简便起见, 假定它们只取离散值), 并有如下分布律. 则两炮有相同的期望值(Exi=90,i=1,2), 但比较 两组数据可知乙炮较甲炮准确.弹着点集中. x1 80 85 90 95 100 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2 x2 85 87.5 90 92.5 95 P 0.2 0.2 0.2 0.2 0.2
图示比较 859095 LILIL 80859095100
8 图示比较: 90 90 95 95 85 80 85 100
又如有两批钢筋,每批各10根,它们的抗拉强 度指标如下 第一批:110,120,120,125,125,125,130,130, 135.140 第二批:90100120125130130135140145 145 它们的平均抗拉强度指标都是126,但是,使用 钢筋时,一般要求抗拉强度指标不低于一个 指定数值(如115).那么,第二批钢筋的抗拉 强度指标与平均值偏差较大,即取值较分散, 不合格的多,可以认为第二批比第一批质量 差
9 又如有两批钢筋, 每批各10根, 它们的抗拉强 度指标如下: 第一批: 110, 120, 120, 125, 125, 125, 130, 130, 135, 140 第二批: 90 100 120 125 130 130 135 140 145 145 它们的平均抗拉强度指标都是126, 但是, 使用 钢筋时, 一般要求抗拉强度指标不低于一个 指定数值(如115). 那么, 第二批钢筋的抗拉 强度指标与平均值偏差较大, 即取值较分散, 不合格的多, 可以认为第二批比第一批质量 差
可见在实际问题中,仅靠期望值(或平均值 不能完善地说明随机变量的分布特征,还必 须研究其离散程度.通常人们关心的是随机 变量对期望值Eξ的离散程度 定义33如果随机变量的数学期望E存在,称 E为随机变量的离差 显然,随机变量离差的期望是零,即 E(-E9)=0 不论正偏差大还是负偏差大,同样都是离散程 度大,为了消除离差2E的符号,用(E2)2来 衡量与E的偏差
10 可见在实际问题中, 仅靠期望值(或平均值) 不能完善地说明随机变量的分布特征, 还必 须研究其离散程度. 通常人们关心的是随机 变量x对期望值Ex的离散程度. 定义3.3 如果随机变量x的数学期望Ex存在, 称 x−Ex为随机变量的离差. 显然, 随机变量离差的期望是零, 即 E(x−Ex)=0 不论正偏差大还是负偏差大, 同样都是离散程 度大, 为了消除离差x−Ex的符号, 用(x−Ex) 2来 衡量x与Ex的偏差
定义3.4 随机变量离差平方的数学期望, 称为随机变量的方差, 记作D或 而√D或σ称为的标准差(或方差根) DF=E(-E2)2
11 定义3.4 2 2 ( ) ( ) . , , x x x x x x x x x D E E D D = − 而 或 称为 的标准差 或方差根 记作 或 称为随机变量的方差 随机变量 离差平方的数学期望
